MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlacl Structured version   Unicode version

Theorem lidlacl 17428
Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlacl  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  I )

Proof of Theorem lidlacl
StepHypRef Expression
1 lidlacl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 rlmplusg 17410 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
31, 2eqtri 2483 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
43oveqi 6216 . 2  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( X ( +g  `  (ringLMod `  R )
) Y )
5 rlmlmod 17419 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  U )
8 lidlcl.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
9 lidlval 17406 . . . . . 6  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
108, 9eqtri 2483 . . . . 5  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
117, 10syl6eleq 2552 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )
126, 11jca 532 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
(ringLMod `  R )  e. 
LMod  /\  I  e.  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  (ringLMod `  R )
)  =  ( +g  `  (ringLMod `  R )
)
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)
1513, 14lssvacl 17168 . . 3  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  e.  LMod  /\  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I
) )  ->  ( X ( +g  `  (ringLMod `  R ) ) Y )  e.  I )
1612, 15sylan 471 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X ( +g  `  (ringLMod `  R )
) Y )  e.  I )
174, 16syl5eqel 2546 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   +g cplusg 14361   Ringcrg 16778   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146  ringLModcrglmod 17383  LIdealclidl 17384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-subg 15801  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-lidl 17388
This theorem is referenced by:  lidlsubg  17430  lidlsubcl  17431  zringlpirlem3  18040  zlpirlem3  18045  hbtlem2  29651  hbtlem5  29655
  Copyright terms: Public domain W3C validator