Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Unicode version

Theorem lidldvgen 17777
 Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b
lidldvgen.u LIdeal
lidldvgen.k RSpan
lidldvgen.d r
Assertion
Ref Expression
lidldvgen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6
2 simp3 999 . . . . . . 7
32snssd 4160 . . . . . 6
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 RSpan
5 lidldvgen.b . . . . . . 7
64, 5rspssid 17745 . . . . . 6
71, 3, 6syl2anc 661 . . . . 5
8 snssg 4148 . . . . . 6
983ad2ant3 1020 . . . . 5
107, 9mpbird 232 . . . 4
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 r
125, 4, 11rspsn 17776 . . . . . . . . 9
13123adant2 1016 . . . . . . . 8
1413eleq2d 2513 . . . . . . 7
15 vex 3098 . . . . . . . 8
16 breq2 4441 . . . . . . . 8
1715, 16elab 3232 . . . . . . 7
1814, 17syl6bb 261 . . . . . 6
1918biimpd 207 . . . . 5
2019ralrimiv 2855 . . . 4
2110, 20jca 532 . . 3
22 eleq2 2516 . . . 4
23 raleq 3040 . . . 4
2422, 23anbi12d 710 . . 3
2521, 24syl5ibrcom 222 . 2
26 df-ral 2798 . . . . . . . 8
27 ssab 3555 . . . . . . . 8
2826, 27bitr4i 252 . . . . . . 7
2928biimpi 194 . . . . . 6
3029ad2antll 728 . . . . 5
315, 4, 11rspsn 17776 . . . . . . 7
32313adant2 1016 . . . . . 6
3332adantr 465 . . . . 5
3430, 33sseqtr4d 3526 . . . 4
35 simpl1 1000 . . . . . 6
36 simpl2 1001 . . . . . 6
37 snssi 4159 . . . . . . 7
3837adantl 466 . . . . . 6
39 lidldvgen.u . . . . . . 7 LIdeal
404, 39rspssp 17748 . . . . . 6
4135, 36, 38, 40syl3anc 1229 . . . . 5
4241adantrr 716 . . . 4
4334, 42eqssd 3506 . . 3
4443ex 434 . 2
4525, 44impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974  wal 1381   wceq 1383   wcel 1804  cab 2428  wral 2793   wss 3461  csn 4014   class class class wbr 4437  cfv 5578  cbs 14509  crg 17072  rcdsr 17161  LIdealclidl 17690  RSpancrsp 17691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-dvdsr 17164  df-subrg 17301  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-lidl 17694  df-rsp 17695 This theorem is referenced by:  lpigen  17778  ig1prsp  22451
 Copyright terms: Public domain W3C validator