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Theorem lgsquadlem3 24283
Description: Lemma for lgsquad 24284. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgsquad.4  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.6  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, N, y    x, Q, y    x, S    x, M    y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43necomd 2691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =/=  P )
5 lgsquad.5 . . . . 5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
6 lgsquad.4 . . . . 5  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
7 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  z  e.  ( 1 ... M
) ) )
8 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  w  e.  ( 1 ... N
) ) )
97, 8bi2anan9 881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( z  e.  ( 1 ... M
)  /\  w  e.  ( 1 ... N
) ) ) )
10 ancom 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( 1 ... M )  /\  w  e.  ( 1 ... N ) )  <-> 
( w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) ) )
119, 10syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( w  e.  ( 1 ... N
)  /\  z  e.  ( 1 ... M
) ) ) )
12 oveq1 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  Q )  =  ( z  x.  Q ) )
13 oveq1 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  x.  P )  =  ( w  x.  P ) )
1412, 13breqan12d 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  <-> 
( z  x.  Q
)  <  ( w  x.  P ) ) )
1511, 14anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1615ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  w  /\  x  =  z )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1716cbvopabv 4493 . . . . 5  |-  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  =  { <. w ,  z
>.  |  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) }
181, 2, 4, 5, 6, 17lgsquadlem2 24282 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  /L
Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
19 relopab 4979 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }
20 fzfid 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
21 fzfid 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
22 xpfi 7852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
2320, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
24 opabssxp 4928 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
25 ssfi 7802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
C_  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
2623, 24, 25sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
27 cnven 7656 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  /\  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
2819, 26, 27sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
29 cnvopab 5256 . . . . . . 7  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }
3028, 29syl6breq 4463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )
31 hasheni 12538 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
~~  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  ->  (
# `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3230, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3332oveq2d 6322 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
3418, 33eqtr4d 2466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  /L
Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
35 lgsquad.6 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
362, 1, 3, 6, 5, 35lgsquadlem2 24282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  /L
P )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 S ) ) )
3734, 36oveq12d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )  x.  ( -u 1 ^ ( # `  S ) ) ) )
38 neg1cn 10721 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3938a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
40 opabssxp 4928 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
4135, 40eqsstri 3494 . . . . 5  |-  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
42 ssfi 7802 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) ) )  ->  S  e.  Fin )
4323, 41, 42sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
44 hashcl 12545 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
46 hashcl 12545 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin  ->  ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  e.  NN0 )
4726, 46syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  e.  NN0 )
4839, 45, 47expaddd 12425 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } ) )  x.  ( -u 1 ^ ( # `  S
) ) ) )
491eldifad 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  Prime )
51 prmnn 14625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  NN )
53 oddprm 14765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
555, 54syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN )
5756nnzd 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
58 prmz 14626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
5950, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
60 peano2zm 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q  e.  ZZ  ->  ( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6256nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  RR )
6361zred 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR )
64 prmuz2 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6550, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
66 uz2m1nn 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( Q  -  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  NN )
6867nnrpd 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR+ )
69 rphalflt 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( Q  -  1 )  /  2 )  < 
( Q  -  1 ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  <  ( Q  -  1 ) )
715, 70syl5eqbr 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <  ( Q  - 
1 ) )
7262, 63, 71ltled 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <_  ( Q  - 
1 ) )
73 eluz2 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( Q  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( Q  -  1 ) ) )
7457, 61, 72, 73syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
75 fzss2 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( Q  -  1 ) ) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
77 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... N ) )
7876, 77sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
79 fzm1ndvds 14357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  NN  /\  y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )  ->  -.  Q  ||  y
)
8052, 78, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  y )
814adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  =/=  P )
822eldifad 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
8382adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  Prime )
84 prmrp 14658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( Q  gcd  P
)  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8550, 83, 84syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  gcd  P )  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8681, 85mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  gcd  P
)  =  1 )
87 prmz 14626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
8883, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
89 elfzelz 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  ZZ )
9089ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
91 coprmdvds 14659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( P  x.  y )  /\  ( Q  gcd  P
)  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9259, 88, 90, 91syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  ||  ( P  x.  y
)  /\  ( Q  gcd  P )  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9386, 92mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  ->  Q  ||  y ) )
9480, 93mtod 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( P  x.  y ) )
95 prmnn 14625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
9683, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  NN )
9796nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  CC )
98 elfznn 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
9998ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  NN )
10099nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  CC )
10197, 100mulcomd 9672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( P  x.  y
)  =  ( y  x.  P ) )
102101breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  <->  Q 
||  ( y  x.  P ) ) )
10394, 102mtbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( y  x.  P ) )
104 elfzelz 11808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  ZZ )
105104ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
106 dvdsmul2 14325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
107105, 59, 106syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
108 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  ( Q  ||  ( x  x.  Q )  <->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
109107, 108syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
110109necon3bd 2632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( -.  Q  ||  ( y  x.  P
)  ->  ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P ) ) )
111103, 110mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  =/=  ( y  x.  P ) )
112 elfznn 11836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  NN )
113112ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  NN )
114113, 52nnmulcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  NN )
115114nnred 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  RR )
11699, 96nnmulcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  NN )
117116nnred 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  RR )
118115, 117lttri2d 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P )  <-> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
119111, 118mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
120119ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
121120pm4.71rd 639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
122 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) )
123121, 122syl6rbb 265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
124123opabbidv 4487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) } )
125 unopab 4499 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
12635uneq2i 3617 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
127 andi 875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
128127opabbii 4488 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
129125, 126, 1283eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }
130 df-xp 4859 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) }
131124, 129, 1303eqtr4g 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  S )  =  ( ( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )
132131fveq2d 5886 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  (
# `  ( (
1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) ) )
133 inopab 4984 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
13435ineq2i 3661 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
135 anandi 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
136135opabbii 4488 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
137133, 134, 1363eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }
138 ltnsym2 9741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  x.  Q
)  e.  RR  /\  ( y  x.  P
)  e.  RR )  ->  -.  ( (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )
139115, 117, 138syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
140139ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
141 imnan 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -.  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
142140, 141sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
143142nexdv 1775 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
144143nexdv 1775 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
145 opabn0 4751 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
146145necon1bbii 2684 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x E. y
( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
147144, 146sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
148137, 147syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  S )  =  (/) )
149 hashun 12568 . . . . 5  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin  /\  S  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S
) ) )
15026, 43, 148, 149syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )
151 hashxp 12611 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
15220, 21, 151syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
153 oddprm 14765 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1542, 153syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1556, 154syl5eqel 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
156155nnnn0d 10933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
157 hashfz1 12536 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
158156, 157syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
15955nnnn0d 10933 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
160 hashfz1 12536 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
161159, 160syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
162158, 161oveq12d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
163152, 162eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
164132, 150, 1633eqtr3d 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) )  =  ( M  x.  N
) )
165164oveq2d 6322 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N ) ) )
16637, 48, 1653eqtr2d 2469 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   class class class wbr 4423   {copab 4481    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   Rel wrel 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ~~ cen 7578   Fincfn 7581   CCcc 9545   RRcr 9546   1c1 9548    + caddc 9550    x. cmul 9552    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   -ucneg 9869    / cdiv 10277   NNcn 10617   2c2 10667   NN0cn0 10877   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   RR+crp 11310   ...cfz 11792   ^cexp 12279   #chash 12522    || cdvds 14305    gcd cgcd 14468   Primecprime 14622    /Lclgs 24221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-tpos 6985  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-ec 7377  df-qs 7381  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-phi 14714  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-imas 15407  df-qus 15409  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-nzr 18482  df-rlreg 18507  df-domn 18508  df-idom 18509  df-cnfld 18971  df-zring 19039  df-zrh 19074  df-zn 19077  df-lgs 24222
This theorem is referenced by:  lgsquad  24284
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