Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Unicode version

Theorem lhpexnle 35019
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Distinct variable groups:    A, p    H, p    K, p    .<_ , p    W, p

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
2 eqid 2467 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 lhp2a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhp1cvr 35012 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
5 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  HL )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 3lhpbase 35011 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
9 hlop 34376 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
106, 1op1cl 34199 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
13 lhp2a.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
15 lhp2a.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 34426 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( W (  <o  `  K
) ( 1. `  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
175, 8, 12, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
184, 17mpbid 210 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W (
join `  K )
p )  =  ( 1. `  K ) ) )
19 simpl 457 . . 3  |-  ( ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  -.  p  .<_  W )
2019reximi 2932 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2118, 20syl 16 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   joincjn 15434   1.cp1 15528   OPcops 34186    <o ccvr 34276   Atomscatm 34277   HLchlt 34364   LHypclh 34997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-p1 15530  df-lat 15536  df-clat 15598  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-lhyp 35001
This theorem is referenced by:  trlcnv  35178  trlator0  35184  trlid0  35189  trlnidatb  35190  cdlemf2  35575  cdlemg1cex  35601  trlco  35740  cdlemg44  35746
  Copyright terms: Public domain W3C validator