Theorem lidlnegcl 17429

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlnegcl.n	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlnegcl	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

Proof of Theorem lidlnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnegcl.n	. . . 4 |- N = ( invg ` R )
2		rlmvneg 17421	. . . 4 |- ( invg ` R ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
3	1, 2	eqtri 2483	. . 3 |- N = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
4	3	fveq1i 5803	. 2 |- ( N ` X ) = ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X )
5		rlmlmod 17419	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
6	5	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
7		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. U )
8		lidlcl.u	. . . . . 6 |- U = (LIdeal ` R )
9		lidlval 17406	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
10	8, 9	eqtri 2483	. . . . 5 |- U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
11	7, 10	syl6eleq 2552	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
13		simp3 990	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> X e. I )
14		eqid 2454	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
15		eqid 2454	. . . 4 |- ( invg ` (ringLMod ` R ) ) = ( invg ` (ringLMod ` R ) )
16	14, 15	lssvnegcl 17170	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( ( invg ` (ringLMod ` R ) ) ` X ) e. I )
18	4, 17	syl5eqel 2546	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ X e. I ) -> ( N ` X ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529   invgcminusg 15534   Ringcrg 16778   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146  ringLModcrglmod 17383  LIdealclidl 17384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-lidl 17388

This theorem is referenced by:  lidlsubg  17430  lidlsubcl  17431  zringlpirlem1  18038  zlpirlem1  18043