Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat1 Structured version   Unicode version

Theorem lhpjat1 33760
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpjat.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
lhpjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpjat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpjat1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  P
)  =  .1.  )

Proof of Theorem lhpjat1
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 lhpjat.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3lhpbase 33738 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
54ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
6 simprl 755 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
7 lhpjat.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
97, 8, 3lhp1cvr 33739 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
)  .1.  )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W (  <o  `  K
)  .1.  )
11 simprr 756 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  P  .<_  W )
12 lhpjat.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 lhpjat.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
14 lhpjat.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
152, 12, 13, 7, 8, 141cvrjat 33215 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  A )  /\  ( W (  <o  `  K
)  .1.  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( W  .\/  P )  =  .1.  )
161, 5, 6, 10, 11, 15syl32anc 1226 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  P
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   lecple 14266   joincjn 15135   1.cp1 15229    <o ccvr 33003   Atomscatm 33004   HLchlt 33091   LHypclh 33724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-lhyp 33728
This theorem is referenced by:  lhpjat2  33761  lhpj1  33762  trljat1  33906  trljat2  33907  cdlemc1  33931  cdlemc6  33936  cdleme20c  34051  cdleme20j  34058  trlcolem  34466
  Copyright terms: Public domain W3C validator