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Theorem lgsval2lem 22620
Description: Lemma for lgsval2 22626. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 13759 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
2 lgsval.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
32lgsval 22614 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
5 prmnn 13758 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
76nnne0d 10358 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  =/=  0 )
87neneqd 2619 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  =  0
)
9 iffalse 3794 . . 3  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
116nnnn0d 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
1211nn0ge0d 10631 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
0  <_  N )
13 0re 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
146nnred 10329 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
15 lenlt 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1613, 14, 15sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1712, 16mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  <  0
)
1817intnanrd 908 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
19 iffalse 3794 . . . . 5  |-  ( -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
)  ->  if (
( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
2114, 12absidd 12901 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( abs `  N
)  =  N )
2221fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N
) )
23 1z 10668 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
24 prmuz2 13773 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2524adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
26 df-2 10372 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2726fveq2i 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
2825, 27syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
29 seqm1 11815 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( F `  N
) ) )
3023, 28, 29sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( N  - 
1 ) )  x.  ( F `  N
) ) )
31 1t1e1 10461 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  1 )  =  1 )
33 uz2m1nn 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3425, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
35 nnuz 10888 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
37 elfznn 11470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  e.  NN )
3837adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  x  e.  NN )
392lgsfval 22615 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e. 
Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
41 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
4241zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  RR )
4342ltm1d 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
44 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  <_  ( N  -  1 ) )
45 peano2rem 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4742, 46lenltd 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  <_  ( N  - 
1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  N ) )
4844, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  ( N  -  1
)  <  N )
4943, 48pm2.65i 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
50 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  <->  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
5149, 50mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  N  ->  -.  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5251con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  x  =  N )
5352ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  =  N )
54 prmuz2 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
56 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
57 dvdsprm 13777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5855, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5953, 58mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  N )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
616ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
62 pceq0 13929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6459, 63mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  pCnt  N )  =  0 )
6564oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 ) ) ^ 0 ) )
66 0z 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
67 neg1z 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  ZZ
6823, 67keepel 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  ZZ
6966, 68keepel 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  ZZ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  x  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  e.  ZZ )
71 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
73 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  Prime )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  -.  x  = 
2 )
7574neneqad 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  =/=  2
)
76 eldifsn 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
7773, 75, 76sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
78 oddprm 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
8079nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
81 zexpcl 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8272, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
8382peano2zd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
84 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  NN )
8683, 85zmodcld 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  NN0 )
8786nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ )
88 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  e.  ZZ )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 )  e.  ZZ )
9070, 89ifclda 3816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  ZZ )
9190zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9291adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9392exp0d 11994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
0 )  =  1 )
9465, 93eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  1 )
9594ifeq1da 3814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 ) )
96 ifid 3821 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 )  =  1
9795, 96syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  1 )
9840, 97eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  1 )
9932, 36, 98seqid3 11842 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( N  -  1
) )  =  1 )
10099oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( N  -  1 ) )  x.  ( F `  N ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N )
) )
1011adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
1022lgsfcl 22618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
10371, 101, 7, 102syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  F : NN --> ZZ )
104103, 6ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  ZZ )
105104zcnd 10740 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  CC )
106105mulid2d 9396 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  ( F `  N )
)  =  ( F `
 N ) )
10730, 100, 1063eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  N )  =  ( F `  N ) )
10822, 107eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  =  ( F `
 N ) )
10920, 108oveq12d 6104 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N ) ) )
1102lgsfval 22615 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e. 
Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 ) )
1116, 110syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )
112 iftrue 3792 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) )
113112adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) )
1146nncnd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  CC )
115114exp1d 11995 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N ^ 1 )  =  N )
116115oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  ( N  pCnt  N ) )
117 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
118 pcid 13931 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  pCnt  ( N ^
1 ) )  =  1 )
119117, 23, 118sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  1 )
120116, 119eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  N
)  =  1 )
121120oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 ) )
12291ralrimiva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC )
123 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  =  2  <->  N  =  2 ) )
124 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
125124oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
126125oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
127126oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
128 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
129127, 128oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  =  ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N ) )
130129oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )
131123, 130ifbieq2d 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
132131eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC  <->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
133132rspcv 3064 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
134117, 122, 133sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
135134exp1d 11995 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
136121, 135eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
137111, 113, 1363eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
138109, 106, 1373eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
1394, 10, 1383eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  /L
N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710    \ cdif 3320   ifcif 3786   {csn 3872   {cpr 3874   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   7c7 10368   8c8 10369   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429    mod cmo 11700    seqcseq 11798   ^cexp 11857   abscabs 12715    || cdivides 13527   Primecprime 13755    pCnt cpc 13895    /Lclgs 22608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-phi 13833  df-pc 13896  df-lgs 22609
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  22621  lgsval2  22626
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