Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgseisenlem3 24358
 Description: Lemma for lgseisen 24360. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1
lgseisen.2
lgseisen.3
lgseisen.4
lgseisen.5
lgseisen.6
lgseisen.7 ℤ/n
lgseisen.8 mulGrp
lgseisen.9 RHom
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
21fveq2d 5883 . . . . . . . 8
32cbvmptv 4488 . . . . . . 7
43oveq2i 6319 . . . . . 6 g g
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 mulGrp
6 eqid 2471 . . . . . . . 8
75, 6mgpbas 17807 . . . . . . 7
8 eqid 2471 . . . . . . 7
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11
109eldifad 3402 . . . . . . . . . 10
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
1211znfld 19208 . . . . . . . . . 10 Field
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 Field
14 isfld 18062 . . . . . . . . . 10 Field
1514simprbi 471 . . . . . . . . 9 Field
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8
175crngmgp 17866 . . . . . . . 8 CMnd
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 CMnd
19 fzfid 12224 . . . . . . 7
20 crngring 17869 . . . . . . . . . . . 12
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 RHom
2322zrhrhm 19160 . . . . . . . . . . 11 ring RingHom
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ring RingHom
25 zringbas 19122 . . . . . . . . . . 11 ring
2625, 6rhmf 18032 . . . . . . . . . 10 ring RingHom
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9
28 2z 10993 . . . . . . . . . 10
29 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10
30 zmulcl 11009 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30sylancr 676 . . . . . . . . 9
32 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
3327, 31, 32syl2an 485 . . . . . . . 8
34 eqid 2471 . . . . . . . 8
3533, 34fmptd 6061 . . . . . . 7
36 fvex 5889 . . . . . . . . 9
3736a1i 11 . . . . . . . 8
38 fvex 5889 . . . . . . . . 9
3938a1i 11 . . . . . . . 8
4034, 19, 37, 39fsuppmptdm 7912 . . . . . . 7 finSupp
41 lgseisen.2 . . . . . . . 8
42 lgseisen.3 . . . . . . . 8
43 lgseisen.4 . . . . . . . 8
44 lgseisen.5 . . . . . . . 8
45 lgseisen.6 . . . . . . . 8
469, 41, 42, 43, 44, 45lgseisenlem2 24357 . . . . . . 7
477, 8, 18, 19, 35, 40, 46gsumf1o 17628 . . . . . 6 g g
484, 47syl5eqr 2519 . . . . 5 g g
499, 41, 42, 43, 44lgseisenlem1 24356 . . . . . . . 8
5044fmpt 6058 . . . . . . . 8
5149, 50sylibr 217 . . . . . . 7
5244a1i 11 . . . . . . 7
53 eqidd 2472 . . . . . . 7
54 oveq2 6316 . . . . . . . 8
5554fveq2d 5883 . . . . . . 7
5651, 52, 53, 55fmptcof 6073 . . . . . 6
5756oveq2d 6324 . . . . 5 g g
5841eldifad 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
65 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6662, 64, 65sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6766nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6861, 67zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6910adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7268, 71zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7343, 72syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 m1expcl 12333 . . . . . . . . . . . . . . 15
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7776, 74zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . 13
7877, 71zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . 12
7978nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11
80 2cnd 10704 . . . . . . . . . . 11
81 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . 12
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8379, 80, 82divcan2d 10407 . . . . . . . . . 10
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
8571nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13
86 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
8743oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14
8868zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 85, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
9187, 90syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13
9276, 76, 74, 68, 85, 86, 91modmul12d 12178 . . . . . . . . . . . 12
9377zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13
94 modabs2 12164 . . . . . . . . . . . . 13
9593, 85, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
9676zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14
9761zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14
9867zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14
9996, 97, 98mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13
10099oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
10192, 95, 1003eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11
10210, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
10478nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12
10576, 61zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . 13
106105, 67zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . 12
107 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . 12
108103, 104, 106, 107syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
109101, 108mpbid 215 . . . . . . . . . 10
11071nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11
11111, 22zndvds 19197 . . . . . . . . . . 11
112110, 104, 106, 111syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
113109, 112mpbird 240 . . . . . . . . 9
11424adantr 472 . . . . . . . . . 10 ring RingHom
115 zringmulr 19125 . . . . . . . . . . 11 ring
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
11725, 115, 116rhmmul 18033 . . . . . . . . . 10 ring RingHom
118114, 105, 67, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
11984, 113, 1183eqtrd 2509 . . . . . . . 8
120119mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
12127adantr 472 . . . . . . . . 9
122121, 105ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
123121, 67ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
124 eqidd 2472 . . . . . . . 8
125 eqidd 2472 . . . . . . . 8
12619, 122, 123, 124, 125offval2 6567 . . . . . . 7
127120, 126eqtr4d 2508 . . . . . 6
128127oveq2d 6324 . . . . 5 g g
12948, 57, 1283eqtrd 2509 . . . 4 g g
1305, 116mgpplusg 17805 . . . . 5
131 eqid 2471 . . . . 5
132 eqid 2471 . . . . 5
1337, 130, 18, 19, 122, 123, 131, 132gsummptfidmadd2 17637 . . . 4 g g g
134129, 133eqtrd 2505 . . 3 g g g
135134oveq1d 6323 . 2 g /r g g g /r g
136 eqid 2471 . . . . . 6 Unit Unit
137136, 5unitsubm 17976 . . . . 5 Unit SubMnd
13821, 137syl 17 . . . 4 Unit SubMnd
139 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11
140139adantl 473 . . . . . . . . . 10
14164nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
142 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . 13
143 uz2m1nn 11256 . . . . . . . . . . . . 13
14469, 142, 1433syl 18 . . . . . . . . . . . 12
145144nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
146 2re 10701 . . . . . . . . . . . 12
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11
148 2pos 10723 . . . . . . . . . . . 12
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11
150 lemuldiv2 10509 . . . . . . . . . . 11
151141, 145, 147, 149, 150syl112anc 1296 . . . . . . . . . 10
152140, 151mpbird 240 . . . . . . . . 9
153 prmz 14705 . . . . . . . . . . . 12
15469, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11
155 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . 11
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . 10
157 fznn 11889 . . . . . . . . . 10
158156, 157syl 17 . . . . . . . . 9
15966, 152, 158mpbir2and 936 . . . . . . . 8
160 fzm1ndvds 14434 . . . . . . . 8
16171, 159, 160syl2anc 673 . . . . . . 7
162 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
16311, 22, 162zndvds0 19198 . . . . . . . . 9
164110, 67, 163syl2anc 673 . . . . . . . 8
165164necon3abid 2679 . . . . . . 7
166161, 165mpbird 240 . . . . . 6
16714simplbi 467 . . . . . . . . 9 Field
16813, 167syl 17 . . . . . . . 8
169168adantr 472 . . . . . . 7
1706, 136, 162drngunit 18058 . . . . . . 7 Unit
171169, 170syl 17 . . . . . 6 Unit
172123, 166, 171mpbir2and 936 . . . . 5 Unit
173172, 132fmptd 6061 . . . 4 Unit
174 fvex 5889 . . . . . 6
175174a1i 11 . . . . 5
176132, 19, 175, 39fsuppmptdm 7912 . . . 4 finSupp
1778, 18, 19, 138, 173, 176gsumsubmcl 17630 . . 3 g Unit
178 eqid 2471 . . . 4 /r /r
179 eqid 2471 . . . 4
180136, 178, 179dvrid 17994 . . 3 g Unit g /r g
18121, 177, 180syl2anc 673 . 2 g /r g
182122, 131fmptd 6061 . . . 4
183 fvex 5889 . . . . . 6
184183a1i 11 . . . . 5
185131, 19, 184, 39fsuppmptdm 7912 . . . 4 finSupp
1867, 8, 18, 19, 182, 185gsumcl 17627 . . 3 g
1876, 136, 178, 116dvrcan3 17998 . . 3 g g Unit g g /r g g
18821, 186, 177, 187syl3anc 1292 . 2 g g /r g g
189135, 181, 1883eqtr3rd 2514 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cfn 7587  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cmo 12129  cexp 12310   cdvds 14382  cprime 14701  cbs 15199  cmulr 15269  c0g 15416   g cgsu 15417  SubMndcsubmnd 16659  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801  cur 17813  crg 17858  ccrg 17859  Unitcui 17945  /rcdvr 17988   RingHom crh 18018  cdr 18053  Fieldcfield 18054  ℤringzring 19116  RHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-field 18056  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-nzr 18559  df-rlreg 18584  df-domn 18585  df-idom 18586  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  24359
 Copyright terms: Public domain W3C validator