MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem1 22685
Description: Lemma for lgsqr 22690. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqrlem1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqrlem1.4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
21fveq2i 5699 . . . 4  |-  ( O `
 T )  =  ( O `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
32fveq1i 5697 . . 3  |-  ( ( O `  T ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)
4 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
5 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
7 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
98eldifad 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1110znfld 17998 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
129, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
13 fldidom 17382 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
15 isidom 17381 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
1615simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
18 crngrng 16660 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2120zrhrhm 17948 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
23 zringbas 17894 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2423, 6rhmf 16821 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
2522, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2725, 26ffvelrnd 5849 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
28 lgsqr.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  Y )
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 17776 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  ( L `  A )
)  =  ( L `
 A ) ) )
30 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
31 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (.g `  (mulGrp `  Y ) )  =  (.g `  (mulGrp `  Y
) )
32 oddprm 13887 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
338, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
3433nnnn0d 10641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 17784 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) ) )
36 zringmpg 17921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp ` ring )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
3836, 37rhmmhm 16817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y )
) )
3922, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4036, 23mgpbas 16602 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
4240, 41, 31mhmmulg 15664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) )  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
4339, 34, 26, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
44 zsubrg 17871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
45 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4645subrgsubm 16883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4744, 46mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
48 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )
5048, 49, 41submmulg 15667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5147, 34, 26, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5226zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
53 cnfldexp 17854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5452, 34, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5551, 54eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A )  =  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
5655fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( L `
 ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
58 prmnn 13771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
599, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
60 zexpcl 11885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
6126, 34, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
62 1zzd 10682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
63 moddvds 13547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P )  <-> 
P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  - 
1 ) ) )
6557, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) )
6659nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
6710, 20zndvds 17987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6866, 61, 62, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( L `
 1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6965, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 ) )
70 zring1 17899 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r ` ring )
71 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
7270, 71rhm1 16825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( L `  1 )  =  ( 1r `  Y ) )
7322, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Y ) )
7456, 69, 733eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
7543, 74eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
7675eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) )  <-> 
( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
7776anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X ) ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) ) )  <->  ( (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B  /\  (
( O `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) ) )
7835, 77mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
79 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
806, 71rngidcl 16670 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
8119, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 17774 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
845, 79, 71, 83ply1scl1 17749 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
8519, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
8685eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  <->  .1.  e.  B ) )
8785fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( O `  .1.  ) )
8887fveq1d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A
) ) )
8988eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) ) ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y )  <->  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
9086, 89anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )  <-> 
(  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) ) )
9182, 90mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
92 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
93 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( -g `  Y )  =  (
-g `  Y )
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 17781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  .-  .1.  )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) ) )
9594simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
963, 95syl5eq 2487 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
97 rnggrp 16655 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
9819, 97syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
99 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
1006, 99, 93grpsubid 15615 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  Y
) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) )  =  ( 0g `  Y
) )
10198, 81, 100syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y ) ( 1r
`  Y ) )  =  ( 0g `  Y ) )
10296, 101eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3330   {csn 3882   class class class wbr 4297   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   1c1 9288    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651    mod cmo 11713   ^cexp 11870    || cdivides 13540   Primecprime 13768   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   -gcsg 15418  .gcmg 15419   MndHom cmhm 15467  SubMndcsubmnd 15468  mulGrpcmgp 16596   1rcur 16608   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   RingHom crh 16809  Fieldcfield 16838  SubRingcsubrg 16866  Domncdomn 17356  IDomncidom 17357  algSccascl 17388  var1cv1 17637  Poly1cpl1 17638  eval1ce1 17754  ℂfldccnfld 17823  ℤringzring 17888   ZRHomczrh 17936  ℤ/nczn 17939   deg1 cdg1 21528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-prds 14391  df-pws 14393  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-srg 16613  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-field 16840  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-nzr 17345  df-rlreg 17359  df-domn 17360  df-idom 17361  df-assa 17389  df-asp 17390  df-ascl 17391  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-evls 17593  df-evl 17594  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-evl1 17756  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  22686  lgsqrlem3  22687
  Copyright terms: Public domain W3C validator