MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Unicode version

Theorem lidldvgen 17463
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidldvgen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidldvgen.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lidldvgen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidldvgen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, U    x, B    x,  .||    x, R    x, I    x, K    x, G

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
32snssd 4129 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  B )
4 lidldvgen.k . . . . . . 7  |-  K  =  (RSpan `  R )
5 lidldvgen.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
64, 5rspssid 17431 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  { G }  C_  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
71, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
8 snssg 4118 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
983ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
107, 9mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( K `  { G } ) )
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10  |-  .||  =  (
||r `  R )
125, 4, 11rspsn 17462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
13123adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
1413eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  x  e.  { y  |  G  .||  y } ) )
15 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
16 breq2 4407 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( G  .||  y  <->  G  .||  x ) )
1715, 16elab 3213 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  |  G  .||  y }  <->  G 
.||  x )
1814, 17syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
1918biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  ->  G  .||  x ) )
2019ralrimiv 2828 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
2110, 20jca 532 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
22 eleq2 2527 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( G  e.  I  <->  G  e.  ( K `  { G } ) ) )
23 raleq 3023 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
2422, 23anbi12d 710 . . 3  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  <-> 
( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
) )
2521, 24syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  ->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
26 df-ral 2804 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
27 ssab 3533 . . . . . . . 8  |-  ( I 
C_  { x  |  G  .||  x }  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
2826, 27bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
2928biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
3029ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
315, 4, 11rspsn 17462 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
32313adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  =  { x  |  G  .||  x } )
3430, 33sseqtr4d 3504 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  ( K `  { G } ) )
35 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
36 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  I  e.  U )
37 snssi 4128 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  I  ->  { G }  C_  I )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  { G }  C_  I )
39 lidldvgen.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
404, 39rspssp 17434 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  { G }  C_  I )  -> 
( K `  { G } )  C_  I
)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  ( K `  { G } ) 
C_  I )
4241adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  C_  I )
4334, 42eqssd 3484 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  =  ( K `  { G } ) )
4443ex 434 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  ->  I  =  ( K `  { G } ) ) )
4525, 44impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799    C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   Basecbs 14295   Ringcrg 16771   ||rcdsr 16856  LIdealclidl 17377  RSpancrsp 17378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-dvdsr 16859  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-lidl 17381  df-rsp 17382
This theorem is referenced by:  lpigen  17464  ig1prsp  21785
  Copyright terms: Public domain W3C validator