MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem3 22657
Description: Lemma for lgsqr 22660. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 17968 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 17354 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 17353 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngrng 16643 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 17918 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 17864 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 16802 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
20 lgsqr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2119, 20ffvelrnd 5839 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
22 lgsqr.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
23 lgsqr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
24 lgsqr.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
25 lgsqr.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  Y )
26 lgsqr.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
27 lgsqr.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  Y )
28 lgsqr.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  S )
29 lgsqr.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
30 lgsqr.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
31 lgsvalmod 22629 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  /L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
3220, 1, 31syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
33 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
3433oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /L P )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P ) )
3532, 34eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 22655 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
37 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
38 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
39 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
4125, 22, 37, 17evl1rhm 17741 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4210, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4323, 38rhmf 16802 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4522ply1rng 17678 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
4612, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
47 rnggrp 16638 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
5049rngmgp 16639 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
5146, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
52 oddprm 13874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
531, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
5453nnnn0d 10628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
5527, 22, 23vr1cl 17646 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
5612, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5749, 23mgpbas 16585 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
5857, 26mulgnn0cl 15634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
5951, 54, 56, 58syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
6023, 29rngidcl 16653 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
6146, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
6223, 28grpsubcl 15597 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6348, 59, 61, 62syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6430, 63syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
6544, 64ffvelrnd 5839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
6637, 17, 38, 5, 40, 65pwselbas 14419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
67 ffn 5554 . . . 4  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
69 fniniseg 5819 . . 3  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
( ( L `  A )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
7068, 69syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  <->  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A
) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7121, 36, 70mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   {csn 3872    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ...cfz 11429    mod cmo 11700   ^cexp 11857   Primecprime 13755   Basecbs 14166   0gc0g 14370    ^s cpws 14377   Mndcmnd 15401   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405  .gcmg 15406  mulGrpcmgp 16579   1rcur 16591   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634   RingHom crh 16792  Fieldcfield 16811  Domncdomn 17328  IDomncidom 17329  var1cv1 17607  Poly1cpl1 17608  eval1ce1 17724  ℤringzring 17858   ZRHomczrh 17906  ℤ/nczn 17909   deg1 cdg1 21498    /Lclgs 22608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-phi 13833  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-rnghom 16794  df-drng 16812  df-field 16813  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-nzr 17317  df-rlreg 17331  df-domn 17332  df-idom 17333  df-assa 17361  df-asp 17362  df-ascl 17363  df-psr 17400  df-mvr 17401  df-mpl 17402  df-opsr 17404  df-evls 17563  df-evl 17564  df-psr1 17611  df-vr1 17612  df-ply1 17613  df-evl1 17726  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-zn 17913  df-lgs 22609
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  22658
  Copyright terms: Public domain W3C validator