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Theorem lgsquadlem3 23359
Description: Lemma for lgsquad 23360. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgsquad.4  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.6  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, N, y    x, Q, y    x, S    x, M    y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43necomd 2738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =/=  P )
5 lgsquad.5 . . . . 5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
6 lgsquad.4 . . . . 5  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
7 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  z  e.  ( 1 ... M
) ) )
8 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  w  e.  ( 1 ... N
) ) )
97, 8bi2anan9 871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( z  e.  ( 1 ... M
)  /\  w  e.  ( 1 ... N
) ) ) )
10 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( 1 ... M )  /\  w  e.  ( 1 ... N ) )  <-> 
( w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) ) )
119, 10syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( w  e.  ( 1 ... N
)  /\  z  e.  ( 1 ... M
) ) ) )
12 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  Q )  =  ( z  x.  Q ) )
13 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  x.  P )  =  ( w  x.  P ) )
1412, 13breqan12d 4462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  <-> 
( z  x.  Q
)  <  ( w  x.  P ) ) )
1511, 14anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1615ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  w  /\  x  =  z )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1716cbvopabv 4516 . . . . 5  |-  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  =  { <. w ,  z
>.  |  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) }
181, 2, 4, 5, 6, 17lgsquadlem2 23358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  /L
Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
19 relopab 5127 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }
20 fzfid 12047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
21 fzfid 12047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
22 xpfi 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
24 opabssxp 5072 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
25 ssfi 7737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
C_  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
27 cnven 7588 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  /\  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
29 cnvopab 5405 . . . . . . 7  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }
3028, 29syl6breq 4486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )
31 hasheni 12385 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
~~  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  ->  (
# `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3332oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
3418, 33eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  /L
Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
35 lgsquad.6 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
362, 1, 3, 6, 5, 35lgsquadlem2 23358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  /L
P )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 S ) ) )
3734, 36oveq12d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )  x.  ( -u 1 ^ ( # `  S ) ) ) )
38 neg1cn 10635 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3938a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
40 opabssxp 5072 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
4135, 40eqsstri 3534 . . . . 5  |-  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
42 ssfi 7737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) ) )  ->  S  e.  Fin )
4323, 41, 42sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
44 hashcl 12392 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
46 hashcl 12392 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin  ->  ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  e.  NN0 )
4726, 46syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  e.  NN0 )
4839, 45, 47expaddd 12276 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } ) )  x.  ( -u 1 ^ ( # `  S
) ) ) )
491eldifad 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  Prime )
51 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  NN )
53 oddprm 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
555, 54syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN )
5756nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
58 prmz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
5950, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
60 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q  e.  ZZ  ->  ( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6256nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  RR )
6361zred 10962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR )
64 prmuz2 14090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6550, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
66 uz2m1nn 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( Q  -  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  NN )
6867nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR+ )
69 rphalflt 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( Q  -  1 )  /  2 )  < 
( Q  -  1 ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  <  ( Q  -  1 ) )
715, 70syl5eqbr 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <  ( Q  - 
1 ) )
7262, 63, 71ltled 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <_  ( Q  - 
1 ) )
73 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( Q  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( Q  -  1 ) ) )
7457, 61, 72, 73syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
75 fzss2 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( Q  -  1 ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
77 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... N ) )
7876, 77sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
79 fzm1ndvds 13893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  NN  /\  y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )  ->  -.  Q  ||  y
)
8052, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  y )
814adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  =/=  P )
822eldifad 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  Prime )
84 prmrp 14097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( Q  gcd  P
)  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8550, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  gcd  P )  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8681, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  gcd  P
)  =  1 )
87 prmz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
8883, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
89 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  ZZ )
9089ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
91 coprmdvds 14098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( P  x.  y )  /\  ( Q  gcd  P
)  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9259, 88, 90, 91syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  ||  ( P  x.  y
)  /\  ( Q  gcd  P )  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9386, 92mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  ->  Q  ||  y ) )
9480, 93mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( P  x.  y ) )
95 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
9683, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  NN )
9796nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  CC )
98 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
9998ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  NN )
10099nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  CC )
10197, 100mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( P  x.  y
)  =  ( y  x.  P ) )
102101breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  <->  Q 
||  ( y  x.  P ) ) )
10394, 102mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( y  x.  P ) )
104 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  ZZ )
105104ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
106 dvdsmul2 13863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
107105, 59, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
108 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  ( Q  ||  ( x  x.  Q )  <->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
109107, 108syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
110109necon3bd 2679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( -.  Q  ||  ( y  x.  P
)  ->  ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P ) ) )
111103, 110mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  =/=  ( y  x.  P ) )
112 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  NN )
113112ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  NN )
114113, 52nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  NN )
115114nnred 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  RR )
11699, 96nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  NN )
117116nnred 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  RR )
118115, 117lttri2d 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P )  <-> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
119111, 118mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
120119ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
121120pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
122 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) )
123121, 122syl6rbb 262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
124123opabbidv 4510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) } )
125 unopab 4522 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
12635uneq2i 3655 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
127 andi 865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
128127opabbii 4511 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
129125, 126, 1283eqtr4i 2506 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }
130 df-xp 5005 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) }
131124, 129, 1303eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  S )  =  ( ( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )
132131fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  (
# `  ( (
1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) ) )
133 inopab 5131 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
13435ineq2i 3697 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
135 anandi 826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
136135opabbii 4511 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
137133, 134, 1363eqtr4i 2506 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }
138 ltnsym2 9680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  x.  Q
)  e.  RR  /\  ( y  x.  P
)  e.  RR )  ->  -.  ( (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )
139115, 117, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
140139ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
141 imnan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -.  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
142140, 141sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
143142nexdv 1832 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
144143nexdv 1832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
145 opabn0 4778 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
146145necon1bbii 2731 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x E. y
( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
147144, 146sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
148137, 147syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  S )  =  (/) )
149 hashun 12414 . . . . 5  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin  /\  S  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S
) ) )
15026, 43, 148, 149syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )
151 hashxp 12454 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
15220, 21, 151syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
153 oddprm 14194 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1542, 153syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1556, 154syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
156155nnnn0d 10848 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
157 hashfz1 12383 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
158156, 157syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
15955nnnn0d 10848 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
160 hashfz1 12383 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
161159, 160syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
162158, 161oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
163152, 162eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
164132, 150, 1633eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) )  =  ( M  x.  N
) )
165164oveq2d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N ) ) )
16637, 48, 1653eqtr2d 2514 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  /L Q )  x.  ( Q  /L
P ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   {copab 4504    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   ^cexp 12130   #chash 12369    || cdivides 13843    gcd cgcd 13999   Primecprime 14072    /Lclgs 23297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-phi 14151  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-imas 14759  df-divs 14760  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-field 17182  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-nzr 17688  df-rlreg 17702  df-domn 17703  df-idom 17704  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-lgs 23298
This theorem is referenced by:  lgsquad  23360
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