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Theorem lhp2lt 33018
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2lt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lhp2lt.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhp2lt.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2lt.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<  W )

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1024 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  .<_  W )
2 simp3r 1026 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  .<_  W )
3 simp1l 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 32381 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2l 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 lhp2lt.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 32307 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
11 simp3l 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  e.  A )
127, 8atbase 32307 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
14 simp1r 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
15 lhp2lt.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
167, 15lhpbase 33015 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1714, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
18 lhp2lt.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 lhp2lt.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
207, 18, 19latjle12 16016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  W  /\  Q  .<_  W )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W ) )
215, 10, 13, 17, 20syl13anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .<_  W  /\  Q  .<_  W )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W ) )
221, 2, 21mpbi2and 922 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W )
2319, 18, 83dim2 32485 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
243, 6, 11, 23syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
25 simp11l 1108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  HL )
26 hlop 32380 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2725, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  OP )
2825, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp12l 1110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  P  e.  A )
30 simp13l 1112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  Q  e.  A )
317, 19, 8hlatjcl 32384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 29, 30, 31syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
33 simp2l 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  r  e.  A )
347, 8atbase 32307 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
367, 19latjcl 16005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  (
Base `  K )
)
3728, 32, 35, 36syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  (
Base `  K )
)
38 simp2r 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  s  e.  A )
397, 8atbase 32307 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K )
)
417, 19latjcl 16005 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s )  e.  (
Base `  K )
)
4228, 37, 40, 41syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s )  e.  (
Base `  K )
)
43 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
44 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
457, 43, 44ncvr1 32290 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )  ->  -.  ( 1. `  K
) (  <o  `  K
) ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
4627, 42, 45syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  -.  ( 1. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.\/  s ) )
47 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
48 simpl1l 1048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  HL )
4948, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  Lat )
50 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  P  e.  A )
51 simpl3l 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  Q  e.  A )
5248, 50, 51, 31syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
53 simpr1l 1054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
r  e.  A )
5453, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
5549, 52, 54, 36syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
) )
5648, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  OP )
57 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
587, 47, 57op01dm 32201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( Base `  K )  e.  dom  ( lub `  K
)  /\  ( Base `  K )  e.  dom  ( glb `  K ) ) )
5958simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  OP  ->  ( Base `  K )  e. 
dom  ( lub `  K
) )
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( Base `  K )  e.  dom  ( lub `  K
) )
617, 47, 18, 43, 48, 55, 60ple1 15998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.<_  ( 1. `  K
) )
62 hlpos 32383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6348, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  Poset )
647, 43op1cl 32203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
66 simpr2l 1056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
677, 18, 19, 44, 8cvr1 32427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  A )  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( P  .\/  Q ) (  <o  `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )
6848, 52, 53, 67syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r ) ) )
6966, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r ) )
70 simpr3 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =  W )
71 simpl1r 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  W  e.  H )
7243, 44, 15lhp1cvr 33016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
7348, 71, 72syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
7470, 73eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
757, 18, 44cvrcmp 32301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( 1. `  K )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  /\  ( P  .\/  Q ) ( 
<o  `  K ) ( 1. `  K ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.<_  ( 1. `  K
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) ) )
7663, 55, 65, 52, 69, 74, 75syl132anc 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .<_  ( 1.
`  K )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) ) )
7761, 76mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) )
78 simpr2r 1057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) )
79 simpr1r 1055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
s  e.  A )
807, 18, 19, 44, 8cvr1 32427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
8148, 55, 79, 80syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
8278, 81mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
) )
8377, 82eqbrtrrd 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( 1. `  K
) (  <o  `  K
) ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
84833exp2 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  W  ->  ( 1. `  K ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
85843imp 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  W  ->  ( 1. `  K ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
8685necon3bd 2615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( -.  ( 1. `  K ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
)  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) )
8746, 86mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
)
88873exp 1196 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) ) )
8988rexlimdvv 2902 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) )
9024, 89mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =/=  W )
913, 6, 11, 31syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
92 lhp2lt.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
9318, 92pltval 15914 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  H )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .<  W  <->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  W  /\  ( P  .\/  Q )  =/=  W ) ) )
943, 91, 14, 93syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<  W  <->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  W  /\  ( P  .\/  Q )  =/=  W ) ) )
9522, 90, 94mpbir2and 923 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   Posetcpo 15893   ltcplt 15894   lubclub 15895   glbcglb 15896   joincjn 15897   1.cp1 15992   Latclat 15999   OPcops 32190    <o ccvr 32280   Atomscatm 32281   HLchlt 32368   LHypclh 33001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-lhyp 33005
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  33028
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