MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Structured version   Unicode version

Theorem lgslem2 24229
Description: The set  Z of all integers with absolute value at most  1 contains  { -u 1 ,  0 ,  1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgslem2  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 10986 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
2 1le1 10253 . . 3  |-  1  <_  1
3 fveq2 5887 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  -u 1
) )
4 ax-1cn 9610 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
54absnegi 13468 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
6 abs1 13366 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
75, 6eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
83, 7syl6eq 2480 . . . . 5  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
98breq1d 4439 . . . 4  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
10 lgslem2.z . . . 4  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
119, 10elrab2 3236 . . 3  |-  ( -u
1  e.  Z  <->  ( -u 1  e.  ZZ  /\  1  <_ 
1 ) )
121, 2, 11mpbir2an 929 . 2  |-  -u 1  e.  Z
13 0z 10961 . . 3  |-  0  e.  ZZ
14 0le1 10150 . . 3  |-  0  <_  1
15 fveq2 5887 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  0
) )
16 abs0 13354 . . . . . 6  |-  ( abs `  0 )  =  0
1715, 16syl6eq 2480 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  0 )
1817breq1d 4439 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  0  <_  1 ) )
1918, 10elrab2 3236 . . 3  |-  ( 0  e.  Z  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  0  <_  1 ) )
2013, 14, 19mpbir2an 929 . 2  |-  0  e.  Z
21 1z 10980 . . 3  |-  1  e.  ZZ
22 fveq2 5887 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  1
) )
2322, 6syl6eq 2480 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2423breq1d 4439 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
2524, 10elrab2 3236 . . 3  |-  ( 1  e.  Z  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  1  <_  1 ) )
2621, 2, 25mpbir2an 929 . 2  |-  1  e.  Z
2712, 20, 263pm3.2i 1184 1  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1873   {crab 2780   class class class wbr 4429   ` cfv 5607   0cc0 9552   1c1 9553    <_ cle 9689   -ucneg 9874   ZZcz 10950   abscabs 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629  ax-pre-sup 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-er 7380  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-sup 7971  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-div 10283  df-nn 10623  df-2 10681  df-3 10682  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-rp 11316  df-seq 12226  df-exp 12285  df-cj 13168  df-re 13169  df-im 13170  df-sqrt 13304  df-abs 13305
This theorem is referenced by:  lgslem4  24231  lgscllem  24235
  Copyright terms: Public domain W3C validator