Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfcl2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgsfcl2 24309
 Description: The function is closed in integers with absolute value less than (namely although this representation is less useful to us). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1
lgsfcl2.z
Assertion
Ref Expression
lgsfcl2
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lgsfcl2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10972 . . . . . . . 8
2 0le1 10158 . . . . . . . 8
3 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
4 abs0 13425 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
65breq1d 4405 . . . . . . . . 9
7 lgsfcl2.z . . . . . . . . 9
86, 7elrab2 3186 . . . . . . . 8
91, 2, 8mpbir2an 934 . . . . . . 7
10 1z 10991 . . . . . . . . 9
11 1le1 10262 . . . . . . . . 9
12 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
13 abs1 13437 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
1514breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
1615, 7elrab2 3186 . . . . . . . . 9
1710, 11, 16mpbir2an 934 . . . . . . . 8
18 neg1z 10997 . . . . . . . . 9
19 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
20 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . 14
2120absnegi 13539 . . . . . . . . . . . . 13
2221, 13eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
2319, 22syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
2423breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
2524, 7elrab2 3186 . . . . . . . . 9
2618, 11, 25mpbir2an 934 . . . . . . . 8
2717, 26keepel 3939 . . . . . . 7
289, 27keepel 3939 . . . . . 6
2928a1i 11 . . . . 5
30 simpl1 1033 . . . . . . 7
3130ad2antrr 740 . . . . . 6
32 simplr 770 . . . . . . 7
33 simpr 468 . . . . . . . 8
3433neqned 2650 . . . . . . 7
35 eldifsn 4088 . . . . . . 7
3632, 34, 35sylanbrc 677 . . . . . 6
377lgslem4 24306 . . . . . 6
3831, 36, 37syl2anc 673 . . . . 5
3929, 38ifclda 3904 . . . 4
40 simpr 468 . . . . 5
41 simpll2 1070 . . . . 5
42 simpll3 1071 . . . . 5
43 pczcl 14877 . . . . 5
4440, 41, 42, 43syl12anc 1290 . . . 4
45 ssrab2 3500 . . . . . . 7
467, 45eqsstri 3448 . . . . . 6
47 zsscn 10969 . . . . . 6
4846, 47sstri 3427 . . . . 5
497lgslem3 24305 . . . . 5
5048, 49, 17expcllem 12321 . . . 4
5139, 44, 50syl2anc 673 . . 3
5217a1i 11 . . 3
5351, 52ifclda 3904 . 2
54 lgsval.1 . 2
5553, 54fmptd 6061 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  crab 2760   cdif 3387  cif 3872  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c7 10686  c8 10687  cn0 10893  cz 10961   cmo 12129  cexp 12310  cabs 13374   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-pc 14866 This theorem is referenced by:  lgscllem  24310  lgsfcl  24311  lgsfle1  24312
 Copyright terms: Public domain W3C validator