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Theorem lgsmod 24328
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction mod n when n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 12149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
213adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. NN0 )
32nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
43ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
5 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. Prime )
7 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> -. 2 || N )
8 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 2 -> ( n || N <-> 2 || N ) )
98notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 2 -> ( -. n || N <-> -. 2 || N ) )
107, 9syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n = 2 -> -. n || N ) )
1110necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( n || N -> n =/= 2 ) )
1211imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n =/= 2 )
13 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( n e. Prime /\ n =/= 2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ( Prime \ { 2 } ) )
15 oddprm 14844 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN )
1716nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
18 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
194, 17, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2019zred 11063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. RR )
21 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. ZZ )
22 zexpcl 12325 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
2423zred 11063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. RR )
25 1red 9676 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> 1 e. RR )
26 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
2726ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. NN )
2827nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. RR+ )
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || N )
3021zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> A e. RR )
31 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN )
3231ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. NN )
3332nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. RR+ )
34 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
3530, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) )
36 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
3732, 4, 21, 36syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod N ) = ( A mod N ) <-> N || ( ( A mod N ) - A ) ) )
3835, 37mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N || ( ( A mod N ) - A ) )
39 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Prime -> n e. ZZ )
4039ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n e. ZZ )
4132nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> N e. ZZ )
424, 21zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) - A ) e. ZZ )
43 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( ( A mod N ) - A ) e. ZZ ) -> ( ( n || N /\ N || ( ( A mod N ) - A ) ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( n || N /\ N || ( ( A mod N ) - A ) ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
4529, 38, 44mp2and 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> n || ( ( A mod N ) - A ) )
46 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
4727, 4, 21, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) <-> n || ( ( A mod N ) - A ) ) )
4845, 47mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) )
49 modexp 12445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( ( ( n - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ n e. RR+ ) /\ ( ( A mod N ) mod n ) = ( A mod n ) ) -> ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) )
504, 21, 17, 28, 48, 49syl221anc 1303 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) )
51 modadd1 12167 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. RR /\ ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) e. RR ) /\ ( 1 e. RR /\ n e. RR+ ) /\ ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) = ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) mod n ) ) -> ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
5220, 24, 25, 28, 50, 51syl221anc 1303 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) = ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) )
5352oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
54 lgsval3 24321 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
554, 14, 54syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( ( ( ( ( A mod N ) ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
56 lgsval3 24321 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
5721, 14, 56syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( A /L n ) = ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) )
5853, 55, 573eqtr4d 2515 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) = ( A /L n ) )
5958oveq1d 6323 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
603ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A mod N ) e. ZZ )
6139ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> n e. ZZ )
62 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. ZZ )
6463zcnd 11064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A mod N ) /L n ) e. CC )
6564exp0d 12448 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = 1 )
66 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> A e. ZZ )
67 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
6866, 61, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. ZZ )
6968zcnd 11064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( A /L n ) e. CC )
7069exp0d 12448 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ 0 ) = 1 )
7165, 70eqtr4d 2508 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
7231adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> N e. NN )
73 pceq0 14899 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Prime /\ N e. NN ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
745, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt N ) = 0 <-> -. n || N ) )
7574biimpar 493 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( n pCnt N ) = 0 )
7675oveq2d 6324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ 0 ) )
7775oveq2d 6324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ 0 ) )
7871, 76, 773eqtr4d 2515 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) /\ -. n || N ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
7959, 78pm2.61dan 808 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ n e. Prime ) -> ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) )
8079ifeq1da 3902 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
8180mpteq2dv 4483 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) )
8281seqeq3d 12259 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) )
8382fveq1d 5881 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
84 eqid 2471 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
8584lgsval4a 24325 . . 3 |- ( ( ( A mod N ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
863, 31, 85syl2anc 673 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( ( A mod N ) /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
87 eqid 2471 . . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
8887lgsval4a 24325 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
89883adant3 1050 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A /L N ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` N ) )
9083, 86, 893eqtr4d 2515 1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( A mod N ) /L N ) = ( A /L N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   \ cdif 3387   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   mod cmo 12129   seqcseq 12251   ^cexp 12310   || cdvds 14382   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865   /Lclgs 24301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-pc 14866  df-lgs 24302
This theorem is referenced by:  lgsqr  24353  lgsdchrval  24354
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