Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlmcl Structured version   Unicode version

Theorem lidlmcl 17735
 Description: An ideal is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u LIdeal
lidlcl.b
lidlmcl.t
Assertion
Ref Expression
lidlmcl

Proof of Theorem lidlmcl
StepHypRef Expression
1 lidlmcl.t . . . 4
2 rlmvsca 17719 . . . 4 ringLMod
31, 2eqtri 2496 . . 3 ringLMod
43oveqi 6308 . 2 ringLMod
5 rlmlmod 17722 . . . 4 ringLMod
65ad2antrr 725 . . 3 ringLMod
7 simpr 461 . . . . 5
8 lidlcl.u . . . . . 6 LIdeal
9 lidlval 17709 . . . . . 6 LIdeal ringLMod
108, 9eqtri 2496 . . . . 5 ringLMod
117, 10syl6eleq 2565 . . . 4 ringLMod
1211adantr 465 . . 3 ringLMod
13 lidlcl.b . . . . . . 7
14 rlmsca 17717 . . . . . . . 8 ScalarringLMod
1514fveq2d 5876 . . . . . . 7 ScalarringLMod
1613, 15syl5eq 2520 . . . . . 6 ScalarringLMod
1716eleq2d 2537 . . . . 5 ScalarringLMod
1817biimpa 484 . . . 4 ScalarringLMod
1918ad2ant2r 746 . . 3 ScalarringLMod
20 simprr 756 . . 3
21 eqid 2467 . . . 4 ScalarringLMod ScalarringLMod
22 eqid 2467 . . . 4 ringLMod ringLMod
23 eqid 2467 . . . 4 ScalarringLMod ScalarringLMod
24 eqid 2467 . . . 4 ringLMod ringLMod
2521, 22, 23, 24lssvscl 17472 . . 3 ringLMod ringLMod ScalarringLMod ringLMod
266, 12, 19, 20, 25syl22anc 1229 . 2 ringLMod
274, 26syl5eqel 2559 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507  cmulr 14573  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  crg 17070  clmod 17383  clss 17449  ringLModcrglmod 17686  LIdealclidl 17687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691 This theorem is referenced by:  lidl1el  17736  drngnidl  17747  2idlcpbl  17752  zringlpirlem3  18380  zlpirlem3  18385  ig1peu  22440  ig1pdvds  22445  hbtlem2  31001  hbtlem4  31003  lidlmmgm  32325
 Copyright terms: Public domain W3C validator