Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmmgm Structured version   Unicode version

Theorem lidlmmgm 32441
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l  |-  L  =  (LIdeal `  R )
lidlabl.i  |-  I  =  ( Rs  U )
Assertion
Ref Expression
lidlmmgm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (mulGrp `  I )  e. Mgm )

Proof of Theorem lidlmmgm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LIdeal `  R )
2 lidlabl.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( Rs  U )
31, 2lidlbas 32439 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  ( Base `  I )  =  U )
4 eleq1a 2526 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  (
( Base `  I )  =  U  ->  ( Base `  I )  e.  L
) )
53, 4mpd 15 . . . . . 6  |-  ( U  e.  L  ->  ( Base `  I )  e.  L )
65anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Base `  I )  e.  L ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Base `  I )  e.  L ) )
81, 2lidlssbas 32438 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  L  ->  ( Base `  I )  C_  ( Base `  R )
)
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  ( Base `  I )  C_  ( Base `  R )
)
109sseld 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (
a  e.  ( Base `  I )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1110com12 31 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( Base `  I
)  ->  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( Base `  I )  /\  b  e.  ( Base `  I
) )  ->  (
( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  a  e.  (
Base `  R )
) )
1312impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  a  e.  ( Base `  R
) )
14 simprr 757 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  b  e.  ( Base `  I
) )
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
16 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
171, 15, 16lidlmcl 17843 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( Base `  I
)  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  e.  ( Base `  I
) )
187, 13, 14, 17syl12anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  (
a ( .r `  R ) b )  e.  ( Base `  I
) )
1918ralrimivva 2864 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  A. a  e.  ( Base `  I
) A. b  e.  ( Base `  I
) ( a ( .r `  R ) b )  e.  (
Base `  I )
)
20 fvex 5866 . . . 4  |-  (mulGrp `  I )  e.  _V
21 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  I )  =  (mulGrp `  I )
22 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
2321, 22mgpbas 17125 . . . . 5  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  (mulGrp `  I
) )
24 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  I )  =  ( .r `  I
)
2521, 24mgpplusg 17123 . . . . 5  |-  ( .r
`  I )  =  ( +g  `  (mulGrp `  I ) )
2623, 25ismgm 15851 . . . 4  |-  ( (mulGrp `  I )  e.  _V  ->  ( (mulGrp `  I
)  e. Mgm  <->  A. a  e.  (
Base `  I ) A. b  e.  ( Base `  I ) ( a ( .r `  I ) b )  e.  ( Base `  I
) ) )
2720, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (
(mulGrp `  I )  e. Mgm  <->  A. a  e.  ( Base `  I ) A. b  e.  ( Base `  I ) ( a ( .r `  I
) b )  e.  ( Base `  I
) ) )
282, 16ressmulr 14731 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  L  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  I
) )
2928eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  ( .r `  I )  =  ( .r `  R
) )
3029adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  ( .r `  I )  =  ( .r `  R
) )
3130oveqdr 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  (
a ( .r `  I ) b )  =  ( a ( .r `  R ) b ) )
3231eleq1d 2512 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  ( a  e.  ( Base `  I
)  /\  b  e.  ( Base `  I )
) )  ->  (
( a ( .r
`  I ) b )  e.  ( Base `  I )  <->  ( a
( .r `  R
) b )  e.  ( Base `  I
) ) )
33322ralbidva 2885 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  ( A. a  e.  ( Base `  I ) A. b  e.  ( Base `  I ) ( a ( .r `  I
) b )  e.  ( Base `  I
)  <->  A. a  e.  (
Base `  I ) A. b  e.  ( Base `  I ) ( a ( .r `  R ) b )  e.  ( Base `  I
) ) )
3427, 33bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (
(mulGrp `  I )  e. Mgm  <->  A. a  e.  ( Base `  I ) A. b  e.  ( Base `  I ) ( a ( .r `  R
) b )  e.  ( Base `  I
) ) )
3519, 34mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (mulGrp `  I )  e. Mgm )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   ↾s cress 14614   .rcmulr 14679  Mgmcmgm 15848  mulGrpcmgp 17119   Ringcrg 17176  LIdealclidl 17794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-subg 16176  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-lidl 17798
This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  32442
  Copyright terms: Public domain W3C validator