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Theorem lgseisenlem3 22822
Description: Lemma for lgseisen 22824. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
lgseisen.7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgseisen.8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
lgseisen.9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, L    x, y, P    ph, x, y    y, M   
x, Q, y    x, Y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    G( y)    L( y)    M( x)    Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5802 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  =  ( L `  (
2  x.  x ) ) )
32cbvmptv 4490 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
43oveq2i 6210 . . . . . 6  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
6 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
75, 6mgpbas 16718 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
109eldifad 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1211znfld 18117 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
14 isfld 16963 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. Field 
<->  ( Y  e.  DivRing  /\  Y  e.  CRing ) )
1514simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  CRing )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
175crngmgp 16775 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
19 fzfid 11911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
20 crngrng 16777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2322zrhrhm 18067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
25 zringbas 18013 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2625, 6rhmf 16938 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
28 2z 10788 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 elfzelz 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  k  e.  ZZ )
30 zmulcl 10803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  ZZ )
3128, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  x.  k )  e.  ZZ )
32 ffvelrn 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  (
2  x.  k )  e.  ZZ )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y ) )
3327, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y
) )
34 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )
3533, 34fmptd 5975 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
36 fvex 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( L `
 ( 2  x.  k ) )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e. 
_V )
38 fvex 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
4034, 19, 37, 39fsuppmptdm 7741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
41 lgseisen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
42 lgseisen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43 lgseisen.4 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
44 lgseisen.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
45 lgseisen.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
469, 41, 42, 43, 44, 45lgseisenlem2 22821 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
477, 8, 18, 19, 35, 40, 46gsumf1o 16518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
484, 47syl5eqr 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
499, 41, 42, 43, 44lgseisenlem1 22820 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5044fmpt 5972 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
5149, 50sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5244a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
53 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k ) ) ) )
54 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
5554fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  =  ( L `
 ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) ) )
5651, 52, 53, 55fmptcof 5985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )
5756oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) ) )
5841eldifad 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
60 prmz 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
62 2nn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
63 elfznn 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  NN )
65 nnmulcl 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
6662, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  NN )
6766nnzd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
6861, 67zmulcld 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
6910adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
70 prmnn 13883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
7268, 71zmodcld 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  e.  NN0 )
7343, 72syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
7473nn0zd 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
75 m1expcl 12004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7776, 74zmulcld 10863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  ZZ )
7877, 71zmodcld 11844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  CC )
80 2cnd 10504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
81 2ne0 10524 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
8379, 80, 82divcan2d 10219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )
8483fveq2d 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
8571nnrpd 11136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
86 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  mod  P )  =  ( ( -u
1 ^ R )  mod  P ) )
8743oveq1i 6209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
8868zred 10857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
89 modabs2 11858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
9088, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P ) )
9187, 90syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
) )
9276, 76, 74, 68, 85, 86, 91modmul12d 11869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
9377zred 10857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  RR )
94 modabs2 11858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9593, 85, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9676zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  CC )
9761zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  CC )
9867zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
9996, 97, 98mulassd 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
10099oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
10192, 95, 1003eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
10210, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
10478nn0zd 10855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ZZ )
10576, 61zmulcld 10863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  e.  ZZ )
106105, 67zmulcld 10863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
107 moddvds 13659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  mod  P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
108103, 104, 106, 107syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
109101, 108mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  ||  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  -  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11071nnnn0d 10746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
11111, 22zndvds 18106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  <->  P  ||  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  -  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
112110, 104, 106, 111syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)  =  ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  <-> 
P  ||  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11424adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
115 zringmulr 18016 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
116 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
11725, 115, 116rhmmul 16939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  =  ( ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) ( .r
`  Y ) ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
118114, 105, 67, 117syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
11984, 113, 1183eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
120119mpteq2dva 4485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
12127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
122121, 105ffvelrnd 5952 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  ( Base `  Y
) )
123121, 67ffvelrnd 5952 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
) )
124 eqidd 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )
125 eqidd 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
12619, 122, 123, 124, 125offval2 6445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
127120, 126eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  oF ( .r `  Y
) ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) ) )
128127oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
12948, 57, 1283eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1305, 116mgpplusg 16716 . . . . 5  |-  ( .r
`  Y )  =  ( +g  `  G
)
131 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )
132 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
1337, 130, 18, 19, 122, 123, 131, 132gsummptfidmadd2 16537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
134129, 133eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) ( .r
`  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
135134oveq1d 6214 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
136 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  =  (Unit `  Y )
137136, 5unitsubm 16884 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G ) )
13821, 137syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G )
)
139 elfzle2 11571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
140139adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
14164nnred 10447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
142 prmuz2 13898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
143 uz2m1nn 11039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
14469, 142, 1433syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
145144nnred 10447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
146 2re 10501 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
148 2pos 10523 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  2 )
150 lemuldiv2 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
151141, 145, 147, 149, 150syl112anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
152140, 151mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) )
153 prmz 13884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
15469, 153syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
155 peano2zm 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
157 fznn 11642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
15966, 152, 158mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
160 fzm1ndvds 13702 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
2  x.  x ) )
16171, 159, 160syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  x ) )
162 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
16311, 22, 162zndvds0 18107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  P  ||  ( 2  x.  x ) ) )
164110, 67, 163syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =  ( 0g
`  Y )  <->  P  ||  (
2  x.  x ) ) )
165164necon3abid 2697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =/=  ( 0g
`  Y )  <->  -.  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
166161, 165mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) )
16714simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  DivRing )
16813, 167syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  DivRing )
169168adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Y  e.  DivRing )
1706, 136, 162drngunit 16959 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  (
2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) ) ) )
171169, 170syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( L `  ( 2  x.  x
) )  =/=  ( 0g `  Y ) ) ) )
172123, 166, 171mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )
)
173172, 132fmptd 5975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> (Unit `  Y )
)
174 fvex 5808 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e. 
_V
175174a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e. 
_V )
176132, 19, 175, 39fsuppmptdm 7741 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1778, 18, 19, 138, 173, 176gsumsubmcl 16524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)
178 eqid 2454 . . . 4  |-  (/r `  Y
)  =  (/r `  Y
)
179 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
180136, 178, 179dvrid 16902 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
18121, 177, 180syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y ) )
182122, 131fmptd 5975 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
183 fvex 5808 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V
184183a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V )
185131, 19, 184, 39fsuppmptdm 7741 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1867, 8, 18, 19, 182, 185gsumcl 16517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1876, 136, 178, 116dvrcan3 16906 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
18821, 186, 177, 187syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
189135, 181, 1883eqtr3rd 2504 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798   _Vcvv 3076    \ cdif 3432   {csn 3984   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    o. ccom 4951   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427   Fincfn 7419   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   ...cfz 11553    mod cmo 11824   ^cexp 11981    || cdivides 13652   Primecprime 13880   Basecbs 14291   .rcmulr 14357   0gc0g 14496    gsumg cgsu 14497  SubMndcsubmnd 15581  CMndccmn 16397  mulGrpcmgp 16712   1rcur 16724   Ringcrg 16767   CRingccrg 16768  Unitcui 16853  /rcdvr 16896   RingHom crh 16926   DivRingcdr 16954  Fieldcfield 16955  ℤringzring 18007   ZRHomczrh 18055  ℤ/nczn 18058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-prm 13881  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-imas 14564  df-divs 14565  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-nsg 15797  df-eqg 15798  df-ghm 15863  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-field 16957  df-subrg 16985  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-lsp 17175  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-lidl 17377  df-rsp 17378  df-2idl 17436  df-nzr 17462  df-rlreg 17476  df-domn 17477  df-idom 17478  df-cnfld 17943  df-zring 18008  df-zrh 18059  df-zn 18062
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