Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Unicode version

Theorem lhpexnle 33280
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Distinct variable groups:    A, p    H, p    K, p    .<_ , p    W, p

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
2 eqid 2429 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 lhp2a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhp1cvr 33273 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
5 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  HL )
6 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 3lhpbase 33272 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
87adantl 467 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
9 hlop 32637 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
106, 1op1cl 32460 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
1211adantr 466 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
13 lhp2a.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
15 lhp2a.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 32687 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( W (  <o  `  K
) ( 1. `  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
175, 8, 12, 16syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
184, 17mpbid 213 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W (
join `  K )
p )  =  ( 1. `  K ) ) )
19 simpl 458 . . 3  |-  ( ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  -.  p  .<_  W )
2019reximi 2900 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2118, 20syl 17 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   1.cp1 16235   OPcops 32447    <o ccvr 32537   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-lhyp 33262
This theorem is referenced by:  trlcnv  33440  trlator0  33446  trlid0  33451  trlnidatb  33452  cdlemf2  33838  cdlemg1cex  33864  trlco  34003  cdlemg44  34009
  Copyright terms: Public domain W3C validator