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Theorem lhpexle3lem 34807
Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpex1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpex1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , p    A, p    H, p    K, p    W, p    X, p    Y, p    Z, p

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 lhpex1.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lhpex1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 lhpex1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
52, 3, 4lhpexle2 34806 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
7 simp31 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  .<_  W )
8 simp32 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  X )
9 simp1r 1021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  X  =  Y )
108, 9neeqtrd 2762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Y )
11 simp33 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Z )
128, 10, 113jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) )
137, 12jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
14133exp 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) ) )
1514reximdvai 2935 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) )
166, 15mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
17 simp11 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
18 simp121 1128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
19 simp131 1131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
20 simp122 1129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
21 simp132 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
22 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
23 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
242, 22, 23, 3, 4lhp2lt 34797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  A  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X ( join `  K ) Y ) ( lt `  K
) W )
2517, 18, 19, 20, 21, 24syl122anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y ) ( lt
`  K ) W )
26 simp11l 1107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
27 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2827, 23, 3hlatjcl 34163 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X ( join `  K ) Y )  e.  ( Base `  K
) )
2926, 18, 20, 28syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y )  e.  (
Base `  K )
)
30 simp11r 1108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
3127, 4lhpbase 34794 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3327, 2, 22, 3hlrelat1 34196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3426, 29, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3525, 34mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) )
36 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  .<_  W )
3726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 34160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4027, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
4218adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  A )
4327, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
4520adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  A )
4627, 3atbase 34086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
48 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  -.  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
4927, 2, 23latnlej1l 15549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  X )
5039, 41, 44, 47, 48, 49syl131anc 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  X )
5127, 2, 23latnlej1r 15550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Y )
5239, 41, 44, 47, 48, 51syl131anc 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Y )
53 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )
54 nbrne2 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Z  =/=  p )
5554necomd 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
5653, 48, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Z )
5750, 52, 563jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  =/=  Z ) )
5836, 57jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
5958exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
6059reximdvai 2935 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
6135, 60mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
62613expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
63 simp11l 1107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
64 simp121 1128 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
65 simp122 1129 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
66 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  =/=  Y )
672, 23, 3hlsupr 34182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  X  =/=  Y
)  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6863, 64, 65, 66, 67syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6963adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
7069, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
7140ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
7264adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  A )
7365adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
7469, 72, 73, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
) )
75 simp11r 1108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
7675adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  H )
7776, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
78 simprr3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
79 simp131 1131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  .<_  W )
81 simp132 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  .<_  W )
8372, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
8473, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
8527, 2, 23latjle12 15542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <-> 
( X ( join `  K ) Y ) 
.<_  W ) )
8670, 83, 84, 77, 85syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <->  ( X
( join `  K ) Y )  .<_  W ) )
8780, 82, 86mpbi2and 919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  .<_  W )
8827, 2, 70, 71, 74, 77, 78, 87lattrd 15538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  W )
89 simprr1 1044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  X )
90 simprr2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Y )
91 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )
92 nbrne2 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
9378, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Z )
9489, 90, 933jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) )
9588, 94jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  .<_  W  /\  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) ) )
9695exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( p  e.  A  ->  ( ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
9796reximdvai 2935 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( E. p  e.  A  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
9868, 97mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
99983expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10062, 99pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10116, 100pm2.61dane 2785 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   lecple 14555   ltcplt 15421   joincjn 15424   Latclat 15525   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-lhyp 34784
This theorem is referenced by:  lhpexle3  34808
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