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Theorem lgseisenlem3 24358
Description: Lemma for lgseisen 24360. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
lgseisen.6  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
lgseisen.7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgseisen.8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
lgseisen.9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, L    x, y, P    ph, x, y    y, M   
x, Q, y    x, Y    x, S
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( y)    G( y)    L( y)    M( x)    Y( y)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  x ) )
21fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  =  ( L `  (
2  x.  x ) ) )
32cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
43oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8  |-  G  =  (mulGrp `  Y )
6 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
75, 6mgpbas 17807 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  G )
8 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
109eldifad 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1211znfld 19208 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
14 isfld 18062 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. Field 
<->  ( Y  e.  DivRing  /\  Y  e.  CRing ) )
1514simprbi 471 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  CRing )
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
175crngmgp 17866 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
19 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
20 crngring 17869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2322zrhrhm 19160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
25 zringbas 19122 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2625, 6rhmf 18032 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
28 2z 10993 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  k  e.  ZZ )
30 zmulcl 11009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  ZZ )
3128, 29, 30sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  x.  k )  e.  ZZ )
32 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  (
2  x.  k )  e.  ZZ )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y ) )
3327, 31, 32syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e.  ( Base `  Y
) )
34 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )
3533, 34fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
36 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( L `
 ( 2  x.  k ) )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  k ) )  e. 
_V )
38 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
4034, 19, 37, 39fsuppmptdm 7912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
41 lgseisen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
42 lgseisen.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43 lgseisen.4 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
44 lgseisen.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
45 lgseisen.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  y
) )  mod  P
)
469, 41, 42, 43, 44, 45lgseisenlem2 24357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
477, 8, 18, 19, 35, 40, 46gsumf1o 17628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
484, 47syl5eqr 2519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) ) )
499, 41, 42, 43, 44lgseisenlem1 24356 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5044fmpt 6058 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  <->  M :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
5149, 50sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5244a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
53 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  k ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k ) ) ) )
54 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  -> 
( L `  (
2  x.  k ) )  =  ( L `
 ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) ) )
5651, 52, 53, 55fmptcof 6073 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )
5756oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  k
) ) )  o.  M ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) ) )
5841eldifad 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
60 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
62 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
63 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  NN )
65 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
6662, 64, 65sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  NN )
6766nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
6861, 67zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
6910adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
70 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
7268, 71zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  e.  NN0 )
7343, 72syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
7473nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
75 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
7776, 74zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  ZZ )
7877, 71zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0 )
7978nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  CC )
80 2cnd 10704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  CC )
81 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
8379, 80, 82divcan2d 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) ) )
8571nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
86 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  mod  P )  =  ( ( -u
1 ^ R )  mod  P ) )
8743oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  mod  P )  =  ( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)
8868zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
89 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
9088, 85, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P ) )
9187, 90syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  mod  P )  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
) )
9276, 76, 74, 68, 85, 86, 91modmul12d 12178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
9377zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  RR )
94 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9593, 85, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)
9676zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  CC )
9761zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  CC )
9867zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
9996, 97, 98mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  =  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
10099oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  =  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) ) )  mod  P ) )
10192, 95, 1003eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  mod  P
)  =  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P ) )
10210, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
10478nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ZZ )
10576, 61zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  e.  ZZ )
106105, 67zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
107 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  mod  P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
108103, 104, 106, 107syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  mod 
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <->  P  ||  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
109101, 108mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  ||  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  -  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11071nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN0 )
11111, 22zndvds 19197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ZZ  /\  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  <->  P  ||  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  -  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
112110, 104, 106, 111syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )
)  =  ( L `
 ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  <-> 
P  ||  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  -  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P ) )  =  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) ) )
11424adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
115 zringmulr 19125 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
11725, 115, 116rhmmul 18033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x
) ) )  =  ( ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) ( .r
`  Y ) ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
118114, 105, 67, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q )  x.  ( 2  x.  x ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
11984, 113, 1183eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) ) )  =  ( ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ( .r `  Y
) ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) )
120119mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
12127adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
122121, 105ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  ( Base `  Y
) )
123121, 67ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
) )
124 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )
125 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )
12619, 122, 123, 124, 125offval2 6567 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ( .r `  Y ) ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )
127120, 126eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) )  oF ( .r `  Y
) ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) ) ) )
128127oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
12948, 57, 1283eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) ) )
1305, 116mgpplusg 17805 . . . . 5  |-  ( .r
`  Y )  =  ( +g  `  G
)
131 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) )
132 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x
) ) )
1337, 130, 18, 19, 122, 123, 131, 132gsummptfidmadd2 17637 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q
) ) )  oF ( .r `  Y ) ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
134129, 133eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) ( .r
`  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
135134oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) )
136 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  =  (Unit `  Y )
137136, 5unitsubm 17976 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G ) )
13821, 137syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Unit `  Y )  e.  (SubMnd `  G )
)
139 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
140139adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
14164nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
142 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
143 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
14469, 142, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
145144nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
146 2re 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
148 2pos 10723 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  2 )
150 lemuldiv2 10509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
151141, 145, 147, 149, 150syl112anc 1296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
152140, 151mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) )
153 prmz 14705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
15469, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
155 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
157 fznn 11889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
15966, 152, 158mpbir2and 936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
160 fzm1ndvds 14434 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
2  x.  x ) )
16171, 159, 160syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  x ) )
162 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
16311, 22, 162zndvds0 19198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  P  ||  ( 2  x.  x ) ) )
164110, 67, 163syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =  ( 0g
`  Y )  <->  P  ||  (
2  x.  x ) ) )
165164necon3abid 2679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  =/=  ( 0g
`  Y )  <->  -.  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
166161, 165mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) )
16714simplbi 467 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e.  DivRing )
16813, 167syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  DivRing )
169168adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Y  e.  DivRing )
1706, 136, 162drngunit 18058 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  DivRing  ->  ( ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  (
2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  ( L `  ( 2  x.  x ) )  =/=  ( 0g `  Y
) ) ) )
171169, 170syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( L `  (
2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )  <->  ( ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( L `  ( 2  x.  x
) )  =/=  ( 0g `  Y ) ) ) )
172123, 166, 171mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e.  (Unit `  Y )
)
173172, 132fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> (Unit `  Y )
)
174 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 2  x.  x ) )  e. 
_V
175174a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( 2  x.  x ) )  e. 
_V )
176132, 19, 175, 39fsuppmptdm 7912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1778, 18, 19, 138, 173, 176gsumsubmcl 17630 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)
178 eqid 2471 . . . 4  |-  (/r `  Y
)  =  (/r `  Y
)
179 eqid 2471 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
180136, 178, 179dvrid 17994 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
18121, 177, 180syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( 2  x.  x ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( 1r `  Y ) )
182122, 131fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) --> ( Base `  Y
) )
183 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V
184183a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( L `  ( ( -u 1 ^ R )  x.  Q ) )  e.  _V )
185131, 19, 184, 39fsuppmptdm 7912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
1867, 8, 18, 19, 182, 185gsumcl 17627 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
1876, 136, 178, 116dvrcan3 17998 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( 2  x.  x ) ) ) )  e.  (Unit `  Y ) )  -> 
( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
18821, 186, 177, 187syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( G 
gsumg  ( x  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  |->  ( L `  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) ) ( .r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) ) (/r `  Y ) ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
2  x.  x ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( ( -u
1 ^ R )  x.  Q ) ) ) ) )
189135, 181, 1883eqtr3rd 2514 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
( -u 1 ^ R
)  x.  Q ) ) ) )  =  ( 1r `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    mod cmo 12129   ^cexp 12310    || cdvds 14382   Primecprime 14701   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417  SubMndcsubmnd 16659  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801   1rcur 17813   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859  Unitcui 17945  /rcdvr 17988   RingHom crh 18018   DivRingcdr 18053  Fieldcfield 18054  ℤringzring 19116   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-nzr 18559  df-rlreg 18584  df-domn 18585  df-idom 18586  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155
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