MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem3 22808
Description: Lemma for lgsqr 22811. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 18111 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 17492 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 17491 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngrng 16770 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 18061 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 18007 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 16931 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
20 lgsqr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2119, 20ffvelrnd 5946 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
22 lgsqr.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
23 lgsqr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
24 lgsqr.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
25 lgsqr.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  Y )
26 lgsqr.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
27 lgsqr.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  Y )
28 lgsqr.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  S )
29 lgsqr.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
30 lgsqr.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
31 lgsvalmod 22780 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  /L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
3220, 1, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
33 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
3433oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P ) )
3532, 34eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 22806 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
37 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
38 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
39 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
4125, 22, 37, 17evl1rhm 17884 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4210, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4323, 38rhmf 16931 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4522ply1rng 17819 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
4612, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
47 rnggrp 16765 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
5049rngmgp 16766 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
52 oddprm 13993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
531, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
5453nnnn0d 10740 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
5527, 22, 23vr1cl 17787 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
5612, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5749, 23mgpbas 16711 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
5857, 26mulgnn0cl 15754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
5951, 54, 56, 58syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
6023, 29rngidcl 16780 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
6146, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
6223, 28grpsubcl 15717 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6348, 59, 61, 62syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6430, 63syl5eqel 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
6544, 64ffvelrnd 5946 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
6637, 17, 38, 5, 40, 65pwselbas 14538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
67 ffn 5660 . . . 4  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
69 fniniseg 5926 . . 3  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
( ( L `  A )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
7068, 69syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  <->  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A
) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7121, 36, 70mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    \ cdif 3426   {csn 3978    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   "cima 4944    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1c1 9387    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   2c2 10475   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ...cfz 11547    mod cmo 11818   ^cexp 11975   Primecprime 13874   Basecbs 14285   0gc0g 14489    ^s cpws 14496   Mndcmnd 15520   Grpcgrp 15521   -gcsg 15524  .gcmg 15525  mulGrpcmgp 16705   1rcur 16717   Ringcrg 16760   CRingccrg 16761   RingHom crh 16919  Fieldcfield 16948  Domncdomn 17466  IDomncidom 17467  var1cv1 17748  Poly1cpl1 17749  eval1ce1 17867  ℤringzring 18001   ZRHomczrh 18049  ℤ/nczn 18052   deg1 cdg1 21649    /Lclgs 22759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-phi 13952  df-pc 14015  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-imas 14557  df-divs 14558  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-nsg 15790  df-eqg 15791  df-ghm 15856  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-srg 16722  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-rnghom 16921  df-drng 16949  df-field 16950  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-lidl 17370  df-rsp 17371  df-2idl 17429  df-nzr 17455  df-rlreg 17469  df-domn 17470  df-idom 17471  df-assa 17499  df-asp 17500  df-ascl 17501  df-psr 17538  df-mvr 17539  df-mpl 17540  df-opsr 17542  df-evls 17704  df-evl 17705  df-psr1 17752  df-vr1 17753  df-ply1 17754  df-evl1 17869  df-cnfld 17937  df-zring 18002  df-zrh 18053  df-zn 18056  df-lgs 22760
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  22809
  Copyright terms: Public domain W3C validator