Theorem lgsquad2lem2 22701

Description: Lemma for lgsquad2 22702. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	|- ( ph -> M e. NN )
lgsquad2.2	|- ( ph -> -. 2 || M )
lgsquad2.3	|- ( ph -> N e. NN )
lgsquad2.4	|- ( ph -> -. 2 || N )
lgsquad2.5	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
lgsquad2lem2.f	|- ( ( ph /\ ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
lgsquad2lem2.s	|- ( ps <-> A. x e. ( 1 ... k ) ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem2	|- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, M   x, m, N   ph, m, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( x, k, m)   M( x, k)   N( k)

Proof of Theorem lgsquad2lem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		2nn 10482	. . . . 5 |- 2 e. NN
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
4		lgsquad2.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	1	nnzd 10749	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		2z 10681	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7		gcdcom 13707	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( M gcd 2 ) = ( 2 gcd M ) )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( M gcd 2 ) = ( 2 gcd M ) )
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 2 || M )
10		2prm 13782	. . . . . . 7 |- 2 e. Prime
11		coprm 13789	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( -. 2 || M <-> ( 2 gcd M ) = 1 ) )
12	10, 5, 11	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. 2 || M <-> ( 2 gcd M ) = 1 ) )
13	9, 12	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 gcd M ) = 1 )
14	8, 13	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( M gcd 2 ) = 1 )
15		rpmulgcd 13742	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ 2 e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M gcd 2 ) = 1 ) -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd N ) )
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1221	. . 3 |- ( ph -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd N ) )
17		lgsquad2.5	. . 3 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
18	16, 17	eqtrd 2475	. 2 |- ( ph -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
19		oveq1 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( m /L N ) = ( 1 /L N ) )
20		oveq2 6102	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( N /L m ) = ( N /L 1 ) )
21	19, 20	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) )
22		oveq1 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( m - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
23		1m1e0 10393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 - 1 ) = 0
24	22, 23	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( m - 1 ) = 0 )
25	24	oveq1d 6109	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
26		2cn 10395	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
27		2ne0 10417	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
28	26, 27	div0i 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 / 2 ) = 0
29	25, 28	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = 0 )
30	29	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
31	30	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
32	21, 31	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
33	32	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
34	33	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = 1 -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
35		oveq1 6101	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( x gcd ( 2 x. N ) ) )
36	35	eqeq1d 2451	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
37		oveq1 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m /L N ) = ( x /L N ) )
38		oveq2 6102	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( N /L m ) = ( N /L x ) )
39	37, 38	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) )
40		oveq1 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( m = x -> ( m - 1 ) = ( x - 1 ) )
41	40	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( m = x -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( x - 1 ) / 2 ) )
42	41	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
43	42	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
44	39, 43	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
45	36, 44	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( m = x -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
46	45	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = x -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
47		oveq1 6101	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( y gcd ( 2 x. N ) ) )
48	47	eqeq1d 2451	. . . . . 6 |- ( m = y -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
49		oveq1 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( m /L N ) = ( y /L N ) )
50		oveq2 6102	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( N /L m ) = ( N /L y ) )
51	49, 50	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) )
52		oveq1 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> ( m - 1 ) = ( y - 1 ) )
53	52	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( y - 1 ) / 2 ) )
54	53	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
55	54	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
56	51, 55	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( m = y -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
57	48, 56	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( m = y -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = y -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
59		oveq1 6101	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) )
60	59	eqeq1d 2451	. . . . . 6 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
61		oveq1 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m /L N ) = ( ( x x. y ) /L N ) )
62		oveq2 6102	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( N /L m ) = ( N /L ( x x. y ) ) )
63	61, 62	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) )
64		oveq1 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m - 1 ) = ( ( x x. y ) - 1 ) )
65	64	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) )
66	65	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
67	66	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	63, 67	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	60, 68	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
70	69	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
71		oveq1 6101	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd ( 2 x. N ) ) )
72	71	eqeq1d 2451	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
73		oveq1 6101	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m /L N ) = ( M /L N ) )
74		oveq2 6102	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( N /L m ) = ( N /L M ) )
75	73, 74	oveq12d 6112	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
76		oveq1 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( m - 1 ) = ( M - 1 ) )
77	76	oveq1d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
78	77	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
79	78	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
80	75, 79	eqeq12d 2457	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
81	72, 80	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
82	81	imbi2d 316	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
83		1t1e1 10472	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
84		neg1cn 10428	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
85		exp0 11872	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2466	. . . . . 6 |- ( 1 x. 1 ) = ( -u 1 ^ 0 )
88		sq1 11963	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
89	88	oveq1i 6104	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = ( 1 /L N )
90		1nn 10336	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
92	4	nnzd 10749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
93		1gcd 13724	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = 1 )
95		lgssq 22677	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN /\ N e. ZZ /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) -> ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = 1 )
96	91, 92, 94, 95	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = 1 )
97	89, 96	syl5eqr 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 /L N ) = 1 )
98	88	oveq2i 6105	. . . . . . . 8 |- ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = ( N /L 1 )
99		gcd1 13719	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd 1 ) = 1 )
100	92, 99	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N gcd 1 ) = 1 )
101		lgssq2 22678	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. NN /\ ( N gcd 1 ) = 1 ) -> ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = 1 )
102	92, 91, 100, 101	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = 1 )
103	98, 102	syl5eqr 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N /L 1 ) = 1 )
104	97, 103	oveq12d 6112	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
105		nnm1nn0 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
106	4, 105	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
107	106	nn0cnd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
108	107	halfcld 10572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
109	108	mul02d 9570	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = 0 )
110	109	oveq2d 6110	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ 0 ) )
111	87, 104, 110	3eqtr4a 2501	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
112	111	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
113		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. Prime )
114		prmz 13770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Prime -> m e. ZZ )
115	114	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. ZZ )
116	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
117	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN )
118	117	nnzd 10749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> N e. ZZ )
119		zmulcl 10696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
120	6, 118, 119	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
121		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
122		dvdsmul1 13557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
123	6, 118, 122	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
124		rpdvds 13813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) /\ ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ 2 || ( 2 x. N ) ) ) -> ( m gcd 2 ) = 1 )
125	115, 116, 120, 121, 123, 124	syl32anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd 2 ) = 1 )
126		prmrp 13790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( m gcd 2 ) = 1 <-> m =/= 2 ) )
127	113, 10, 126	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( ( m gcd 2 ) = 1 <-> m =/= 2 ) )
128	125, 127	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m =/= 2 )
129		eldifsn 4003	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( m e. Prime /\ m =/= 2 ) )
130	113, 128, 129	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. ( Prime \ { 2 } ) )
131		prmnn 13769	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. Prime -> m e. NN )
132	131	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. NN )
133	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 e. NN )
134		rpmulgcd 13742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN /\ 2 e. NN /\ N e. NN ) /\ ( m gcd 2 ) = 1 ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( m gcd N ) )
135	132, 133, 117, 125, 134	syl31anc 1221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( m gcd N ) )
136	135, 121	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd N ) = 1 )
137	130, 136	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) )
138		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
139	137, 138	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
140	139	exp32 605	. . . . 5 |- ( ph -> ( m e. Prime -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
141	140	com12 31	. . . 4 |- ( m e. Prime -> ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
142		jcab 858	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) /\ ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
143		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
144		eluz2b2 10930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( x e. NN /\ 1 < x ) )
145	144	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> x e. NN )
146	143, 145	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> x e. NN )
147		simplrr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
148		eluz2b2 10930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( y e. NN /\ 1 < y ) )
149	148	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
150	147, 149	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> y e. NN )
151	146, 150	nnmulcld 10372	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x x. y ) e. NN )
152		n2dvds1 13585	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || 1
153	92	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> N e. ZZ )
154	6, 153, 122	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
155	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> 2 e. ZZ )
156		eluzelz 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> x e. ZZ )
157		eluzelz 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
158	156, 157	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
159	158	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
160		zmulcl 10696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
161	159, 160	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
162	6, 153, 119	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
163		dvdsgcd 13730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( ( 2 || ( x x. y ) /\ 2 || ( 2 x. N ) ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
164	155, 161, 162, 163	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 || ( x x. y ) /\ 2 || ( 2 x. N ) ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
165	154, 164	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( x x. y ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
166		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
167	166	breq2d 4307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) <-> 2 || 1 ) )
168	165, 167	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( x x. y ) -> 2 || 1 ) )
169	152, 168	mtoi 178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> -. 2 || ( x x. y ) )
170	169	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> -. 2 || ( x x. y ) )
171	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> N e. NN )
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 2 || N )
173	172	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> -. 2 || N )
174		dvdsmul2 13558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( 2 x. N ) )
175	6, 153, 174	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> N || ( 2 x. N ) )
176		rpdvds 13813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ N || ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
177	161, 153, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
178	177	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
179		eqidd 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x x. y ) = ( x x. y ) )
180	159	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> x e. ZZ )
181		gcdcom 13707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd x ) )
182	180, 162, 181	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd x ) )
183		gcdcom 13707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) )
184	162, 161, 183	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) )
185	184, 166	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 )
186		dvdsmul1 13557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x || ( x x. y ) )
187	159, 186	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> x || ( x x. y ) )
188		rpdvds 13813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ x e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ ) /\ ( ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 /\ x || ( x x. y ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) gcd x ) = 1 )
189	162, 180, 161, 185, 187, 188	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd x ) = 1 )
190	182, 189	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
191	190	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
192		simprrl 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
193	191, 192	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
194	159	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> y e. ZZ )
195		gcdcom 13707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd y ) )
196	194, 162, 195	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd y ) )
197		dvdsmul2 13558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y || ( x x. y ) )
198	159, 197	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> y || ( x x. y ) )
199		rpdvds 13813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ y e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ ) /\ ( ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 /\ y || ( x x. y ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) gcd y ) = 1 )
200	162, 194, 161, 185, 198, 199	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd y ) = 1 )
201	196, 200	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
202	201	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
203		simprrr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
204	202, 203	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
205	151, 170, 171, 173, 178, 146, 150, 179, 193, 204	lgsquad2lem1 22700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
206	205	exp32 605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
207	206	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
208	207	expcom 435	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ph -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
209	208	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ph -> ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
210	142, 209	syl5bir 218	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) /\ ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
211	34, 46, 58, 70, 82, 112, 141, 210	prmind 13778	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
212	1, 211	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
213	18, 212	mpd 15	1 |- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609   A.wral 2718   \ cdif 3328   {csn 3880   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286   x. cmul 9290   < clt 9421   - cmin 9598   -ucneg 9599   / cdiv 9996   NNcn 10325   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440   ^cexp 11868   || cdivides 13538   gcd cgcd 13693   Primecprime 13766   /Lclgs 22636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-dvds 13539  df-gcd 13694  df-prm 13767  df-phi 13844  df-pc 13907  df-lgs 22637

This theorem is referenced by:  lgsquad2  22702