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Theorem lhpmod2i2 35240
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 35064 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmod.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmod.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmod.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmod.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  H )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 lhpmod.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
63, 4, 5lhpocat 35219 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Atoms `  K ) )
71, 2, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Atoms `  K )
)
8 hlop 34565 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OP )
10 simp2l 1022 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  X  e.  B )
11 lhpmod.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
1211, 3opoccl 34397 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
139, 10, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  e.  B )
14 simp2r 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  e.  B )
1511, 3opoccl 34397 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
169, 14, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  Y )  e.  B )
17 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  .<_  X )
18 lhpmod.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1911, 18, 3oplecon3b 34403 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
209, 14, 10, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
2117, 20mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `  Y
) )
22 lhpmod.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
23 lhpmod.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 35061 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1241 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
26 hllat 34566 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
2811, 5lhpbase 35200 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
292, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  B )
3011, 23latmcl 15555 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
3127, 10, 29, 30syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3211, 22latjcl 15554 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3327, 31, 14, 32syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3411, 22latjcl 15554 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .\/  Y
)  e.  B )
3527, 29, 14, 34syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( W  .\/  Y )  e.  B )
3611, 23latmcl 15555 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B )
3727, 10, 35, 36syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)
3811, 3opcon3b 34399 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
399, 33, 37, 38syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
40 hlol 34564 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
411, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OL )
4211, 22, 23, 3oldmm1 34420 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4341, 10, 35, 42syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4411, 22, 23, 3oldmj1 34424 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
4541, 29, 14, 44syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
4645oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )
4743, 46eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( ( oc `  K ) `  W
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
4811, 22, 23, 3oldmj1 34424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
4941, 31, 14, 48syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
5011, 22, 23, 3oldmm1 34420 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
5141, 10, 29, 50syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
5251oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
5349, 52eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
5447, 53eqeq12d 2489 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5539, 54bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5625, 55mpbird 232 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   lecple 14578   occoc 14579   joincjn 15447   meetcmee 15448   Latclat 15548   OPcops 34375   OLcol 34377   Atomscatm 34466   HLchlt 34553   LHypclh 35186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-poset 15449  df-plt 15461  df-lub 15477  df-glb 15478  df-join 15479  df-meet 15480  df-p0 15542  df-p1 15543  df-lat 15549  df-clat 15611  df-oposet 34379  df-ol 34381  df-oml 34382  df-covers 34469  df-ats 34470  df-atl 34501  df-cvlat 34525  df-hlat 34554  df-psubsp 34705  df-pmap 34706  df-padd 34998  df-lhyp 35190
This theorem is referenced by:  cdleme30a  35580  trlcolem  35928
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