MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfle1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsfle1 22656
Description: The function  F has magnitude less or equal to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsfle1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  1 )
Distinct variable groups:    A, n    n, M    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsfle1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
31, 2lgsfcl2 22653 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
43ffvelrnda 5855 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  e.  NN )  ->  ( F `  M
)  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
5 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  M )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
65breq1d 4314 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  M )  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  ( abs `  ( F `  M
) )  <_  1
) )
76elrab 3129 . . 3  |-  ( ( F `  M )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } 
<->  ( ( F `  M )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  1 ) )
87simprbi 464 . 2  |-  ( ( F `  M )  e.  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  1 )
94, 8syl 16 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  M  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   {crab 2731   ifcif 3803   {cpr 3891   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   7c7 10388   8c8 10389   ZZcz 10658    mod cmo 11720   ^cexp 11877   abscabs 12735    || cdivides 13547   Primecprime 13775    pCnt cpc 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-phi 13853  df-pc 13916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator