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Theorem lgsqrlem2 24349
Description: Lemma for lgsqr 24353. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 19208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 18606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 18605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngring 17869 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 19160 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 19122 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 18032 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
2019adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
21 elfzelz 11826 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
23 zsqcl 12383 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2520, 24ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
26 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
27 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
28 lgsqr.d . . . . 5  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
29 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
30 lgsqr.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
31 lgsqr.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  Y )
32 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
33 lgsqr.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
34 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
351adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
36 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  NN )
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  NN )
3837nncnd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  CC )
39 oddprm 14844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4140nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4241adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
43 2nn0 10910 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  NN0 )
4538, 42, 44expmuld 12457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
46 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4847nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
49 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5150recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
52 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5551, 52, 54divcan2d 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
56 phiprm 14804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
5855, 57eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
5958adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
6059oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6145, 60eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ 2 ) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6261oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( ( y ^ ( phi `  P ) )  mod 
P ) )
632adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
6463, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
6547nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
6665adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
67 gcdcom 14563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( y  gcd  P
)  =  ( P  gcd  y ) )
6822, 66, 67syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  ( P  gcd  y ) )
6937nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  RR )
7050rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
7248adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR )
73 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
75 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
77 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7978nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR+ )
80 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( P  -  1 )  /  2 )  < 
( P  -  1 ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  ( P  -  1 ) )
8248ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <  P )
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 9813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  <  P )
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <  P )
8669, 72ltnled 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  <  P  <->  -.  P  <_  y ) )
8785, 86mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  <_  y )
88 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y )
)
8966, 37, 88syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y ) )
9087, 89mtod 182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  y )
91 coprm 14736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9263, 22, 91syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9390, 92mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  1 )
9468, 93eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  1 )
95 eulerth 14810 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  (
y  gcd  P )  =  1 )  -> 
( ( y ^
( phi `  P
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
9664, 22, 94, 95syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ ( phi `  P ) )  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) )
9762, 96eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( 1  mod 
P ) )
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 24348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( O `  T
) `  ( L `  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
99 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
100 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
101 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
10329, 26, 99, 17evl1rhm 18997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10410, 103syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10527, 100rhmf 18032 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10726ply1ring 18918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
10812, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
109 ringgrp 17863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
112111ringmgp 17864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
11431, 26, 27vr1cl 18887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
11512, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
116111, 27mgpbas 17807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
117116, 30mulgnn0cl 16852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
118113, 41, 115, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
11927, 33ringidcl 17879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
120108, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
12127, 32grpsubcl 16812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
122110, 118, 120, 121syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
12334, 122syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
124106, 123ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
12599, 17, 100, 5, 102, 124pwselbas 15465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
126 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
127125, 126syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
128127adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
) )
129 fniniseg 6018 . . . . 5  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  <->  ( ( L `
 ( y ^
2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
130128, 129syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
13125, 98, 130mpbir2and 936 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
132 lgsqr.g . . 3  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
133131, 132fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
134 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
135134fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
136 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( x ^
2 ) )  e. 
_V
137135, 132, 136fvmpt 5963 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  x )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
138137ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( L `
 ( x ^
2 ) ) )
139 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
140139fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
141 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( z ^
2 ) )  e. 
_V
142140, 132, 141fvmpt 5963 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  z )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
143142ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) )
144138, 143eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
( L `  (
x ^ 2 ) )  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) ) )
14547nnnn0d 10949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
146145adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
147 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
148147ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
149 zsqcl 12383 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  ZZ )
150148, 149syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  ZZ )
151 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  ZZ )
152151ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
153 zsqcl 12383 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
154152, 153syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z ^ 2 )  e.  ZZ )
1553, 13zndvds 19197 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( x ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( z ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( x ^
2 ) )  =  ( L `  (
z ^ 2 ) )  <->  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
156146, 150, 154, 155syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
157 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
158157ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
159158nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
160 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  NN )
161160ad2antll 743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN )
162161nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
163 subsq 12420 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
164159, 162, 163syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
165164breq2d 4407 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x ^ 2 )  -  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
166144, 156, 1653bitrd 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
1672adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
168148, 152zaddcld 11067 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  ZZ )
169148, 152zsubcld 11068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  -  z
)  e.  ZZ )
170 euclemma 14744 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  +  z )  e.  ZZ  /\  (
x  -  z )  e.  ZZ )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
172167, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
173172nnzd 11062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
174158, 161nnaddcld 10678 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
175 dvdsle 14427 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( x  +  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( x  +  z
)  ->  P  <_  ( x  +  z ) ) )
176173, 174, 175syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  P  <_  (
x  +  z ) ) )
177174nnred 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  RR )
178172nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR )
179178, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  RR )
180158nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
181161nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  RR )
18270adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
183 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
184183ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
185 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
186185ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
187180, 181, 182, 182, 184, 186le2addd 10253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  +  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
18851adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
1891882halvesd 10881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
190187, 189breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( P  -  1 ) )
191178ltm1d 10561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  <  P )
192177, 179, 178, 190, 191lelttrd 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <  P )
193177, 178ltnled 9799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  +  z )  <  P  <->  -.  P  <_  ( x  +  z ) ) )
194192, 193mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  <_  ( x  +  z ) )
195194pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  <_  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
196176, 195syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
197 moddvds 14389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  P
)  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
198172, 148, 152, 197syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
199172nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
200158nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
201200nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  x )
20283adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
203180, 182, 178, 184, 202lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <  P )
204 modid 12154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  P ) )  ->  ( x  mod  P )  =  x )
205180, 199, 201, 203, 204syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  mod  P
)  =  x )
206161nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN0 )
207206nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  z )
208181, 182, 178, 186, 202lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <  P )
209 modid 12154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  P ) )  ->  ( z  mod  P )  =  z )
210181, 199, 207, 208, 209syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z  mod  P
)  =  z )
211205, 210eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  x  =  z ) )
212198, 211bitr3d 263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  <-> 
x  =  z ) )
213212biimpd 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  ->  x  =  z ) )
214196, 213jaod 387 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( x  +  z
)  \/  P  ||  ( x  -  z
) )  ->  x  =  z ) )
215171, 214sylbid 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  ->  x  =  z ) )
216166, 215sylbid 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
217216ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
218 dff13 6177 . 2  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) --> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( G `  x
)  =  ( G `
 z )  ->  x  =  z )
) )
219133, 217, 218sylanbrc 677 1  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    mod cmo 12129   ^cexp 12310    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547   Primecprime 14701   phicphi 14790   Basecbs 15199   0gc0g 15416    ^s cpws 15423   Mndcmnd 16613   Grpcgrp 16747   -gcsg 16749  .gcmg 16750  mulGrpcmgp 17801   1rcur 17813   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   RingHom crh 18018  Fieldcfield 18054  Domncdomn 18581  IDomncidom 18582  var1cv1 18846  Poly1cpl1 18847  eval1ce1 18980  ℤringzring 19116   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151   deg1 cdg1 23082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-nzr 18559  df-rlreg 18584  df-domn 18585  df-idom 18586  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-evls 18806  df-evl 18807  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-evl1 18982  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  24351
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