MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem5 22812
Description: Lemma for lgsqr 22813. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( A  /L P )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P

Proof of Theorem lgsqrlem5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . 2  |-  (ℤ/n `  P
)  =  (ℤ/n `  P
)
2 eqid 2452 . 2  |-  (Poly1 `  (ℤ/n `  P
) )  =  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) )
3 eqid 2452 . 2  |-  ( Base `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )
4 eqid 2452 . 2  |-  ( deg1  `  (ℤ/n `  P
) )  =  ( deg1  `  (ℤ/n `  P ) )
5 eqid 2452 . 2  |-  (eval1 `  (ℤ/n `  P
) )  =  (eval1 `  (ℤ/n `  P ) )
6 eqid 2452 . 2  |-  (.g `  (mulGrp `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) )  =  (.g `  (mulGrp `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) )
7 eqid 2452 . 2  |-  (var1 `  (ℤ/n `  P
) )  =  (var1 `  (ℤ/n `  P ) )
8 eqid 2452 . 2  |-  ( -g `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )  =  ( -g `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )
9 eqid 2452 . 2  |-  ( 1r
`  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )  =  ( 1r `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) )
10 eqid 2452 . 2  |-  ( ( ( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ) (var1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ( -g `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ( 1r `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) )  =  ( ( ( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ) (var1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ( -g `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) ( 1r `  (Poly1 `  (ℤ/n `  P ) ) ) )
11 eqid 2452 . 2  |-  ( ZRHom `  (ℤ/n `  P ) )  =  ( ZRHom `  (ℤ/n `  P
) )
12 simp2 989 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( A  /L P )  =  1 )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 eqid 2452 . 2  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  P ) ) `  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ZRHom `  (ℤ/n `  P ) ) `  ( y ^ 2 ) ) )
14 simp1 988 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( A  /L P )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
15 simp3 990 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( A  /L P )  =  1 )  ->  ( A  /L P )  =  1 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lgsqrlem4 22811 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( A  /L P )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2797    \ cdif 3428   {csn 3980   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1c1 9389    - cmin 9701    / cdiv 10099   2c2 10477   ZZcz 10752   ...cfz 11549   ^cexp 11977    || cdivides 13648   Primecprime 13876   Basecbs 14287   -gcsg 15527  .gcmg 15528  mulGrpcmgp 16708   1rcur 16720  var1cv1 17751  Poly1cpl1 17752  eval1ce1 17869   ZRHomczrh 18051  ℤ/nczn 18054   deg1 cdg1 21651    /Lclgs 22761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-ec 7208  df-qs 7212  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-prm 13877  df-phi 13954  df-pc 14017  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-prds 14500  df-pws 14502  df-imas 14560  df-divs 14561  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-nsg 15793  df-eqg 15794  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-srg 16725  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-rnghom 16924  df-drng 16952  df-field 16953  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-lidl 17373  df-rsp 17374  df-2idl 17432  df-nzr 17458  df-rlreg 17472  df-domn 17473  df-idom 17474  df-assa 17502  df-asp 17503  df-ascl 17504  df-psr 17541  df-mvr 17542  df-mpl 17543  df-opsr 17545  df-evls 17707  df-evl 17708  df-psr1 17755  df-vr1 17756  df-ply1 17757  df-coe1 17758  df-evl1 17871  df-cnfld 17939  df-zring 18004  df-zrh 18055  df-zn 18058  df-mdeg 21652  df-deg1 21653  df-mon1 21730  df-uc1p 21731  df-q1p 21732  df-r1p 21733  df-lgs 22762
This theorem is referenced by:  lgsqr  22813
  Copyright terms: Public domain W3C validator