MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Unicode version

Theorem lidldvgen 17777
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidldvgen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidldvgen.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lidldvgen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidldvgen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, U    x, B    x,  .||    x, R    x, I    x, K    x, G

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
32snssd 4160 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  B )
4 lidldvgen.k . . . . . . 7  |-  K  =  (RSpan `  R )
5 lidldvgen.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
64, 5rspssid 17745 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  { G }  C_  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
71, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
8 snssg 4148 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
983ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
107, 9mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( K `  { G } ) )
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10  |-  .||  =  (
||r `  R )
125, 4, 11rspsn 17776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
13123adant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
1413eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  x  e.  { y  |  G  .||  y } ) )
15 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
16 breq2 4441 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( G  .||  y  <->  G  .||  x ) )
1715, 16elab 3232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  |  G  .||  y }  <->  G 
.||  x )
1814, 17syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
1918biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  ->  G  .||  x ) )
2019ralrimiv 2855 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
2110, 20jca 532 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
22 eleq2 2516 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( G  e.  I  <->  G  e.  ( K `  { G } ) ) )
23 raleq 3040 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
2422, 23anbi12d 710 . . 3  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  <-> 
( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
) )
2521, 24syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  ->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
26 df-ral 2798 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
27 ssab 3555 . . . . . . . 8  |-  ( I 
C_  { x  |  G  .||  x }  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
2826, 27bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
2928biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
3029ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
315, 4, 11rspsn 17776 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
32313adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  =  { x  |  G  .||  x } )
3430, 33sseqtr4d 3526 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  ( K `  { G } ) )
35 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
36 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  I  e.  U )
37 snssi 4159 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  I  ->  { G }  C_  I )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  { G }  C_  I )
39 lidldvgen.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
404, 39rspssp 17748 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  { G }  C_  I )  -> 
( K `  { G } )  C_  I
)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  ( K `  { G } ) 
C_  I )
4241adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  C_  I )
4334, 42eqssd 3506 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  =  ( K `  { G } ) )
4443ex 434 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  ->  I  =  ( K `  { G } ) ) )
4525, 44impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974   A.wal 1381    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   Basecbs 14509   Ringcrg 17072   ||rcdsr 17161  LIdealclidl 17690  RSpancrsp 17691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-dvdsr 17164  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-lidl 17694  df-rsp 17695
This theorem is referenced by:  lpigen  17778  ig1prsp  22451
  Copyright terms: Public domain W3C validator