MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Unicode version

Theorem lidlnz 18194
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlnz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlnz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    x, I    x,  .0.
Allowed substitution hints:    R( x)    U( x)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
2 lidlnz.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2lidl0cl 18177 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  .0.  e.  I )
43snssd 4116 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  {  .0.  } 
C_  I )
543adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C_  I )
6 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
76necomd 2674 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  =/=  I )
8 df-pss 3429 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  I  <->  ( {  .0.  }  C_  I  /\  {  .0.  }  =/=  I ) )
95, 7, 8sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C.  I )
10 pssnel 3836 . . 3  |-  ( {  .0.  }  C.  I  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
12 elsn 3985 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
1312necon3bbii 2664 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  {  .0.  }  <-> 
x  =/=  .0.  )
1413anbi2i 692 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
1514exbii 1688 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
16 df-rex 2759 . . 3  |-  ( E. x  e.  I  x  =/=  .0.  <->  E. x
( x  e.  I  /\  x  =/=  .0.  ) )
1715, 16bitr4i 252 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
1811, 17sylib 196 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754    C_ wss 3413    C. wpss 3414   {csn 3971   ` cfv 5568   0gc0g 15052   Ringcrg 17516  LIdealclidl 18134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138
This theorem is referenced by:  drngnidl  18195  zringlpirlem1  18820  lidldomn1  38219
  Copyright terms: Public domain W3C validator