Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat2 Structured version   Unicode version

Theorem lhpjat2 33662
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpjat.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
lhpjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpjat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpjat2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )

Proof of Theorem lhpjat2
StepHypRef Expression
1 hllat 33005 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lhpjat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atbase 32931 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
65ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
7 lhpjat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
83, 7lhpbase 33639 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
98ad2antlr 726 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
10 lhpjat.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
113, 10latjcom 15227 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( W  .\/  P
) )
122, 6, 9, 11syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( W 
.\/  P ) )
13 lhpjat.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpjat.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1513, 10, 14, 4, 7lhpjat1 33661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  P
)  =  .1.  )
1612, 15eqtrd 2473 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   lecple 14243   joincjn 15112   1.cp1 15206   Latclat 15213   Atomscatm 32905   HLchlt 32992   LHypclh 33625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-lhyp 33629
This theorem is referenced by:  lhpmcvr3  33666  cdleme0cp  33855  cdleme0cq  33856  cdleme1  33868  cdleme4  33879  cdleme5  33881  cdleme8  33891  cdleme9  33894  cdleme10  33895  cdleme22e  33985  cdleme22eALTN  33986  cdleme35b  34091  cdleme35e  34094  cdleme42a  34112  trlcoabs2N  34363  cdlemi1  34459  cdlemk4  34475  dia2dimlem1  34706  cdlemn10  34848  dihglbcpreN  34942
  Copyright terms: Public domain W3C validator