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Theorem lgsqrlem2 24270
Description: Lemma for lgsqr 24274. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 19131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 18529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 18528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngring 17791 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 19083 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 19045 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 17954 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
2019adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
21 elfzelz 11800 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
23 zsqcl 12345 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2520, 24ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
26 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
27 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
28 lgsqr.d . . . . 5  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
29 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
30 lgsqr.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
31 lgsqr.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  Y )
32 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
33 lgsqr.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
34 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
351adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
36 elfznn 11828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  NN )
3736adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  NN )
3837nncnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  CC )
39 oddprm 14765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4140nnnn0d 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4241adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
43 2nn0 10886 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  NN0 )
4538, 42, 44expmuld 12419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
46 prmnn 14625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4847nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
49 peano2rem 9941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5150recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
52 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5551, 52, 54divcan2d 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
56 phiprm 14725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
5855, 57eqtr4d 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
5958adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
6059oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6145, 60eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ 2 ) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6261oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( ( y ^ ( phi `  P ) )  mod 
P ) )
632adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
6463, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
6547nnzd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
6665adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
67 gcdcom 14484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( y  gcd  P
)  =  ( P  gcd  y ) )
6822, 66, 67syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  ( P  gcd  y ) )
6937nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  RR )
7050rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
7248adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR )
73 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
7473adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
75 prmuz2 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
77 uz2m1nn 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7978nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR+ )
80 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( P  -  1 )  /  2 )  < 
( P  -  1 ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  ( P  -  1 ) )
8248ltm1d 10539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <  P )
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 9796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  <  P )
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <  P )
8669, 72ltnled 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  <  P  <->  -.  P  <_  y ) )
8785, 86mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  <_  y )
88 dvdsle 14350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y )
)
8966, 37, 88syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y ) )
9087, 89mtod 181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  y )
91 coprm 14657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9263, 22, 91syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9390, 92mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  1 )
9468, 93eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  1 )
95 eulerth 14731 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  (
y  gcd  P )  =  1 )  -> 
( ( y ^
( phi `  P
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
9664, 22, 94, 95syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ ( phi `  P ) )  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) )
9762, 96eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( 1  mod 
P ) )
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 24269 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( O `  T
) `  ( L `  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
99 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
100 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
101 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
10329, 26, 99, 17evl1rhm 18920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10410, 103syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10527, 100rhmf 17954 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10726ply1ring 18841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
10812, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
109 ringgrp 17785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
111 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
112111ringmgp 17786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
11431, 26, 27vr1cl 18810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
11512, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
116111, 27mgpbas 17729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
117116, 30mulgnn0cl 16774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
118113, 41, 115, 117syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
11927, 33ringidcl 17801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
120108, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
12127, 32grpsubcl 16734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
122110, 118, 120, 121syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
12334, 122syl5eqel 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
124106, 123ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
12599, 17, 100, 5, 102, 124pwselbas 15387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
126 ffn 5728 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
127125, 126syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
128127adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
) )
129 fniniseg 6003 . . . . 5  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  <->  ( ( L `
 ( y ^
2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
130128, 129syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
13125, 98, 130mpbir2and 933 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
132 lgsqr.g . . 3  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
133131, 132fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
134 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
135134fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
136 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( x ^
2 ) )  e. 
_V
137135, 132, 136fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  x )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
138137ad2antrl 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( L `
 ( x ^
2 ) ) )
139 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
140139fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
141 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( z ^
2 ) )  e. 
_V
142140, 132, 141fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  z )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
143142ad2antll 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) )
144138, 143eqeq12d 2466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
( L `  (
x ^ 2 ) )  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) ) )
14547nnnn0d 10925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
146145adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
147 elfzelz 11800 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
148147ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
149 zsqcl 12345 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  ZZ )
150148, 149syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  ZZ )
151 elfzelz 11800 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  ZZ )
152151ad2antll 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
153 zsqcl 12345 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
154152, 153syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z ^ 2 )  e.  ZZ )
1553, 13zndvds 19120 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( x ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( z ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( x ^
2 ) )  =  ( L `  (
z ^ 2 ) )  <->  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
156146, 150, 154, 155syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
157 elfznn 11828 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
158157ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
159158nncnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
160 elfznn 11828 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  NN )
161160ad2antll 735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN )
162161nncnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
163 subsq 12382 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
164159, 162, 163syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
165164breq2d 4414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x ^ 2 )  -  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
166144, 156, 1653bitrd 283 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
1672adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
168148, 152zaddcld 11044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  ZZ )
169148, 152zsubcld 11045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  -  z
)  e.  ZZ )
170 euclemma 14665 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  +  z )  e.  ZZ  /\  (
x  -  z )  e.  ZZ )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
172167, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
173172nnzd 11039 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
174158, 161nnaddcld 10656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
175 dvdsle 14350 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( x  +  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( x  +  z
)  ->  P  <_  ( x  +  z ) ) )
176173, 174, 175syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  P  <_  (
x  +  z ) ) )
177174nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  RR )
178172nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR )
179178, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  RR )
180158nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
181161nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  RR )
18270adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
183 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
184183ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
185 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
186185ad2antll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
187180, 181, 182, 182, 184, 186le2addd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  +  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
18851adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
1891882halvesd 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
190187, 189breqtrd 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( P  -  1 ) )
191178ltm1d 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  <  P )
192177, 179, 178, 190, 191lelttrd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <  P )
193177, 178ltnled 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  +  z )  <  P  <->  -.  P  <_  ( x  +  z ) ) )
194192, 193mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  <_  ( x  +  z ) )
195194pm2.21d 110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  <_  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
196176, 195syld 45 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
197 moddvds 14312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  P
)  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
198172, 148, 152, 197syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
199172nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
200158nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
201200nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  x )
20283adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
203180, 182, 178, 184, 202lelttrd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <  P )
204 modid 12121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  P ) )  ->  ( x  mod  P )  =  x )
205180, 199, 201, 203, 204syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  mod  P
)  =  x )
206161nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN0 )
207206nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  z )
208181, 182, 178, 186, 202lelttrd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <  P )
209 modid 12121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  P ) )  ->  ( z  mod  P )  =  z )
210181, 199, 207, 208, 209syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z  mod  P
)  =  z )
211205, 210eqeq12d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  x  =  z ) )
212198, 211bitr3d 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  <-> 
x  =  z ) )
213212biimpd 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  ->  x  =  z ) )
214196, 213jaod 382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( x  +  z
)  \/  P  ||  ( x  -  z
) )  ->  x  =  z ) )
215171, 214sylbid 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  ->  x  =  z ) )
216166, 215sylbid 219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
217216ralrimivva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
218 dff13 6159 . 2  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) --> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( G `  x
)  =  ( G `
 z )  ->  x  =  z )
) )
219133, 217, 218sylanbrc 670 1  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   "cima 4837    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784    mod cmo 12096   ^cexp 12272    || cdvds 14305    gcd cgcd 14468   Primecprime 14622   phicphi 14711   Basecbs 15121   0gc0g 15338    ^s cpws 15345   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669   -gcsg 16671  .gcmg 16672  mulGrpcmgp 17723   1rcur 17735   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   RingHom crh 17940  Fieldcfield 17976  Domncdomn 18504  IDomncidom 18505  var1cv1 18769  Poly1cpl1 18770  eval1ce1 18903  ℤringzring 19039   ZRHomczrh 19071  ℤ/nczn 19074   deg1 cdg1 23003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-phi 14714  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-imas 15407  df-qus 15409  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-srg 17740  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-rnghom 17943  df-drng 17977  df-field 17978  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-nzr 18482  df-rlreg 18507  df-domn 18508  df-idom 18509  df-assa 18536  df-asp 18537  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-evls 18729  df-evl 18730  df-psr1 18773  df-vr1 18774  df-ply1 18775  df-evl1 18905  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zn 19078
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