Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Structured version   Unicode version

Theorem lhpoc2N 33552
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 32900 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2 lhpoc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lhpoc.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 32732 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
51, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
6 lhpoc.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 lhpoc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
82, 3, 6, 7lhpoc 33551 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  W )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  W )  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
95, 8syldan 470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  W
)  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
102, 3opococ 32733 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
111, 10sylan 471 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
1211eleq1d 2504 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A  <->  W  e.  A ) )
139, 12bitr2d 254 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413   Basecbs 14166   occoc 14238   OPcops 32710   Atomscatm 32801   HLchlt 32888   LHypclh 33521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-p0 15201  df-p1 15202  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-hlat 32889  df-lhyp 33525
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  33577
  Copyright terms: Public domain W3C validator