MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq Structured version   Unicode version

Theorem lgssq 22686
Description: The Legendre symbol at a square is equal to  1. Together with lgsmod 22672 this implies that the Legendre symbol takes value  1 at every quadratic residue. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgssq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  1 )

Proof of Theorem lgssq
StepHypRef Expression
1 nnz 10680 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 10366 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
543ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  =/=  0 )
6 lgsdir 22681 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  A  =/=  0
) )  ->  (
( A  x.  A
)  /L N )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
72, 2, 3, 5, 5, 6syl32anc 1226 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  x.  A
)  /L N )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
8 nncn 10342 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
983ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  CC )
109sqvald 12017 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
1110oveq1d 6118 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  ( ( A  x.  A )  /L N ) )
12 lgscl 22661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
132, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  ZZ )
1413zred 10759 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  RR )
15 absresq 12803 . . . 4  |-  ( ( A  /L N )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
17 lgsabs1 22685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
181, 17sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
1918biimp3ar 1319 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1 )
2019oveq1d 6118 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
21 sq1 11972 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  1 )
2313zcnd 10760 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  CC )
2423sqvald 12017 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  /L
N ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
2516, 22, 243eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  1  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
267, 11, 253eqtr4d 2485 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299   NNcn 10334   2c2 10383   ZZcz 10658   ^cexp 11877   abscabs 12735    gcd cgcd 13702    /Lclgs 22645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-phi 13853  df-pc 13916  df-lgs 22646
This theorem is referenced by:  1lgs  22688  lgsqr  22697  lgsquad2lem2  22710
  Copyright terms: Public domain W3C validator