Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Unicode version

Theorem lhpocnel2 33036
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpocnel2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpocnel2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lhpocnel2.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3 lhpocnel2.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 lhpocnel2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
51, 2, 3, 4lhpocnel 33035 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  A  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W )  .<_  W ) )
6 lhpocnel2.p . . . 4  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
76eleq1i 2479 . . 3  |-  ( P  e.  A  <->  ( ( oc `  K ) `  W )  e.  A
)
86breq1i 4402 . . . 4  |-  ( P 
.<_  W  <->  ( ( oc
`  K ) `  W )  .<_  W )
98notbii 294 . . 3  |-  ( -.  P  .<_  W  <->  -.  (
( oc `  K
) `  W )  .<_  W )
107, 9anbi12i 695 . 2  |-  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  <-> 
( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  A  /\  -.  ( ( oc
`  K ) `  W )  .<_  W ) )
115, 10sylibr 212 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   lecple 14916   occoc 14917   Atomscatm 32281   HLchlt 32368   LHypclh 33001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-lhyp 33005
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  33992  diclspsn  34214  cdlemn3  34217  cdlemn4  34218  cdlemn4a  34219  cdlemn6  34222  cdlemn8  34224  cdlemn9  34225  cdlemn11a  34227  dihordlem7b  34235  dihopelvalcpre  34268  dihmeetlem1N  34310  dihglblem5apreN  34311  dihglbcpreN  34320  dihmeetlem4preN  34326  dihmeetlem13N  34339  dih1dimatlem0  34348  dih1dimatlem  34349  dihpN  34356  dihatexv  34358  dihjatcclem3  34440  dihjatcclem4  34441
  Copyright terms: Public domain W3C validator