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Theorem lgsmod 24328
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L N )  =  ( A  /L N ) )

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  N
)  e.  NN0 )
213adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
43ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  mod  N )  e.  ZZ )
5 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  Prime )
7 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  N )
8 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  2  ->  (
n  ||  N  <->  2  ||  N ) )
98notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  2  ->  ( -.  n  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
107, 9syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  =  2  ->  -.  n  ||  N ) )
1110necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  ||  N  ->  n  =/=  2
) )
1211imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  =/=  2 )
13 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( n  e.  Prime  /\  n  =/=  2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
15 oddprm 14844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
1716nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
18 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
194, 17, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2019zred 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
21 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
22 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
2423zred 11063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  RR )
25 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  1  e.  RR )
26 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2726ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  NN )
2827nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  RR+ )
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  N )
3021zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  RR )
31 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3231ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3332nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  RR+ )
34 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
3530, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
36 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3732, 4, 21, 36syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3835, 37mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
39 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
4039ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
4132nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
424, 21zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )
43 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  ||  N  /\  N  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  ||  N  /\  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4529, 38, 44mp2and 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
46 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4727, 4, 21, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4845, 47mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )
49 modexp 12445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )  -> 
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
)  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n ) )
504, 21, 17, 28, 48, 49syl221anc 1303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )
51 modadd1 12167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5220, 24, 25, 28, 50, 51syl221anc 1303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5352oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
54 lgsval3 24321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  mod  N )  /L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
554, 14, 54syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  /L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
56 lgsval3 24321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  /L n )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
5721, 14, 56syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  /L n )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
5853, 55, 573eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  /L n )  =  ( A  /L n ) )
5958oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) )  =  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
603ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
6139ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
62 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  N )  /L n )  e.  ZZ )
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L n )  e.  ZZ )
6463zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L n )  e.  CC )
6564exp0d 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
0 )  =  1 )
66 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
67 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
n )  e.  ZZ )
6866, 61, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  /L
n )  e.  ZZ )
6968zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  /L
n )  e.  CC )
7069exp0d 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  /L n ) ^
0 )  =  1 )
7165, 70eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
0 )  =  ( ( A  /L
n ) ^ 0 ) )
7231adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
73 pceq0 14899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( n  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
745, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( n 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
7574biimpar 493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( n  pCnt  N
)  =  0 )
7675oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^ 0 ) )
7775oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  /L
n ) ^ 0 ) )
7871, 76, 773eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
7959, 78pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^ ( n  pCnt  N ) )  =  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8079ifeq1da 3902 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8180mpteq2dv 4483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )
8281seqeq3d 12259 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) )
8382fveq1d 5881 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N
)  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  N
) )
84 eqid 2471 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
8584lgsval4a 24325 . . 3  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  /L N )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
863, 31, 85syl2anc 673 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L N )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
87 eqid 2471 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8887lgsval4a 24325 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /L
N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
89883adant3 1050 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  /L
N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
9083, 86, 893eqtr4d 2515 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  /L N )  =  ( A  /L N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325    mod cmo 12129    seqcseq 12251   ^cexp 12310    || cdvds 14382   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865    /Lclgs 24301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-pc 14866  df-lgs 24302
This theorem is referenced by:  lgsqr  24353  lgsdchrval  24354
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