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Theorem lhprelat3N 35865
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 35237. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhprelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhprelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhprelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lhprelat3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhprelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lhprelat3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhprelat3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Distinct variable groups:    w, C    w, H    w, K    w,  .<_    w,  ./\    w, X    w, Y
Allowed substitution hints:    B( w)    .< ( w)

Proof of Theorem lhprelat3N
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
2 simpll1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
3 lhprelat3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 35115 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  B )
7 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
8 lhprelat3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 7, 4, 8lhpoc2N 35840 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  B )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
) )
102, 6, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K
) `  p )  e.  H ) )
111, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
)
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H )
13 hlop 35188 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
142, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OP )
15 hllat 35189 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
162, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
17 simpll3 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
183, 7opoccl 35020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )
1914, 6, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  B
)
20 lhprelat3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
213, 20latmcl 15808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
2216, 17, 19, 21syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
23 lhprelat3.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  (  <o  `  K )
243, 7, 23cvrcon3b 35103 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) C Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
2514, 22, 17, 24syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
26 hlol 35187 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
272, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OL )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
293, 28, 20, 7oldmm3N 35045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p ) )
3027, 17, 6, 29syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p ) )
3130breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p ) ) )
3225, 31bitr2d 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
33 simpll2 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  B )
34 lhprelat3.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
353, 34, 7oplecon3b 35026 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  <->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
3614, 33, 22, 35syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
3730breq1d 4466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 X ) ) )
3836, 37bitr2d 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
3932, 38anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) )  <->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) ) )
4039biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
4140ancomd 451 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )
42 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( Y  ./\  w )  =  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) )
4342breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  w )  <->  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) )
4442breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( Y  ./\  w
) C Y  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
4543, 44anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y )  <->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) ) )
4645rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H  /\  ( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
4712, 41, 46syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
48 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  HL )
4948, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  OP )
50 simpl3 1001 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
513, 7opoccl 35020 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  B
)
53 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
543, 7opoccl 35020 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
5549, 53, 54syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  B
)
56 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
57 lhprelat3.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
583, 57, 7opltcon3b 35030 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
) )
5949, 53, 50, 58syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  .<  ( ( oc
`  K ) `  X ) ) )
6056, 59mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)
613, 34, 57, 28, 23, 4hlrelat3 35237 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6248, 52, 55, 60, 61syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( ( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6347, 62r19.29a 2999 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   lecple 14718   occoc 14719   ltcplt 15696   joincjn 15699   meetcmee 15700   Latclat 15801   OPcops 34998   OLcol 35000    <o ccvr 35088   Atomscatm 35089   HLchlt 35176   LHypclh 35809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-lhyp 35813
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