Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgsqr 24353
 Description: The Legendre symbol for odd primes is iff the number is not a multiple of the prime (in which case it is , see lgsne0 24340) and the number is a quadratic residue (it is for nonresidues by the process of elimination from lgsabs1 24341). Given our definition of the Legendre symbol, this theorem is equivalent to Euler's criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsqr
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem lgsqr
StepHypRef Expression
1 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11
21adantl 473 . . . . . . . . . 10
3 prmz 14705 . . . . . . . . . 10
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9
5 simpl 464 . . . . . . . . 9
6 gcdcom 14563 . . . . . . . . 9
74, 5, 6syl2anc 673 . . . . . . . 8
87eqeq1d 2473 . . . . . . 7
9 coprm 14736 . . . . . . . 8
102, 5, 9syl2anc 673 . . . . . . 7
11 lgsne0 24340 . . . . . . . 8
125, 4, 11syl2anc 673 . . . . . . 7
138, 10, 123bitr4d 293 . . . . . 6
1413necon4bbid 2684 . . . . 5
15 0ne1 10699 . . . . . 6
16 neeq1 2705 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 241 . . . . 5
1814, 17syl6bi 236 . . . 4
1918necon2bd 2659 . . 3
20 lgsqrlem5 24352 . . . 4
21203expia 1233 . . 3
23 simprl 772 . . . . . . . 8
2423zred 11063 . . . . . . 7
25 absresq 13442 . . . . . . 7
2624, 25syl 17 . . . . . 6
2726oveq1d 6323 . . . . 5
28 simplr 770 . . . . . . . . . 10
291ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . 12
3029, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11
31 zsqcl 12383 . . . . . . . . . . . 12
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11
33 simplll 776 . . . . . . . . . . 11
34 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
35 dvdssub2 14419 . . . . . . . . . . 11
3630, 32, 33, 34, 35syl31anc 1295 . . . . . . . . . 10
3728, 36mtbird 308 . . . . . . . . 9
38 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10
40 prmdvdsexp 14746 . . . . . . . . . 10
4129, 23, 39, 40syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
4237, 41mtbid 307 . . . . . . . 8
43 dvds0 14395 . . . . . . . . . . 11
4430, 43syl 17 . . . . . . . . . 10
45 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
4644, 45syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9
4746necon3bd 2657 . . . . . . . 8
4842, 47mpd 15 . . . . . . 7
49 nnabscl 13465 . . . . . . 7
5023, 48, 49syl2anc 673 . . . . . 6
5150nnzd 11062 . . . . . . . 8
52 gcdcom 14563 . . . . . . . 8
5351, 30, 52syl2anc 673 . . . . . . 7
54 dvdsabsb 14399 . . . . . . . . . 10
5530, 23, 54syl2anc 673 . . . . . . . . 9
5642, 55mtbid 307 . . . . . . . 8
57 coprm 14736 . . . . . . . . 9
5829, 51, 57syl2anc 673 . . . . . . . 8
5956, 58mpbid 215 . . . . . . 7
6053, 59eqtrd 2505 . . . . . 6
61 lgssq 24342 . . . . . 6
6250, 30, 60, 61syl3anc 1292 . . . . 5
63 prmnn 14704 . . . . . . . . . 10
6429, 63syl 17 . . . . . . . . 9
65 moddvds 14389 . . . . . . . . 9
6664, 32, 33, 65syl3anc 1292 . . . . . . . 8
6734, 66mpbird 240 . . . . . . 7
6867oveq1d 6323 . . . . . 6
69 eldifsni 4089 . . . . . . . . . 10
7069ad3antlr 745 . . . . . . . . 9
7170necomd 2698 . . . . . . . 8
72 2z 10993 . . . . . . . . . 10
73 uzid 11197 . . . . . . . . . 10
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9
75 dvdsprm 14726 . . . . . . . . . 10
7675necon3bbid 2680 . . . . . . . . 9
7774, 29, 76sylancr 676 . . . . . . . 8
7871, 77mpbird 240 . . . . . . 7
79 lgsmod 24328 . . . . . . 7
8032, 64, 78, 79syl3anc 1292 . . . . . 6
81 lgsmod 24328 . . . . . . 7
8233, 64, 78, 81syl3anc 1292 . . . . . 6
8368, 80, 823eqtr3d 2513 . . . . 5
8427, 62, 833eqtr3rd 2514 . . . 4
8584rexlimdvaa 2872 . . 3
8685expimpd 614 . 2
8722, 86impbid 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   cdif 3387  csn 3959   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmin 9880  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cuz 11182   cmo 12129  cexp 12310  cabs 13374   cdvds 14382   cgcd 14547  cprime 14701   clgs 24301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-nzr 18559  df-rlreg 18584  df-domn 18585  df-idom 18586  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-evls 18806  df-evl 18807  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-evl1 18982  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-mdeg 23083  df-deg1 23084  df-mon1 23159  df-uc1p 23160  df-q1p 23161  df-r1p 23162  df-lgs 24302 This theorem is referenced by:  2sqlem11  24382  2sqblem  24384
 Copyright terms: Public domain W3C validator