MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem3 23346
Description: Lemma for lgsqr 23349. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 18366 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 17725 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 17724 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngrng 16996 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 18316 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 18262 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 17159 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
20 lgsqr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2119, 20ffvelrnd 6020 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
22 lgsqr.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
23 lgsqr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
24 lgsqr.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
25 lgsqr.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  Y )
26 lgsqr.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
27 lgsqr.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  Y )
28 lgsqr.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  S )
29 lgsqr.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
30 lgsqr.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
31 lgsvalmod 23318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  /L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
3220, 1, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
33 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
3433oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P ) )
3532, 34eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 23344 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
37 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
38 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
39 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
4125, 22, 37, 17evl1rhm 18139 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4210, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4323, 38rhmf 17159 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4522ply1rng 18060 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
4612, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
47 rnggrp 16991 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
5049rngmgp 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
52 oddprm 14194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
531, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
5453nnnn0d 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
5527, 22, 23vr1cl 18029 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
5612, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5749, 23mgpbas 16937 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
5857, 26mulgnn0cl 15958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
5951, 54, 56, 58syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
6023, 29rngidcl 17006 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
6146, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
6223, 28grpsubcl 15919 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6348, 59, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6430, 63syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
6544, 64ffvelrnd 6020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
6637, 17, 38, 5, 40, 65pwselbas 14740 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
67 ffn 5729 . . . 4  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
69 fniniseg 6000 . . 3  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
( ( L `  A )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
7068, 69syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  <->  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A
) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7121, 36, 70mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11668    mod cmo 11960   ^cexp 12130   Primecprime 14072   Basecbs 14486   0gc0g 14691    ^s cpws 14698   Mndcmnd 15722   Grpcgrp 15723   -gcsg 15726  .gcmg 15727  mulGrpcmgp 16931   1rcur 16943   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987   RingHom crh 17145  Fieldcfield 17180  Domncdomn 17699  IDomncidom 17700  var1cv1 17986  Poly1cpl1 17987  eval1ce1 18122  ℤringzring 18256   ZRHomczrh 18304  ℤ/nczn 18307   deg1 cdg1 22187    /Lclgs 23297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-phi 14151  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-imas 14759  df-divs 14760  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-srg 16948  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-field 17182  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-nzr 17688  df-rlreg 17702  df-domn 17703  df-idom 17704  df-assa 17732  df-asp 17733  df-ascl 17734  df-psr 17776  df-mvr 17777  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-evls 17942  df-evl 17943  df-psr1 17990  df-vr1 17991  df-ply1 17992  df-evl1 18124  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-lgs 23298
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  23347
  Copyright terms: Public domain W3C validator