Theorem lidlnegcl 18073

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlnegcl.n	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlnegcl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

Proof of Theorem lidlnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnegcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` R )
2		rlmvneg 18065	. . . 4 |- ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
3	1, 2	eqtri 2431	. . 3 |- N = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
4	3	fveq1i 5806	. 2 |- ( N ` X ) = ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X )
5		rlmlmod 18063	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
6	5	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
8		lidlcl.u	. . . . . 6 |- U = (LIdeal ` R )
9		lidlval 18050	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
10	8, 9	eqtri 2431	. . . . 5 |- U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
11	7, 10	syl6eleq 2500	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13		simp3 999	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> X e. I )
14		eqid 2402	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
15		eqid 2402	. . . 4 |- ( invg ` (ringLMod ` R ) ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
16	14, 15	lssvnegcl 17814	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1230	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
18	4, 17	syl5eqel 2494	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   ` cfv 5525   invgcminusg 16270   Ringcrg 17410   LModclmod 17724   LSubSpclss 17790  ringLModcrglmod 18027  LIdealclidl 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-subrg 17639  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-lidl 18032

This theorem is referenced by:  lidlsubg  18074  lidlsubclOLD  18076  zringlpirlem1  18714