MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Structured version   Unicode version

Theorem lgslem2 22641
Description: The set  Z of all integers with absolute value at most  1 contains  { -u 1 ,  0 ,  1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgslem2  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 10686 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
2 1le1 9969 . . 3  |-  1  <_  1
3 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  -u 1
) )
4 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
54absnegi 12892 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
6 abs1 12791 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
75, 6eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
83, 7syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
98breq1d 4307 . . . 4  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
10 lgslem2.z . . . 4  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
119, 10elrab2 3124 . . 3  |-  ( -u
1  e.  Z  <->  ( -u 1  e.  ZZ  /\  1  <_ 
1 ) )
121, 2, 11mpbir2an 911 . 2  |-  -u 1  e.  Z
13 0z 10662 . . 3  |-  0  e.  ZZ
14 0le1 9868 . . 3  |-  0  <_  1
15 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  0
) )
16 abs0 12779 . . . . . 6  |-  ( abs `  0 )  =  0
1715, 16syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  0 )
1817breq1d 4307 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  0  <_  1 ) )
1918, 10elrab2 3124 . . 3  |-  ( 0  e.  Z  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  0  <_  1 ) )
2013, 14, 19mpbir2an 911 . 2  |-  0  e.  Z
21 1z 10681 . . 3  |-  1  e.  ZZ
22 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  1
) )
2322, 6syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2423breq1d 4307 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
2524, 10elrab2 3124 . . 3  |-  ( 1  e.  Z  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  1  <_  1 ) )
2621, 2, 25mpbir2an 911 . 2  |-  1  e.  Z
2712, 20, 263pm3.2i 1166 1  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   0cc0 9287   1c1 9288    <_ cle 9424   -ucneg 9601   ZZcz 10651   abscabs 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730
This theorem is referenced by:  lgslem4  22643  lgscllem  22647
  Copyright terms: Public domain W3C validator