Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr4N Structured version   Unicode version

Theorem lhpmcvr4N 33560
Description: Specialization of lhpmcvr2 33558. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmcvr2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmcvr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmcvr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmcvr2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpmcvr2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )

Proof of Theorem lhpmcvr4N
StepHypRef Expression
1 simp2rr 1075 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  W )
2 simp33 1043 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  .<_  X )
3 simp1l 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 32898 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2rl 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  A )
7 lhpmcvr2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 lhpmcvr2.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 32824 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
106, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  B )
11 simp2ll 1072 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  X  e.  B )
12 simp31 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B )
13 lhpmcvr2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpmcvr2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 13, 14latlem12 16323 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
165, 10, 11, 12, 15syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
1716biimpd 210 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y
) ) )
182, 17mpand 679 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
19 simp32 1042 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
207, 14latmcl 16297 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
215, 11, 12, 20syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
22 simp1r 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  H )
23 lhpmcvr2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
247, 23lhpbase 33532 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2522, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  B )
267, 13lattr 16301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
275, 10, 21, 25, 26syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
2819, 27mpan2d 678 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  ( X  ./\  Y
)  ->  P  .<_  W ) )
2918, 28syld 45 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  W ) )
301, 29mtod 180 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   meetcmee 16189   Latclat 16290   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-poset 16190  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-lat 16291  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-lhyp 33522
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  33561  dihmeetlem17N  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator