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Theorem lhpexle3lem 33974
Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpex1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpex1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , p    A, p    H, p    K, p    W, p    X, p    Y, p    Z, p

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 lhpex1.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lhpex1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 lhpex1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
52, 3, 4lhpexle2 33973 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
7 simp31 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  .<_  W )
8 simp32 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  X )
9 simp1r 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  X  =  Y )
108, 9neeqtrd 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Y )
11 simp33 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Z )
128, 10, 113jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) )
137, 12jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
14133exp 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) ) )
1514reximdvai 2926 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) )
166, 15mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
17 simp11 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
18 simp121 1120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
19 simp131 1123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
20 simp122 1121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
21 simp132 1124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
22 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
23 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
242, 22, 23, 3, 4lhp2lt 33964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  A  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X ( join `  K ) Y ) ( lt `  K
) W )
2517, 18, 19, 20, 21, 24syl122anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y ) ( lt
`  K ) W )
26 simp11l 1099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
27 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2827, 23, 3hlatjcl 33330 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X ( join `  K ) Y )  e.  ( Base `  K
) )
2926, 18, 20, 28syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y )  e.  (
Base `  K )
)
30 simp11r 1100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
3127, 4lhpbase 33961 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3327, 2, 22, 3hlrelat1 33363 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3426, 29, 32, 33syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3525, 34mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) )
36 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  .<_  W )
3726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 33327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4027, 3atbase 33253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
4218adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  A )
4327, 3atbase 33253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
4520adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  A )
4627, 3atbase 33253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
48 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  -.  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
4927, 2, 23latnlej1l 15353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  X )
5039, 41, 44, 47, 48, 49syl131anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  X )
5127, 2, 23latnlej1r 15354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Y )
5239, 41, 44, 47, 48, 51syl131anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Y )
53 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )
54 nbrne2 4413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Z  =/=  p )
5554necomd 2720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
5653, 48, 55syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Z )
5750, 52, 563jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  =/=  Z ) )
5836, 57jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
5958exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
6059reximdvai 2926 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
6135, 60mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
62613expa 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
63 simp11l 1099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
64 simp121 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
65 simp122 1121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
66 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  =/=  Y )
672, 23, 3hlsupr 33349 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  X  =/=  Y
)  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6863, 64, 65, 66, 67syl31anc 1222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6963adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
7069, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
7140ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
7264adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  A )
7365adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
7469, 72, 73, 28syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
) )
75 simp11r 1100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
7675adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  H )
7776, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
78 simprr3 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
79 simp131 1123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
8079adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  .<_  W )
81 simp132 1124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  .<_  W )
8372, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
8473, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
8527, 2, 23latjle12 15346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <-> 
( X ( join `  K ) Y ) 
.<_  W ) )
8670, 83, 84, 77, 85syl13anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <->  ( X
( join `  K ) Y )  .<_  W ) )
8780, 82, 86mpbi2and 912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  .<_  W )
8827, 2, 70, 71, 74, 77, 78, 87lattrd 15342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  W )
89 simprr1 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  X )
90 simprr2 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Y )
91 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )
92 nbrne2 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
9378, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Z )
9489, 90, 933jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) )
9588, 94jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  .<_  W  /\  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) ) )
9695exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( p  e.  A  ->  ( ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
9796reximdvai 2926 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( E. p  e.  A  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
9868, 97mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
99983expa 1188 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10062, 99pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10116, 100pm2.61dane 2767 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   lecple 14359   ltcplt 15225   joincjn 15228   Latclat 15329   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-lhyp 33951
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