Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Structured version   Unicode version

Theorem lhpoc2N 34686
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 34034 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2 lhpoc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lhpoc.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 33866 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
51, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
6 lhpoc.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 lhpoc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
82, 3, 6, 7lhpoc 34685 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  W )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  W )  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
95, 8syldan 470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  W
)  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
102, 3opococ 33867 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
111, 10sylan 471 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
1211eleq1d 2529 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A  <->  W  e.  A ) )
139, 12bitr2d 254 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579   Basecbs 14479   occoc 14552   OPcops 33844   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LHypclh 34655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-p0 15515  df-p1 15516  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-hlat 34023  df-lhyp 34659
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  34711
  Copyright terms: Public domain W3C validator