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Theorem lhop 22960
Description: L'Hôpital's Rule. If  I is an open set of the reals,  F and  G are real functions on  A containing all of  I except possibly  B, which are differentiable everywhere on  I  \  { B },  F and  G both approach 0, and the limit of  F'  ( x )  /  G'  ( x ) at  B is  C, then the limit  F ( x )  /  G ( x ) at  B also exists and equals  C. This is Metamath 100 proof #64. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lhop.f  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
lhop.g  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
lhop.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
lhop.b  |-  ( ph  ->  B  e.  I )
lhop.d  |-  D  =  ( I  \  { B } )
lhop.if  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
lhop.ig  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
lhop.f0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  B ) )
lhop.g0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  B ) )
lhop.gn0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( G " D ) )
lhop.gd0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( ( RR  _D  G
) " D ) )
lhop.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
lhop  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, C    z, D    z, F    ph, z    z, G   
z, I
Allowed substitution hint:    A( z)

Proof of Theorem lhop
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
21rexmet 21801 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR ) )
4 lhop.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
5 lhop.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  I )
6 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
71, 6tgioo 21806 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
87mopni2 21500 . . 3  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( *Met `  RR )  /\  I  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  B  e.  I
)  ->  E. r  e.  RR+  ( B (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  I )
93, 4, 5, 8syl3anc 1265 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  ( B ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  I )
10 elssuni 4246 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  I  C_  U. ( topGen `
 ran  (,) )
)
11 uniretop 21775 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1210, 11syl6sseqr 3512 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  I  C_  RR )
134, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  C_  RR )
1413, 5sseldd 3466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
15 rpre 11310 . . . . . 6  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
161bl2ioo 21802 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( B ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
) )
1714, 15, 16syl2an 480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( B
( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
1817sseq1d 3492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( B ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  I  <->  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I
) )
1914adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  e.  RR )
20 simprl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
r  e.  RR+ )
2120rpred 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
r  e.  RR )
2219, 21resubcld 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  -  r
)  e.  RR )
2322rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  -  r
)  e.  RR* )
2419, 20ltsubrpd 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  -  r
)  <  B )
25 lhop.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2625adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  F : A --> RR )
27 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  -  r ) (,) B )  C_  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
28 unass 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { B }  u.  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( { B }  u.  ( (
( B  -  r
) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )
29 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { B }  u.  (
( B  -  r
) (,) B ) )  =  ( ( ( B  -  r
) (,) B )  u.  { B }
)
3029uneq1i 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { B }  u.  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( ( ( B  -  r
) (,) B )  u.  { B }
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
3128, 30eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { B }  u.  (
( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
3219rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  e.  RR* )
3319, 21readdcld 9672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  +  r )  e.  RR )
3433rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  +  r )  e.  RR* )
3519, 20ltaddrpd 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  <  ( B  +  r ) )
36 ioojoin 11765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  -  r )  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( B  +  r )  e.  RR* )  /\  (
( B  -  r
)  <  B  /\  B  <  ( B  +  r ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  r
) (,) B )  u.  { B }
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
3723, 32, 34, 24, 35, 36syl32anc 1273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
) )
3831, 37syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( { B }  u.  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
39 elioo2 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  -  r
)  e.  RR*  /\  ( B  +  r )  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  <->  ( B  e.  RR  /\  ( B  -  r )  < 
B  /\  B  <  ( B  +  r ) ) ) )
4023, 34, 39syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B  e.  ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) )  <-> 
( B  e.  RR  /\  ( B  -  r
)  <  B  /\  B  <  ( B  +  r ) ) ) )
4119, 24, 35, 40mpbir3and 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  e.  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
4241snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  { B }  C_  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) )
43 incom 3656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { B }  i^i  (
( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  i^i  { B }
)
44 ubioo 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  B  e.  ( ( B  -  r ) (,) B
)
45 lbioo 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  B  e.  ( B (,) ( B  +  r )
)
4644, 45pm3.2ni 863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  ( B  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  \/  B  e.  ( B (,) ( B  +  r )
) )
47 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r )
) )  <->  ( B  e.  ( ( B  -  r ) (,) B
)  \/  B  e.  ( B (,) ( B  +  r )
) ) )
4846, 47mtbir 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  B  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
49 disjsn 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  i^i  { B }
)  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )
5048, 49mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  i^i  { B }
)  =  (/)
5143, 50eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { B }  i^i  (
( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  (/)
52 uneqdifeq 3885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { B }  C_  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  /\  ( { B }  i^i  (
( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  (/) )  -> 
( ( { B }  u.  ( (
( B  -  r
) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  <->  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  =  ( ( ( B  -  r
) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) )
5342, 51, 52sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( { B }  u.  ( (
( B  -  r
) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  <->  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  =  ( ( ( B  -  r
) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) )
5438, 53mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  =  ( ( ( B  -  r ) (,) B
)  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )
5527, 54syl5sseqr 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
) )
56 ssdif 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I  ->  (
( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  C_  (
I  \  { B } ) )
5756ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  C_  (
I  \  { B } ) )
58 lhop.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I  \  { B } )
5957, 58syl6sseqr 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  C_  D
)
60 lhop.if . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
61 ax-resscn 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
63 fss 5752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
6425, 61, 63sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
65 lhop.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6662, 64, 65dvbss 22848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  C_  A
)
6760, 66sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  D  C_  A )
6959, 68sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  C_  A
)
7055, 69sstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  A )
7126, 70fssresd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( F  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) : ( ( B  -  r ) (,) B ) --> RR )
72 lhop.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
7372adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  G : A --> RR )
7473, 70fssresd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( G  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) : ( ( B  -  r ) (,) B ) --> RR )
7561a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  RR  C_  CC )
7664adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  F : A --> CC )
7765adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  A  C_  RR )
78 ioossre 11698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  -  r ) (,) B )  C_  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  RR )
80 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8180tgioo2 21813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
8280, 81dvres 22858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  RR  /\  ( ( B  -  r ) (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) )
8375, 76, 77, 79, 82syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) )
84 retop 21774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
85 iooretop 21778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  -  r ) (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
86 isopn3i 20090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( B  -  r ) (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  (
( B  -  r
) (,) B ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) B ) )
8784, 85, 86mp2an 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( ( B  -  r
) (,) B )
8887reseq2i 5119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )
8983, 88syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
9089dmeqd 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
9155, 59sstrd 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  D )
9260adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
9391, 92sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
94 ssdmres 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  r
) (,) B ) 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( ( B  -  r
) (,) B ) )
9593, 94sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) B ) )
9690, 95eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) B ) )
97 fss 5752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : A --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : A --> CC )
9872, 61, 97sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
9998adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  G : A --> CC )
10080, 81dvres 22858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : A --> CC )  /\  ( A  C_  RR  /\  ( ( B  -  r ) (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )  =  ( ( RR  _D  G )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) )
10175, 99, 77, 79, 100syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) )
10287reseq2i 5119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )
103101, 102syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
104103dmeqd 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
105 lhop.ig . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  D  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
10791, 106sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
108 ssdmres 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  r
) (,) B ) 
C_  dom  ( RR  _D  G )  <->  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( ( B  -  r
) (,) B ) )
109107, 108sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) B ) )
110104, 109eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) B ) )
111 limcresi 22832 . . . . . . . . . 10  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)
112 lhop.f0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  B ) )
113112adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( F lim
CC  B ) )
114111, 113sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) lim CC  B ) )
115 limcresi 22832 . . . . . . . . . 10  |-  ( G lim
CC  B )  C_  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)
116 lhop.g0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  B ) )
117116adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( G lim
CC  B ) )
118115, 117sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) lim CC  B ) )
119 df-ima 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G
" ( ( B  -  r ) (,) B ) )  =  ran  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )
120 imass2 5221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  -  r
) (,) B ) 
C_  D  ->  ( G " ( ( B  -  r ) (,) B ) )  C_  ( G " D ) )
12191, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( G " (
( B  -  r
) (,) B ) )  C_  ( G " D ) )
122119, 121syl5eqssr 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( G  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) )  C_  ( G " D ) )
123 lhop.gn0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( G " D ) )
124123adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  ( G " D ) )
125122, 124ssneldd 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )
126103rneqd 5079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ran  ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
127 df-ima 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  G )
" ( ( B  -  r ) (,) B ) )  =  ran  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )
128126, 127syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G ) "
( ( B  -  r ) (,) B
) ) )
129 imass2 5221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  -  r
) (,) B ) 
C_  D  ->  (
( RR  _D  G
) " ( ( B  -  r ) (,) B ) ) 
C_  ( ( RR 
_D  G ) " D ) )
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) " (
( B  -  r
) (,) B ) )  C_  ( ( RR  _D  G ) " D ) )
131128, 130eqsstrd 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) 
C_  ( ( RR 
_D  G ) " D ) )
132 lhop.gd0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( ( RR  _D  G
) " D ) )
133132adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  (
( RR  _D  G
) " D ) )
134131, 133ssneldd 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) )
135 limcresi 22832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) lim CC  B )
13691resmptd 5173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) )
13789fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
) )
138 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  z ) )
139137, 138sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z )  =  ( ( RR  _D  F
) `  z )
)
140103fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z )  =  ( ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
) )
141 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  ->  (
( ( RR  _D  G )  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) `  z )  =  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )
142140, 141sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z )  =  ( ( RR  _D  G
) `  z )
)
143139, 142oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )
144143mpteq2dva 4508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z )  /  (
( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) )
145136, 144eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z )  /  ( ( RR 
_D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z ) ) ) )
146145oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z )  /  ( ( RR 
_D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
147135, 146syl5sseq 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  B )  C_  (
( z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z )  /  (
( RR  _D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
148 lhop.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
149148adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
150147, 149sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) ) `  z )  /  ( ( RR 
_D  ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
15123, 19, 24, 71, 74, 96, 110, 114, 118, 125, 134, 150lhop2 22959 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
)  /  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
15255resmptd 5173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) )
153 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  ->  (
( F  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
154 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  ->  (
( G  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) `  z )  =  ( G `  z ) )
155153, 154oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  ->  (
( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
)  /  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) `  z ) )  =  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) )
156155mpteq2ia 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( F  |`  (
( B  -  r
) (,) B ) ) `  z )  /  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
) ) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) )
157152, 156syl6eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) )  =  ( z  e.  ( ( B  -  r ) (,) B )  |->  ( ( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
)  /  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) `  z ) ) ) )
158157oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) lim CC  B )  =  ( ( z  e.  ( ( B  -  r
) (,) B ) 
|->  ( ( ( F  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) `  z
)  /  ( ( G  |`  ( ( B  -  r ) (,) B ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
159151, 158eleqtrrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
) )
160 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) ( B  +  r ) )  C_  ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
161160, 54syl5sseqr 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
) )
162161, 69sstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  A )
16326, 162fssresd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) : ( B (,) ( B  +  r
) ) --> RR )
16473, 162fssresd 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) : ( B (,) ( B  +  r
) ) --> RR )
165 ioossre 11698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B (,) ( B  +  r ) )  C_  RR
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  RR )
16780, 81dvres 22858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  RR  /\  ( B (,) ( B  +  r
) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) )
16875, 76, 77, 166, 167syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) )
169 iooretop 21778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B (,) ( B  +  r ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
170 isopn3i 20090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( B (,) ( B  +  r ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r
) ) )
17184, 169, 170mp2an 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r ) )
172171reseq2i 5119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
173168, 172syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )
174173dmeqd 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) )
175161, 59sstrd 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  D )
176175, 92sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
177 ssdmres 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B (,) ( B  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) )  =  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
178176, 177sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r
) ) )
179174, 178eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r
) ) )
18080, 81dvres 22858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  G : A --> CC )  /\  ( A  C_  RR  /\  ( B (,) ( B  +  r
) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  G
)  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) )
18175, 99, 77, 166, 180syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) )
182171reseq2i 5119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  G )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
183181, 182syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )
184183dmeqd 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) )
185175, 106sstrd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
186 ssdmres 5143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B (,) ( B  +  r ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  G )  <->  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) )  =  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
187185, 186sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r
) ) )
188184, 187eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( B (,) ( B  +  r
) ) )
189 limcresi 22832 . . . . . . . . . 10  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B )
190189, 113sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B ) )
191 limcresi 22832 . . . . . . . . . 10  |-  ( G lim
CC  B )  C_  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B )
192191, 117sseldi 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
0  e.  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B ) )
193 df-ima 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G
" ( B (,) ( B  +  r
) ) )  =  ran  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
194 imass2 5221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B (,) ( B  +  r ) ) 
C_  D  ->  ( G " ( B (,) ( B  +  r
) ) )  C_  ( G " D ) )
195175, 194syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( G " ( B (,) ( B  +  r ) ) ) 
C_  ( G " D ) )
196193, 195syl5eqssr 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) 
C_  ( G " D ) )
197196, 124ssneldd 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) )
198183rneqd 5079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ran  ( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) )
199 df-ima 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  G )
" ( B (,) ( B  +  r
) ) )  =  ran  ( ( RR 
_D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )
200198, 199syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  G ) "
( B (,) ( B  +  r )
) ) )
201 imass2 5221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B (,) ( B  +  r ) ) 
C_  D  ->  (
( RR  _D  G
) " ( B (,) ( B  +  r ) ) ) 
C_  ( ( RR 
_D  G ) " D ) )
202175, 201syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) " ( B (,) ( B  +  r ) ) ) 
C_  ( ( RR 
_D  G ) " D ) )
203200, 202eqsstrd 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) 
C_  ( ( RR 
_D  G ) " D ) )
204203, 133ssneldd 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) )
205 limcresi 22832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  B ) 
C_  ( ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B )
206175resmptd 5173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) )
207173fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
) )
208 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `
 z )  =  ( ( RR  _D  F ) `  z
) )
209207, 208sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
)  =  ( ( RR  _D  F ) `
 z ) )
210183fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z )  =  ( ( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
) )
211 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  ->  (
( ( RR  _D  G )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `
 z )  =  ( ( RR  _D  G ) `  z
) )
212210, 211sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  ->  ( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
)  =  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) )
213209, 212oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )
214213mpteq2dva 4508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r )
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) )
215206, 214eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r
) ) ) ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z ) ) ) )
216215oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) lim CC  B
)  =  ( ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z )  /  ( ( RR 
_D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
) ) ) lim CC  B ) )
217205, 216syl5sseq 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  B )  C_  (
( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
218217, 149sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z )  /  ( ( RR 
_D  ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) ) `  z
) ) ) lim CC  B ) )
21919, 34, 35, 163, 164, 179, 188, 190, 192, 197, 204, 218lhop1 22958 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `  z )  /  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
) ) ) lim CC  B ) )
220161resmptd 5173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) )
221 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  ->  (
( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
222 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  ->  (
( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
223221, 222oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  ->  (
( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `  z )  /  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
) )  =  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )
224223mpteq2ia 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r
) )  |->  ( ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `
 z )  / 
( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )
225220, 224syl6eqr 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) )  =  ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) )  |->  ( ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `  z )  /  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
) ) ) )
226225oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) lim CC  B )  =  ( ( z  e.  ( B (,) ( B  +  r ) ) 
|->  ( ( ( F  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) `  z
)  /  ( ( G  |`  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
227219, 226eleqtrrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) lim CC  B
) )
228159, 227elind 3651 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)  i^i  ( (
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) lim CC  B
) ) )
22959resmptd 5173 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  D  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )  |`  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } ) )  =  ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) )
230229oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } ) ) lim CC  B )  =  ( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) lim
CC  B ) )
23167sselda 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  A )
23225ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
233231, 232syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
234233recnd 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
23572ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
236231, 235syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
237236recnd 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
238123adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  -.  0  e.  ( G " D ) )
239 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
24072, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
241240adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  G  Fn  A )
24267adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  D  C_  A )
243 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  D )
244 fnfvima 6156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  A  /\  D  C_  A  /\  z  e.  D )  ->  ( G `  z )  e.  ( G " D
) )
245241, 242, 243, 244syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( G `  z )  e.  ( G " D
) )
246 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  z )  =  0  ->  (
( G `  z
)  e.  ( G
" D )  <->  0  e.  ( G " D ) ) )
247245, 246syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( G `  z
)  =  0  -> 
0  e.  ( G
" D ) ) )
248247necon3bd 2637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( -.  0  e.  ( G " D )  -> 
( G `  z
)  =/=  0 ) )
249238, 248mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( G `  z )  =/=  0 )
250234, 237, 249divcld 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( F `  z
)  /  ( G `
 z ) )  e.  CC )
251250adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  D
)  ->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e.  CC )
252 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  D  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )
253251, 252fmptd 6059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) : D --> CC )
254 difss 3593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I 
\  { B }
)  C_  I
25558, 254eqsstri 3495 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  I
25613, 61syl6ss 3477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  C_  CC )
257255, 256syl5ss 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
258257adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  D  C_  CC )
259 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) )
26058uneq1i 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  u.  { B }
)  =  ( ( I  \  { B } )  u.  { B } )
261 undif1 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( I  u.  { B } )
262260, 261eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  u.  { B }
)  =  ( I  u.  { B }
)
263 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  C_  I )
26442, 263sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  { B }  C_  I
)
265 ssequn2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { B }  C_  I  <->  ( I  u.  { B } )  =  I )
266264, 265sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( I  u.  { B } )  =  I )
267262, 266syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( D  u.  { B } )  =  I )
268267oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  I
) )
26913adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  I  C_  RR )
270 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
27180, 270rerest 21814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  I )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  I
) )
272269, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  I )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  I
) )
273268, 272eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  I ) )
274273fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) )  =  ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  I ) ) )
275274fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( int `  ( ( topGen `  ran  (,) )t  I ) ) `  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
) ) )
27680cnfldtopon 21795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
277256adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  I  C_  CC )
278 resttopon 20169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  I  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  I )  e.  (TopOn `  I ) )
279276, 277, 278sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  I )  e.  (TopOn `  I ) )
280 topontop 19933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  I )  e.  (TopOn `  I )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  I )  e.  Top )
281279, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  I )  e.  Top )
282272, 281eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  I )  e.  Top )
283 iooretop 21778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
284283a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
2854adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  I  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
286 restopn2 20185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  I  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  I )  <->  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) ) )
28784, 285, 286sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  I
)  <->  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  C_  I )
) )
288284, 263, 287mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  I
) )
289 isopn3i 20090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  I )  e.  Top  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  I
) )  ->  (
( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  I
) ) `  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
290282, 288, 289syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( int `  (
( topGen `  ran  (,) )t  I
) ) `  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
291275, 290eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
29241, 291eleqtrrd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) ) )
293 undif1 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  u.  { B } )
294 ssequn2 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { B }  C_  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) )  <-> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  u.  { B } )  =  ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) )
29542, 294sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  u.  { B } )  =  ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) )
296293, 295syl5eq 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) )
297296fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `  ( ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  u.  { B } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) ) ) )
298292, 297eleqtrrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  B  e.  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  ( D  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  u.  { B } ) ) )
299253, 59, 258, 80, 259, 298limcres 22833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } ) ) lim CC  B )  =  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  B
) )
30078, 61sstri 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  -  r ) (,) B )  C_  CC
301300a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( B  -  r ) (,) B
)  C_  CC )
302165, 61sstri 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) ( B  +  r ) )  C_  CC
303302a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( B (,) ( B  +  r )
)  C_  CC )
30459sselda 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } ) )  -> 
z  e.  D )
305304, 251syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I ) )  /\  z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } ) )  -> 
( ( F `  z )  /  ( G `  z )
)  e.  CC )
306 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) )
307305, 306fmptd 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) : ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } ) --> CC )
30854feq2d 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) : ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } ) --> CC  <->  ( z  e.  ( ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) : ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r ) ) ) --> CC ) )
309307, 308mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) : ( ( ( B  -  r ) (,) B )  u.  ( B (,) ( B  +  r )
) ) --> CC )
310301, 303, 309limcun 22842 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) lim
CC  B )  =  ( ( ( ( z  e.  ( ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)  i^i  ( (
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) lim CC  B
) ) )
311230, 299, 3103eqtr3rd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  -> 
( ( ( ( z  e.  ( ( ( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
\  { B }
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )  |`  ( ( B  -  r ) (,) B
) ) lim CC  B
)  i^i  ( (
( z  e.  ( ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r )
)  \  { B } )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  |`  ( B (,) ( B  +  r )
) ) lim CC  B
) )  =  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  B
) )
312228, 311eleqtrd 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( B  -  r ) (,) ( B  +  r ) )  C_  I ) )  ->  C  e.  ( (
z  e.  D  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
313312expr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( B  -  r
) (,) ( B  +  r ) ) 
C_  I  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) lim CC  B ) ) )
31418, 313sylbid 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( B ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  I  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) lim
CC  B ) ) )
315314rexlimdva 2918 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  ( B ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  C_  I  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  B
) ) )
3169, 315mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  D  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854    o. ccom 4855    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   RR*cxr 9676