MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq2 Structured version   Unicode version

Theorem lgssq2 23809
Description: The Legendre symbol at a square is equal to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgssq2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L ( N ^ 2 ) )  =  1 )

Proof of Theorem lgssq2
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 10882 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 10564 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
543ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  =/=  0 )
6 lgsdi 23805 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  =/=  0  /\  N  =/=  0
) )  ->  ( A  /L ( N  x.  N ) )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
71, 3, 3, 5, 5, 6syl32anc 1234 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L ( N  x.  N ) )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
8 nncn 10539 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
983ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  CC )
109sqvald 12289 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
1110oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L ( N ^ 2 ) )  =  ( A  /L ( N  x.  N ) ) )
12 lgscl 23783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
131, 3, 12syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  ZZ )
1413zred 10965 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  RR )
15 absresq 13217 . . . 4  |-  ( ( A  /L N )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
17 lgsabs1 23807 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
182, 17sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
1918biimp3ar 1327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1 )
2019oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
21 sq1 12244 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eq 2511 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  1 )
2313zcnd 10966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  CC )
2423sqvald 12289 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  /L
N ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
2516, 22, 243eqtr3d 2503 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  1  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
267, 11, 253eqtr4d 2505 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L ( N ^ 2 ) )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10531   2c2 10581   ZZcz 10860   ^cexp 12148   abscabs 13149    gcd cgcd 14228    /Lclgs 23767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-prm 14302  df-phi 14380  df-pc 14445  df-lgs 23768
This theorem is referenced by:  lgs1  23811  lgsquad2lem2  23832
  Copyright terms: Public domain W3C validator