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Theorem lgseisenlem3 22670
Description: Lemma for lgseisen 22672. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
lgseisen.7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgseisen.8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
lgseisen.9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, L    x, y, P    ph, x, y    y, M   
x, Q, y    x, Y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    G( y)    L( y)    M( x)    Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  =  ( L `  (
2  x.  x ) ) )
32cbvmptv 4378 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
43oveq2i 6097 . . . . . 6  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
6 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
75, 6mgpbas 16587 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
109eldifad 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1211znfld 17973 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
1310, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
14 isfld 16821 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. Field 
<->  ( Y  e.  DivRing  /\  Y  e.  CRing ) )
1514simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  CRing )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
175crngmgp 16643 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
19 fzfid 11787 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
20 crngrng 16645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2322zrhrhm 17923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
25 zringbas 17869 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2625, 6rhmf 16804 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
28 2z 10670 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 elfzelz 11445 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  k  e.  ZZ )
30 zmulcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  ZZ )
3128, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  x.  k )  e.  ZZ )
32 ffvelrn 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  (
2  x.  k )  e.  ZZ )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y ) )
3327, 31, 32syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y
) )
34 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )
3533, 34fmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
36 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( L `
 ( 2  x.  k ) )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e. 
_V )
38 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
4034, 19, 37, 39fsuppmptdm 7623 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
41 lgseisen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
42 lgseisen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43 lgseisen.4 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
44 lgseisen.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
45 lgseisen.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
469, 41, 42, 43, 44, 45lgseisenlem2 22669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
477, 8, 18, 19, 35, 40, 46gsumf1o 16389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
484, 47syl5eqr 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
499, 41, 42, 43, 44lgseisenlem1 22668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5044fmpt 5859 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
5149, 50sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5244a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
53 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k ) ) ) )
54 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
5554fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  =  ( L `
 ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) ) )
5651, 52, 53, 55fmptcof 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )
5756oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) ) )
5841eldifad 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
60 prmz 13759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
62 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
63 elfznn 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  NN )
65 nnmulcl 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
6662, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  NN )
6766nnzd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
6861, 67zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
6910adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
70 prmnn 13758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
7268, 71zmodcld 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  e.  NN0 )
7343, 72syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
7473nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
75 m1expcl 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7776, 74zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  ZZ )
7877, 71zmodcld 11720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  CC )
80 2cnd 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
81 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
8379, 80, 82divcan2d 10101 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )
8483fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
8571nnrpd 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
86 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  mod  P )  =  ( ( -u
1 ^ R )  mod  P ) )
8743oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
8868zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
89 modabs2 11734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
9088, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P ) )
9187, 90syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
) )
9276, 76, 74, 68, 85, 86, 91modmul12d 11745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
9377zred 10739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  RR )
94 modabs2 11734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9593, 85, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9676zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  CC )
9761zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  CC )
9867zcnd 10740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
9996, 97, 98mulassd 9401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
10099oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
10192, 95, 1003eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
10210, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
10478nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ZZ )
10576, 61zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  e.  ZZ )
106105, 67zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
107 moddvds 13534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  mod  P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
108103, 104, 106, 107syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
109101, 108mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  ||  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  -  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11071nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
11111, 22zndvds 17962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  <->  P  ||  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  -  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
112110, 104, 106, 111syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)  =  ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  <-> 
P  ||  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11424adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
115 zringmulr 17872 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
116 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
11725, 115, 116rhmmul 16805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  =  ( ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) ( .r
`  Y ) ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
118114, 105, 67, 117syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
11984, 113, 1183eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
120119mpteq2dva 4373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
12127adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
122121, 105ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  ( Base `  Y
) )
123121, 67ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
) )
124 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )
125 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
12619, 122, 123, 124, 125offval2 6331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
127120, 126eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  oF ( .r `  Y
) ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) ) )
128127oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
12948, 57, 1283eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1305, 116mgpplusg 16585 . . . . 5  |-  ( .r
`  Y )  =  ( +g  `  G
)
131 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )
132 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
1337, 130, 18, 19, 122, 123, 131, 132gsummptfidmadd2 16408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
134129, 133eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) ( .r
`  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
135134oveq1d 6101 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
136 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  =  (Unit `  Y )
137136, 5unitsubm 16752 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G ) )
13821, 137syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G )
)
139 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
140139adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
14164nnred 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
142 prmuz2 13773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
143 uz2m1nn 10921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
14469, 142, 1433syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
145144nnred 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
146 2re 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
148 2pos 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  2 )
150 lemuldiv2 10204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
151141, 145, 147, 149, 150syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
152140, 151mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) )
153 prmz 13759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
15469, 153syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
155 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
157 fznn 11518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
15966, 152, 158mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
160 fzm1ndvds 13577 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
2  x.  x ) )
16171, 159, 160syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  x ) )
162 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
16311, 22, 162zndvds0 17963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  P  ||  ( 2  x.  x ) ) )
164110, 67, 163syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =  ( 0g
`  Y )  <->  P  ||  (
2  x.  x ) ) )
165164necon3abid 2636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =/=  ( 0g
`  Y )  <->  -.  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
166161, 165mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) )
16714simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  DivRing )
16813, 167syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  DivRing )
169168adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Y  e.  DivRing )
1706, 136, 162drngunit 16817 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  (
2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) ) ) )
171169, 170syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( L `  ( 2  x.  x
) )  =/=  ( 0g `  Y ) ) ) )
172123, 166, 171mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )
)
173172, 132fmptd 5862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> (Unit `  Y )
)
174 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e. 
_V
175174a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e. 
_V )
176132, 19, 175, 39fsuppmptdm 7623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1778, 18, 19, 138, 173, 176gsumsubmcl 16395 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)
178 eqid 2438 . . . 4  |-  (/r `  Y
)  =  (/r `  Y
)
179 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
180136, 178, 179dvrid 16770 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
18121, 177, 180syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y ) )
182122, 131fmptd 5862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
183 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V
184183a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V )
185131, 19, 184, 39fsuppmptdm 7623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1867, 8, 18, 19, 182, 185gsumcl 16388 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1876, 136, 178, 116dvrcan3 16774 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
18821, 186, 177, 187syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
189135, 181, 1883eqtr3rd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429    mod cmo 11700   ^cexp 11857    || cdivides 13527   Primecprime 13755   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  SubMndcsubmnd 15455  CMndccmn 16268  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636  Unitcui 16721  /rcdvr 16764   RingHom crh 16794   DivRingcdr 16812  Fieldcfield 16813  ℤringzring 17863   ZRHomczrh 17911  ℤ/nczn 17914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-field 16815  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-sra 17233  df-rgmod 17234  df-lidl 17235  df-rsp 17236  df-2idl 17294  df-nzr 17320  df-rlreg 17334  df-domn 17335  df-idom 17336  df-cnfld 17799  df-zring 17864  df-zrh 17915  df-zn 17918
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