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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgsneg | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The Legendre symbol is either even or odd under negation with respect to the second parameter according to the sign of the first. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
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lgsneg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | iftrue 3887 |
. . . . . . . . 9
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2 | 1 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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3 | 2 | oveq1d 6305 |
. . . . . . 7
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4 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . 10
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5 | neg1mulneg1e1 10827 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 4, 5 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . 9
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7 | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . 10
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8 | ax-1cn 9597 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 8 | mulm1i 10063 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 7, 9 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . 9
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11 | 6, 10 | ifsb 3894 |
. . . . . . . 8
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12 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 12 | biantrud 510 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | ifbid 3903 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . 8
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16 | simpl2 1012 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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17 | 16 | zred 11040 |
. . . . . . . . . . . . 13
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18 | 0re 9643 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | ltlen 9735 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 17, 18, 19 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | simpl3 1013 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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22 | 21 | necomd 2679 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 22 | biantrud 510 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 20, 23 | bitr4d 260 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 17 | le0neg1d 10185 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 17 | renegcld 10046 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | lenlt 9712 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | 18, 26, 27 | sylancr 669 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 24, 25, 28 | 3bitrd 283 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | ifbid 3903 |
. . . . . . . . 9
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31 | ifnot 3926 |
. . . . . . . . 9
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32 | 30, 31 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . 8
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33 | 11, 15, 32 | 3eqtr3a 2509 |
. . . . . . 7
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34 | 12 | biantrud 510 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | ifbid 3903 |
. . . . . . 7
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36 | 3, 33, 35 | 3eqtrd 2489 |
. . . . . 6
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37 | 1t1e1 10757 |
. . . . . . 7
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38 | iffalse 3890 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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40 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40 | intnand 927 |
. . . . . . . . 9
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42 | 41 | iffalsed 3892 |
. . . . . . . 8
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43 | 39, 42 | oveq12d 6308 |
. . . . . . 7
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44 | 40 | intnand 927 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | iffalsed 3892 |
. . . . . . 7
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46 | 37, 43, 45 | 3eqtr4a 2511 |
. . . . . 6
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47 | 36, 46 | pm2.61dan 800 |
. . . . 5
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48 | 47 | eqcomd 2457 |
. . . 4
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49 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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50 | simpl2 1012 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | zq 11270 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 50, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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53 | pcneg 14823 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 49, 52, 53 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . 9
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55 | 54 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . 8
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56 | 55 | ifeq1da 3911 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | mpteq2dv 4490 |
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58 | 57 | seqeq3d 12221 |
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59 | zcn 10942 |
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61 | 60 | absnegd 13511 |
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62 | 58, 61 | fveq12d 5871 |
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63 | 48, 62 | oveq12d 6308 |
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64 | neg1cn 10713 |
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65 | 64, 8 | keepel 3948 |
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66 | 65 | a1i 11 |
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68 | 67 | a1i 11 |
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69 | nnabscl 13388 |
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70 | 69 | 3adant1 1026 |
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71 | nnuz 11194 |
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72 | 70, 71 | syl6eleq 2539 |
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73 | eqid 2451 |
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74 | 73 | lgsfcl3 24245 |
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75 | elfznn 11828 |
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76 | ffvelrn 6020 |
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77 | 74, 75, 76 | syl2an 480 |
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78 | zmulcl 10985 |
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79 | 78 | adantl 468 |
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80 | 72, 77, 79 | seqcl 12233 |
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81 | 80 | zcnd 11041 |
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82 | 66, 68, 81 | mulassd 9666 |
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83 | 63, 82 | eqtrd 2485 |
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84 | simp1 1008 |
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85 | znegcl 10972 |
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86 | 85 | 3ad2ant2 1030 |
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87 | simp3 1010 |
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88 | 60, 87 | negne0d 9984 |
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89 | eqid 2451 |
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90 | 89 | lgsval4 24244 |
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91 | 84, 86, 88, 90 | syl3anc 1268 |
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92 | 73 | lgsval4 24244 |
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93 | 92 | oveq2d 6306 |
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94 | 83, 91, 93 | 3eqtr4d 2495 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-sup 7956 df-inf 7957 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-fl 12028 df-mod 12097 df-seq 12214 df-exp 12273 df-hash 12516 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-dvds 14306 df-gcd 14469 df-prm 14623 df-phi 14714 df-pc 14787 df-lgs 24223 |
This theorem is referenced by: lgsneg1 24248 |
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