Theorem lhpat2 33654

Description: Create an atom under a co-atom. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpat.l	|- .<_ = ( le ` K )
lhpat.j	|- .\/ = ( join ` K )
lhpat.m	|- ./\ = ( meet ` K )
lhpat.a	|- A = ( Atoms ` K )
lhpat.h	|- H = ( LHyp ` K )
lhpat2.r	|- R = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )

Assertion

Ref	Expression
lhpat2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> R e. A )

Proof of Theorem lhpat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpat2.r	. 2 |- R = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
2		lhpat.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		lhpat.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		lhpat.m	. . 3 |- ./\ = ( meet ` K )
5		lhpat.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
6		lhpat.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
7	2, 3, 4, 5, 6	lhpat 33652	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A )
8	1, 7	syl5eqel 2543	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> R e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   lecple 15245   joincjn 16237   meetcmee 16238   Atomscatm 32873   HLchlt 32960   LHypclh 33593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-preset 16221  df-poset 16239  df-plt 16252  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-p0 16333  df-p1 16334  df-lat 16340  df-clat 16402  df-oposet 32786  df-ol 32788  df-oml 32789  df-covers 32876  df-ats 32877  df-atl 32908  df-cvlat 32932  df-hlat 32961  df-lhyp 33597

This theorem is referenced by:  lhpat3  33655  4atexlemu  33673  4atexlemv  33674  cdleme0a  33821  cdleme0dN  33826  cdleme0e  33827  cdleme02N  33832  cdleme0ex1N  33833  cdleme0moN  33835  cdleme3b  33839  cdleme3c  33840  cdleme3g  33844  cdleme3h  33845  cdleme3  33847  cdleme7aa  33852  cdleme7c  33855  cdleme7d  33856  cdleme7e  33857  cdleme7ga  33858  cdleme7  33859  cdleme9a  33861  cdleme16aN  33869  cdleme11a  33870  cdleme11c  33871  cdleme12  33881  cdleme16b  33889  cdleme16c  33890  cdleme16d  33891  cdleme20h  33927  cdleme20j  33929  cdleme20l2  33932  cdlemeg46rgv  34139  cdlemeg46req  34140