MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem1 23480
Description: Lemma for lgsqr 23485. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqrlem1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqrlem1.4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
21fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( O `
 T )  =  ( O `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
32fveq1i 5873 . . 3  |-  ( ( O `  T ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)
4 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
5 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
7 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
98eldifad 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1110znfld 18466 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
129, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
13 fldidom 17822 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
15 isidom 17821 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
1615simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
18 crngring 17079 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2120zrhrhm 18416 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
23 zringbas 18362 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2423, 6rhmf 17245 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
2522, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2725, 26ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
28 lgsqr.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  Y )
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 18241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  ( L `  A )
)  =  ( L `
 A ) ) )
30 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
31 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (.g `  (mulGrp `  Y ) )  =  (.g `  (mulGrp `  Y
) )
32 oddprm 14214 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
338, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
3433nnnn0d 10864 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 18249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) ) )
36 zringmpg 18389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp ` ring )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
3836, 37rhmmhm 17241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y )
) )
3922, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4036, 23mgpbas 17017 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
4240, 41, 31mhmmulg 16045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) )  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
4339, 34, 26, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
44 zsubrg 18339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4645subrgsubm 17311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4744, 46mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )
5048, 49, 41submmulg 16048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5147, 34, 26, 50syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5226zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
53 cnfldexp 18319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5452, 34, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5551, 54eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A )  =  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
5655fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( L `
 ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
58 prmnn 14095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
599, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
60 zexpcl 12161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
6126, 34, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
62 1zzd 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
63 moddvds 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P )  <-> 
P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  - 
1 ) ) )
6557, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) )
6659nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
6710, 20zndvds 18455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6866, 61, 62, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( L `
 1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6965, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 ) )
70 zring1 18367 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r ` ring )
71 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
7270, 71rhm1 17249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( L `  1 )  =  ( 1r `  Y ) )
7322, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Y ) )
7456, 69, 733eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
7543, 74eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
7675eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) )  <-> 
( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
7776anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X ) ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) ) )  <->  ( (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B  /\  (
( O `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) ) )
7835, 77mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
79 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
806, 71ringidcl 17089 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
8119, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 18239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
845, 79, 71, 83ply1scl1 18201 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
8519, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
8685eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  <->  .1.  e.  B ) )
8785fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( O `  .1.  ) )
8887fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A
) ) )
8988eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) ) ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y )  <->  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
9086, 89anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )  <-> 
(  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) ) )
9182, 90mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
92 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
93 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( -g `  Y )  =  (
-g `  Y )
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 18246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  .-  .1.  )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) ) )
9594simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
963, 95syl5eq 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
97 ringgrp 17073 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
9819, 97syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
99 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
1006, 99, 93grpsubid 15993 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  Y
) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) )  =  ( 0g `  Y
) )
10198, 81, 100syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y ) ( 1r
`  Y ) )  =  ( 0g `  Y ) )
10296, 101eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478   {csn 4033   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   1c1 9505    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876    mod cmo 11976   ^cexp 12146    || cdivides 13863   Primecprime 14092   Basecbs 14506   ↾s cress 14507   0gc0g 14711   MndHom cmhm 15836  SubMndcsubmnd 15837   Grpcgrp 15924   -gcsg 15926  .gcmg 15927  mulGrpcmgp 17011   1rcur 17023   Ringcrg 17068   CRingccrg 17069   RingHom crh 17231  Fieldcfield 17266  SubRingcsubrg 17294  Domncdomn 17796  IDomncidom 17797  algSccascl 17828  var1cv1 18083  Poly1cpl1 18084  eval1ce1 18219  ℂfldccnfld 18288  ℤringzring 18356   ZRHomczrh 18404  ℤ/nczn 18407   deg1 cdg1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-imas 14779  df-qus 14780  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-nsg 16070  df-eqg 16071  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-srg 17028  df-ring 17070  df-cring 17071  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-invr 17191  df-dvr 17202  df-rnghom 17234  df-drng 17267  df-field 17268  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-lidl 17689  df-rsp 17690  df-2idl 17748  df-nzr 17774  df-rlreg 17799  df-domn 17800  df-idom 17801  df-assa 17829  df-asp 17830  df-ascl 17831  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-evls 18039  df-evl 18040  df-psr1 18087  df-vr1 18088  df-ply1 18089  df-evl1 18221  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408  df-zn 18411
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  23481  lgsqrlem3  23482
  Copyright terms: Public domain W3C validator