MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem2 24130
Description: Lemma for lgsqr 24134. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 19055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 18457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 18456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngring 17719 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1413zrhrhm 19007 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
16 zringbas 18972 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
17 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1816, 17rhmf 17882 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1915, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
2019adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
21 elfzelz 11787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
23 zsqcl 12331 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2520, 24ffvelrnd 6029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
) )
26 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
27 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
28 lgsqr.d . . . . 5  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
29 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
30 lgsqr.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
31 lgsqr.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  Y )
32 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
33 lgsqr.u . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
34 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
351adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
36 elfznn 11815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  e.  NN )
3736adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  NN )
3837nncnd 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  CC )
39 oddprm 14717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4140nnnn0d 10914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4241adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
43 2nn0 10875 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  NN0 )
4538, 42, 44expmuld 12405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 ) ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
46 prmnn 14585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4847nnred 10613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
49 peano2rem 9930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
5150recnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
52 2cnd 10671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
53 2ne0 10691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
5551, 52, 54divcan2d 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
56 phiprm 14683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
572, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
5855, 57eqtr4d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
5958adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( phi `  P ) )
6059oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y ^ ( 2  x.  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6145, 60eqtr3d 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ 2 ) ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( y ^
( phi `  P
) ) )
6261oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( ( y ^ ( phi `  P ) )  mod 
P ) )
632adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
6463, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
6547nnzd 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
6665adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
67 gcdcom 14447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( y  gcd  P
)  =  ( P  gcd  y ) )
6822, 66, 67syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  ( P  gcd  y ) )
6937nnred 10613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  e.  RR )
7050rehalfcld 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
7170adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  RR )
7248adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR )
73 elfzle2 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
7473adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
75 prmuz2 14602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
762, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
77 uz2m1nn 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
7978nnrpd 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  RR+ )
80 rphalflt 11318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( P  -  1 )  /  2 )  < 
( P  -  1 ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  ( P  -  1 ) )
8248ltm1d 10528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <  P )
8370, 50, 48, 81, 82lttrd 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
8483adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  <  P )
8569, 71, 72, 74, 84lelttrd 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  y  <  P )
8669, 72ltnled 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  <  P  <->  -.  P  <_  y ) )
8785, 86mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  <_  y )
88 dvdsle 14317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y )
)
8966, 37, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  y  ->  P  <_  y ) )
9087, 89mtod 180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  y )
91 coprm 14617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9263, 22, 91syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -.  P  ||  y  <->  ( P  gcd  y )  =  1 ) )
9390, 92mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  1 )
9468, 93eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
y  gcd  P )  =  1 )
95 eulerth 14689 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  (
y  gcd  P )  =  1 )  -> 
( ( y ^
( phi `  P
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
9664, 22, 94, 95syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( y ^ ( phi `  P ) )  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) )
9762, 96eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( y ^
2 ) ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( 1  mod 
P ) )
983, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 13, 35, 24, 97lgsqrlem1 24129 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( O `  T
) `  ( L `  ( y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y
) )
99 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
100 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
101 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
10329, 26, 99, 17evl1rhm 18848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10410, 103syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10527, 100rhmf 17882 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
10726ply1ring 18769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
10812, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
109 ringgrp 17713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
111 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
112111ringmgp 17714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
113108, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
11431, 26, 27vr1cl 18738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
11512, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
116111, 27mgpbas 17657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
117116, 30mulgnn0cl 16718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
118113, 41, 115, 117syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
11927, 33ringidcl 17729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
120108, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
12127, 32grpsubcl 16678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
122110, 118, 120, 121syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
12334, 122syl5eqel 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
124106, 123ffvelrnd 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
12599, 17, 100, 5, 102, 124pwselbas 15339 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
126 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
127125, 126syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
128127adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
) )
129 fniniseg 6009 . . . . 5  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  <->  ( ( L `
 ( y ^
2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
130128, 129syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
13125, 98, 130mpbir2and 930 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
132 lgsqr.g . . 3  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
133131, 132fmptd 6052 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
134 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
135134fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
136 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( x ^
2 ) )  e. 
_V
137135, 132, 136fvmpt 5955 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  x )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
138137ad2antrl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( L `
 ( x ^
2 ) ) )
139 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
140139fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
141 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( L `
 ( z ^
2 ) )  e. 
_V
142140, 132, 141fvmpt 5955 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  z )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) ) )
143142ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) )
144138, 143eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
( L `  (
x ^ 2 ) )  =  ( L `
 ( z ^
2 ) ) ) )
14547nnnn0d 10914 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
146145adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
147 elfzelz 11787 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
148147ad2antrl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
149 zsqcl 12331 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  ZZ )
150148, 149syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  ZZ )
151 elfzelz 11787 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  ZZ )
152151ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
153 zsqcl 12331 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
154152, 153syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z ^ 2 )  e.  ZZ )
1553, 13zndvds 19044 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( x ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( z ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( x ^
2 ) )  =  ( L `  (
z ^ 2 ) )  <->  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
156146, 150, 154, 155syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x ^ 2 )  -  ( z ^
2 ) ) ) )
157 elfznn 11815 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
158157ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
159158nncnd 10614 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
160 elfznn 11815 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  e.  NN )
161160ad2antll 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN )
162161nncnd 10614 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  CC )
163 subsq 12368 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
164159, 162, 163syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x ^
2 )  -  (
z ^ 2 ) )  =  ( ( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) )
165164breq2d 4429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x ^ 2 )  -  ( z ^ 2 ) )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
166144, 156, 1653bitrd 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  <-> 
P  ||  ( (
x  +  z )  x.  ( x  -  z ) ) ) )
1672adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
168148, 152zaddcld 11033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  ZZ )
169148, 152zsubcld 11034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  -  z
)  e.  ZZ )
170 euclemma 14625 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  +  z )  e.  ZZ  /\  (
x  -  z )  e.  ZZ )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  <-> 
( P  ||  (
x  +  z )  \/  P  ||  (
x  -  z ) ) ) )
172167, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  NN )
173172nnzd 11028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
174158, 161nnaddcld 10645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
175 dvdsle 14317 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( x  +  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( x  +  z
)  ->  P  <_  ( x  +  z ) ) )
176173, 174, 175syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  P  <_  (
x  +  z ) ) )
177174nnred 10613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  e.  RR )
178172nnred 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR )
179178, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  RR )
180158nnred 10613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
181161nnred 10613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  RR )
18270adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  RR )
183 elfzle2 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
184183ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
185 elfzle2 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  z  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
186185ad2antll 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
187180, 181, 182, 182, 184, 186le2addd 10221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  +  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
18851adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
1891882halvesd 10847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  ( P  -  1 ) )
190187, 189breqtrd 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <_  ( P  -  1 ) )
191178ltm1d 10528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  -  1 )  <  P )
192177, 179, 178, 190, 191lelttrd 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  +  z )  <  P )
193177, 178ltnled 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  +  z )  <  P  <->  -.  P  <_  ( x  +  z ) ) )
194192, 193mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  -.  P  <_  ( x  +  z ) )
195194pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  <_  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
196176, 195syld 45 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  +  z )  ->  x  =  z ) )
197 moddvds 14279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  P
)  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
198172, 148, 152, 197syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  P  ||  (
x  -  z ) ) )
199172nnrpd 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
200158nnnn0d 10914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
201200nn0ge0d 10917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  x )
20283adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  <  P )
203180, 182, 178, 184, 202lelttrd 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  ->  x  <  P )
204 modid 12107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  P ) )  ->  ( x  mod  P )  =  x )
205180, 199, 201, 203, 204syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( x  mod  P
)  =  x )
206161nnnn0d 10914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  e.  NN0 )
207206nn0ge0d 10917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
0  <_  z )
208181, 182, 178, 186, 202lelttrd 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
z  <  P )
209 modid 12107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  P ) )  ->  ( z  mod  P )  =  z )
210181, 199, 207, 208, 209syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( z  mod  P
)  =  z )
211205, 210eqeq12d 2442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( x  mod  P )  =  ( z  mod  P )  <->  x  =  z ) )
212198, 211bitr3d 258 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  <-> 
x  =  z ) )
213212biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
x  -  z )  ->  x  =  z ) )
214196, 213jaod 381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( P  ||  ( x  +  z
)  \/  P  ||  ( x  -  z
) )  ->  x  =  z ) )
215171, 214sylbid 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( P  ||  (
( x  +  z )  x.  ( x  -  z ) )  ->  x  =  z ) )
216166, 215sylbid 218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  /\  z  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
217216ralrimivva 2844 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( G `  x )  =  ( G `  z )  ->  x  =  z ) )
218 dff13 6165 . 2  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) --> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) A. z  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( G `  x
)  =  ( G `
 z )  ->  x  =  z )
) )
219133, 217, 218sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078    \ cdif 3430   {csn 3993   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   "cima 4848    Fn wfn 5587   -->wf 5588   -1-1->wf1 5589   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849    / cdiv 10258   NNcn 10598   2c2 10648   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   RR+crp 11291   ...cfz 11771    mod cmo 12082   ^cexp 12258    || cdvds 14272    gcd cgcd 14431   Primecprime 14582   phicphi 14670   Basecbs 15073   0gc0g 15290    ^s cpws 15297   Mndcmnd 16479   Grpcgrp 16613   -gcsg 16615  .gcmg 16616  mulGrpcmgp 17651   1rcur 17663   Ringcrg 17708   CRingccrg 17709   RingHom crh 17868  Fieldcfield 17904  Domncdomn 18432  IDomncidom 18433  var1cv1 18697  Poly1cpl1 18698  eval1ce1 18831  ℤringzring 18966   ZRHomczrh 18995  ℤ/nczn 18998   deg1 cdg1 22877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-dvds 14273  df-gcd 14432  df-prm 14583  df-phi 14672  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-prds 15298  df-pws 15300  df-imas 15358  df-qus 15359  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-nsg 16759  df-eqg 16760  df-ghm 16825  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-srg 17668  df-ring 17710  df-cring 17711  df-oppr 17779  df-dvdsr 17797  df-unit 17798  df-invr 17828  df-dvr 17839  df-rnghom 17871  df-drng 17905  df-field 17906  df-subrg 17934  df-lmod 18021  df-lss 18084  df-lsp 18123  df-sra 18323  df-rgmod 18324  df-lidl 18325  df-rsp 18326  df-2idl 18384  df-nzr 18410  df-rlreg 18435  df-domn 18436  df-idom 18437  df-assa 18464  df-asp 18465  df-ascl 18466  df-psr 18508  df-mvr 18509  df-mpl 18510  df-opsr 18512  df-evls 18657  df-evl 18658  df-psr1 18701  df-vr1 18702  df-ply1 18703  df-evl1 18833  df-cnfld 18899  df-zring 18967  df-zrh 18999  df-zn 19002
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  24132
  Copyright terms: Public domain W3C validator