MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfcl Structured version   Unicode version

Theorem lgsfcl 22648
Description: Closure of the function  F which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsfcl  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsfcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
2 eqid 2443 . . 3  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }
31, 2lgsfcl2 22646 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 } )
4 ssrab2 3442 . 2  |-  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  C_  ZZ
5 fss 5572 . 2  |-  ( ( F : NN --> { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  /\  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x )  <_  1 }  C_  ZZ )  ->  F : NN --> ZZ )
63, 4, 5sylancl 662 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {crab 2724    C_ wss 3333   ifcif 3796   {cpr 3884   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   7c7 10381   8c8 10382   ZZcz 10651    mod cmo 11713   ^cexp 11870   abscabs 12728    || cdivides 13540   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-phi 13846  df-pc 13909
This theorem is referenced by:  lgsval2lem  22650  lgsfcl3  22661
  Copyright terms: Public domain W3C validator