Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Structured version   Unicode version

Theorem lhpoc 33656
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2442 . . 3  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
3 eqid 2442 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 lhpoc.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
51, 2, 3, 4islhp2 33639 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  W (  <o  `  K )
( 1. `  K
) ) )
6 lhpoc.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
7 lhpoc.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 2, 6, 3, 71cvrco 33114 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  (  ._|_  `  W )  e.  A
) )
95, 8bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   Basecbs 14173   occoc 14245   1.cp1 15207    <o ccvr 32905   Atomscatm 32906   HLchlt 32993   LHypclh 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-p0 15208  df-p1 15209  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-hlat 32994  df-lhyp 33630
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  33657  lhpocnle  33658  lhpocat  33659
  Copyright terms: Public domain W3C validator