MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem3 24001
Description: Lemma for lgsqr 24004. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 18899 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 18276 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 18275 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngring 17531 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 18851 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 18816 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 17697 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
20 lgsqr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2119, 20ffvelrnd 6012 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
22 lgsqr.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
23 lgsqr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
24 lgsqr.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
25 lgsqr.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  Y )
26 lgsqr.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
27 lgsqr.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  Y )
28 lgsqr.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  S )
29 lgsqr.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
30 lgsqr.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
31 lgsvalmod 23973 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  /L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
3220, 1, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
33 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
3433oveq1d 6295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P ) )
3532, 34eqtr3d 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 23999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
37 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
38 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
39 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
4125, 22, 37, 17evl1rhm 18690 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4210, 41syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4323, 38rhmf 17697 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4522ply1ring 18611 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
4612, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
47 ringgrp 17525 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
5049ringmgp 17526 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
5146, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
52 oddprm 14550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
531, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
5453nnnn0d 10895 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
5527, 22, 23vr1cl 18580 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
5612, 55syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5749, 23mgpbas 17469 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
5857, 26mulgnn0cl 16484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
5951, 54, 56, 58syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
6023, 29ringidcl 17541 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
6146, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
6223, 28grpsubcl 16444 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6348, 59, 61, 62syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6430, 63syl5eqel 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
6544, 64ffvelrnd 6012 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
6637, 17, 38, 5, 40, 65pwselbas 15105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
67 ffn 5716 . . . 4  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
6866, 67syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
69 fniniseg 5988 . . 3  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
( ( L `  A )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
7068, 69syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  <->  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A
) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7121, 36, 70mpbir2and 925 1  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    \ cdif 3413   {csn 3974    |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   "cima 4828    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1c1 9525    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ...cfz 11728    mod cmo 12036   ^cexp 12212   Primecprime 14428   Basecbs 14843   0gc0g 15056    ^s cpws 15063   Mndcmnd 16245   Grpcgrp 16379   -gcsg 16381  .gcmg 16382  mulGrpcmgp 17463   1rcur 17475   Ringcrg 17520   CRingccrg 17521   RingHom crh 17683  Fieldcfield 17719  Domncdomn 18250  IDomncidom 18251  var1cv1 18537  Poly1cpl1 18538  eval1ce1 18673  ℤringzring 18810   ZRHomczrh 18839  ℤ/nczn 18842   deg1 cdg1 22746    /Lclgs 23952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-phi 14507  df-pc 14572  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-prds 15064  df-pws 15066  df-imas 15124  df-qus 15125  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-eqg 16526  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-srg 17480  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-field 17721  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-2idl 18202  df-nzr 18228  df-rlreg 18253  df-domn 18254  df-idom 18255  df-assa 18283  df-asp 18284  df-ascl 18285  df-psr 18327  df-mvr 18328  df-mpl 18329  df-opsr 18331  df-evls 18493  df-evl 18494  df-psr1 18541  df-vr1 18542  df-ply1 18543  df-evl1 18675  df-cnfld 18743  df-zring 18811  df-zrh 18843  df-zn 18846  df-lgs 23953
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  24002
  Copyright terms: Public domain W3C validator