Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat2 Structured version   Unicode version

Theorem lhpjat2 35846
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpjat.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
lhpjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpjat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpjat2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )

Proof of Theorem lhpjat2
StepHypRef Expression
1 hllat 35189 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lhpjat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atbase 35115 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
65ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
7 lhpjat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
83, 7lhpbase 35823 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
98ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
10 lhpjat.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
113, 10latjcom 15815 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( W  .\/  P
) )
122, 6, 9, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( W 
.\/  P ) )
13 lhpjat.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpjat.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1513, 10, 14, 4, 7lhpjat1 35845 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  P
)  =  .1.  )
1612, 15eqtrd 2498 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   lecple 14718   joincjn 15699   1.cp1 15794   Latclat 15801   Atomscatm 35089   HLchlt 35176   LHypclh 35809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-lhyp 35813
This theorem is referenced by:  lhpmcvr3  35850  cdleme0cp  36040  cdleme0cq  36041  cdleme1  36053  cdleme4  36064  cdleme5  36066  cdleme8  36076  cdleme9  36079  cdleme10  36080  cdleme22e  36171  cdleme22eALTN  36172  cdleme35b  36277  cdleme35e  36280  cdleme42a  36298  trlcoabs2N  36549  cdlemi1  36645  cdlemk4  36661  dia2dimlem1  36892  cdlemn10  37034  dihglbcpreN  37128
  Copyright terms: Public domain W3C validator