Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Unicode version

Theorem lhpexnle 30488
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Distinct variable groups:    A, p    H, p    K, p    .<_ , p    W, p

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
2 eqid 2404 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 lhp2a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhp1cvr 30481 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
5 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  HL )
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 3lhpbase 30480 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
9 hlop 29845 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
106, 1op1cl 29668 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
13 lhp2a.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
15 lhp2a.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 29895 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( W (  <o  `  K
) ( 1. `  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
175, 8, 12, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
184, 17mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W (
join `  K )
p )  =  ( 1. `  K ) ) )
19 simpl 444 . . 3  |-  ( ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  -.  p  .<_  W )
2019reximi 2773 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2118, 20syl 16 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   1.cp1 14422   OPcops 29655    <o ccvr 29745   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  trlcnv  30647  trlator0  30653  trlid0  30658  trlnidatb  30659  cdlemf2  31044  cdlemg1cex  31070  trlco  31209  cdlemg44  31215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470
  Copyright terms: Public domain W3C validator