MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq Structured version   Unicode version

Theorem lgssq 23736
Description: The Legendre symbol at a square is equal to  1. Together with lgsmod 23722 this implies that the Legendre symbol takes value  1 at every quadratic residue. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgssq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  1 )

Proof of Theorem lgssq
StepHypRef Expression
1 nnz 10907 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
213ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
3 simp2 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 10589 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
543ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  =/=  0 )
6 lgsdir 23731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  A  =/=  0
) )  ->  (
( A  x.  A
)  /L N )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
72, 2, 3, 5, 5, 6syl32anc 1236 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  x.  A
)  /L N )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
8 nncn 10564 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
983ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  CC )
109sqvald 12310 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
1110oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  ( ( A  x.  A )  /L N ) )
12 lgscl 23711 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
132, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  ZZ )
1413zred 10990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  RR )
15 absresq 13147 . . . 4  |-  ( ( A  /L N )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N ) ^ 2 ) )
17 lgsabs1 23735 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
181, 17sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
1918biimp3ar 1329 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1 )
2019oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
21 sq1 12265 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eq 2514 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  /L N ) ) ^ 2 )  =  1 )
2313zcnd 10991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  /L N )  e.  CC )
2423sqvald 12310 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  /L
N ) ^ 2 )  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
2516, 22, 243eqtr3d 2506 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  1  =  ( ( A  /L N )  x.  ( A  /L N ) ) )
267, 11, 253eqtr4d 2508 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ 2 )  /L N )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ^cexp 12169   abscabs 13079    gcd cgcd 14156    /Lclgs 23695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-pc 14373  df-lgs 23696
This theorem is referenced by:  1lgs  23738  lgsqr  23747  lgsquad2lem2  23760
  Copyright terms: Public domain W3C validator