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Theorem lhprelat3N 33575
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 32947. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhprelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhprelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhprelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lhprelat3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhprelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lhprelat3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhprelat3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Distinct variable groups:    w, C    w, H    w, K    w,  .<_    w,  ./\    w, X    w, Y
Allowed substitution hints:    B( w)    .< ( w)

Proof of Theorem lhprelat3N
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
2 simpll1 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
3 lhprelat3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
53, 4atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
65adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  B )
7 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
8 lhprelat3.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 7, 4, 8lhpoc2N 33550 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  B )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
) )
102, 6, 9syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K
) `  p )  e.  H ) )
111, 10mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
)
1211adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H )
13 hlop 32898 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
142, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OP )
15 hllat 32899 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
162, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
17 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
183, 7opoccl 32730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )
1914, 6, 18syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  B
)
20 lhprelat3.m . . . . . . . . . 10  |-  ./\  =  ( meet `  K )
213, 20latmcl 16298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
2216, 17, 19, 21syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
23 lhprelat3.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  (  <o  `  K )
243, 7, 23cvrcon3b 32813 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) C Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
2514, 22, 17, 24syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
26 hlol 32897 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OL )
28 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
293, 28, 20, 7oldmm3N 32755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p ) )
3027, 17, 6, 29syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p ) )
3130breq2d 4435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p ) ) )
3225, 31bitr2d 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
33 simpll2 1045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  B )
34 lhprelat3.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
353, 34, 7oplecon3b 32736 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  <->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
3614, 33, 22, 35syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
3730breq1d 4433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 X ) ) )
3836, 37bitr2d 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
3932, 38anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) )  <->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) ) )
4039biimpa 486 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
4140ancomd 452 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )
42 oveq2 6314 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( Y  ./\  w )  =  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) )
4342breq2d 4435 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  w )  <->  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) )
4442breq1d 4433 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( Y  ./\  w
) C Y  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
4543, 44anbi12d 715 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y )  <->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) ) )
4645rspcev 3182 . . 3  |-  ( ( ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H  /\  ( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
4712, 41, 46syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
48 simpl1 1008 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  HL )
4948, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  OP )
50 simpl3 1010 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
513, 7opoccl 32730 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
5249, 50, 51syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  B
)
53 simpl2 1009 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
543, 7opoccl 32730 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
5549, 53, 54syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  B
)
56 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
57 lhprelat3.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
583, 57, 7opltcon3b 32740 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
) )
5949, 53, 50, 58syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  .<  ( ( oc
`  K ) `  X ) ) )
6056, 59mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)
613, 34, 57, 28, 23, 4hlrelat3 32947 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6248, 52, 55, 60, 61syl31anc 1267 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( ( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
6347, 62r19.29a 2967 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Basecbs 15121   lecple 15197   occoc 15198   ltcplt 16186   joincjn 16189   meetcmee 16190   Latclat 16291   OPcops 32708   OLcol 32710    <o ccvr 32798   Atomscatm 32799   HLchlt 32886   LHypclh 33519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32712  df-ol 32714  df-oml 32715  df-covers 32802  df-ats 32803  df-atl 32834  df-cvlat 32858  df-hlat 32887  df-lhyp 33523
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