MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Unicode version

Theorem lidlnz 18451
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlnz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlnz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    x, I    x,  .0.
Allowed substitution hints:    R( x)    U( x)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
2 lidlnz.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2lidl0cl 18434 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  .0.  e.  I )
43snssd 4145 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  {  .0.  } 
C_  I )
543adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C_  I )
6 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
76necomd 2691 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  =/=  I )
8 df-pss 3452 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  I  <->  ( {  .0.  }  C_  I  /\  {  .0.  }  =/=  I ) )
95, 7, 8sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C.  I )
10 pssnel 3862 . . 3  |-  ( {  .0.  }  C.  I  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
12 elsn 4012 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
1312necon3bbii 2681 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  {  .0.  }  <-> 
x  =/=  .0.  )
1413anbi2i 698 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
1514exbii 1712 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
16 df-rex 2777 . . 3  |-  ( E. x  e.  I  x  =/=  .0.  <->  E. x
( x  e.  I  /\  x  =/=  .0.  ) )
1715, 16bitr4i 255 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
1811, 17sylib 199 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772    C_ wss 3436    C. wpss 3437   {csn 3998   ` cfv 5601   0gc0g 15337   Ringcrg 17779  LIdealclidl 18392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-subg 16813  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396
This theorem is referenced by:  drngnidl  18452  zringlpirlem1  19051  lidldomn1  39540
  Copyright terms: Public domain W3C validator