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Theorem lgsval2lem 23854
Description: Lemma for lgsval2 23860. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 14322 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
2 lgsval.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
32lgsval 23848 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
41, 3sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
5 prmnn 14321 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
76nnne0d 10541 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  =/=  0 )
87neneqd 2605 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  =  0
)
98iffalsed 3895 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
106nnnn0d 10813 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
1110nn0ge0d 10816 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
0  <_  N )
12 0re 9546 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
136nnred 10511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
14 lenlt 9614 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  <  0
)
1716intnanrd 918 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
1817iffalsed 3895 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
1913, 11absidd 13310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( abs `  N
)  =  N )
2019fveq2d 5809 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )
21 1z 10855 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
22 prmuz2 14336 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2322adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
24 df-2 10555 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2524fveq2i 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
2623, 25syl6eleq 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
27 seqm1 12078 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( F `  N
) ) )
2821, 26, 27sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( F `  N
) ) )
29 1t1e1 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  1 )  =  1 )
31 uz2m1nn 11119 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3223, 31syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
33 nnuz 11080 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3432, 33syl6eleq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
35 elfznn 11685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  e.  NN )
3635adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  x  e.  NN )
372lgsfval 23849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e. 
Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
39 elfzelz 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
4039zred 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  RR )
4140ltm1d 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
42 elfzle2 11661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  <_  ( N  -  1 ) )
43 peano2rem 9842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4540, 44lenltd 9683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  <_  ( N  - 
1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  N ) )
4642, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  ( N  -  1
)  <  N )
4741, 46pm2.65i 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
48 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  <->  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
4947, 48mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  N  ->  -.  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5049con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  x  =  N )
5150ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  =  N )
52 prmuz2 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5352adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
54 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
55 dvdsprm 14341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5653, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5751, 56mtbird 299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  N )
58 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
596ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
60 pceq0 14495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6158, 59, 60syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6257, 61mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  pCnt  N )  =  0 )
6362oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 ) ) ^ 0 ) )
64 0z 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
65 neg1z 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  ZZ
6621, 65keepel 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  ZZ
6764, 66keepel 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  ZZ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  x  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  e.  ZZ )
69 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  Prime )
72 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  -.  x  = 
2 )
7372neqned 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  =/=  2
)
74 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
7571, 73, 74sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
76 oddprm 14440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
7877nnnn0d 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
79 zexpcl 12135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8070, 78, 79syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
8180peano2zd 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
82 prmnn 14321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
8382ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  NN )
8481, 83zmodcld 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  NN0 )
8584nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ )
86 peano2zm 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  e.  ZZ )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 )  e.  ZZ )
8868, 87ifclda 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  ZZ )
8988zcnd 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9089adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9190exp0d 12258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
0 )  =  1 )
9263, 91eqtrd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  1 )
9392ifeq1da 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 ) )
94 ifid 3921 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 )  =  1
9593, 94syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  1 )
9638, 95eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  1 )
9730, 34, 96seqid3 12105 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( N  -  1
) )  =  1 )
9897oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( N  -  1 ) )  x.  ( F `  N ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N )
) )
991adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
1002lgsfcl 23852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
10169, 99, 7, 100syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  F : NN --> ZZ )
102101, 6ffvelrnd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  ZZ )
103102zcnd 10929 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  CC )
104103mulid2d 9564 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  ( F `  N )
)  =  ( F `
 N ) )
10528, 98, 1043eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( F `  N ) )
10620, 105eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  =  ( F `
 N ) )
10718, 106oveq12d 6252 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N ) ) )
1082lgsfval 23849 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e. 
Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 ) )
1096, 108syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )
110 iftrue 3890 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) )
111110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) )
1126nncnd 10512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  CC )
113112exp1d 12259 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N ^ 1 )  =  N )
114113oveq2d 6250 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  ( N  pCnt  N ) )
115 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
116 pcid 14497 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  pCnt  ( N ^
1 ) )  =  1 )
117115, 21, 116sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  1 )
118114, 117eqtr3d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  N
)  =  1 )
119118oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 ) )
12089ralrimiva 2817 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC )
121 eqeq1 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  =  2  <->  N  =  2 ) )
122 oveq1 6241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
123122oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
124123oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
125124oveq1d 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
126 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
127125, 126oveq12d 6252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  =  ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N ) )
128127oveq1d 6249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )
129121, 128ifbieq2d 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
130129eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC  <->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
131130rspcv 3155 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
132115, 120, 131sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
133132exp1d 12259 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
134119, 133eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
135109, 111, 1343eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
136107, 104, 1353eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
1374, 9, 1363eqtrd 2447 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    \ cdif 3410   ifcif 3884   {csn 3971   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761   -ucneg 9762    / cdiv 10167   NNcn 10496   2c2 10546   7c7 10551   8c8 10552   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   ...cfz 11643    mod cmo 11947    seqcseq 12061   ^cexp 12120   abscabs 13123    || cdvds 14087   Primecprime 14318    pCnt cpc 14461    /Lclgs 23842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-dvds 14088  df-gcd 14246  df-prm 14319  df-phi 14397  df-pc 14462  df-lgs 23843
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  23855  lgsval2  23860
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