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Theorem lgseisenlem1 24269
Description: Lemma for lgseisen 24273. If  R ( u )  =  ( Q  x.  u )  mod  P and  M ( u )  =  ( -u
1 ^ R ( u ) )  x.  R ( u ), then for any even  1  <_  u  <_  P  -  1,  M ( u ) is also an even integer  1  <_  M
( u )  <_  P  -  1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by  2, so that it becomes the statement that  M ( x  /  2 )  =  ( -u 1 ^ R ( x  / 
2 ) )  x.  R ( x  / 
2 )  /  2 is an integer between  1 and  ( P  -  1 )  / 
2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgseisen.4  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
lgseisen.5  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem1  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    ph, x    x, Q
Allowed substitution hints:    R( x)    M( x)

Proof of Theorem lgseisenlem1
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -u 1  e.  CC )
3 neg1ne0 10717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -u 1  =/=  0 )
5 2z 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  2  e.  ZZ )
7 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( R  /  2 )  e.  ZZ )
8 expmulz 12319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( R  /  2
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( R  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( R  /  2
) ) )
92, 4, 6, 7, 8syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( R  / 
2 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ ( R  / 
2 ) ) )
10 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)
11 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
1211adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
1312eldifad 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  Prime )
14 prmz 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
16 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  ZZ )
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
18 zmulcl 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  ZZ )
195, 17, 18sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ZZ )
2015, 19zmulcld 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  ZZ )
21 lgseisen.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2221adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2322eldifad 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  Prime )
24 prmnn 14618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  NN )
26 zmodfz 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  e.  ( 0 ... ( P  - 
1 ) ) )
2720, 25, 26syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) )
2810, 27syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) )
29 elfznn0 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  ->  R  e.  NN0 )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN0 )
3130nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ZZ )
3231zcnd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  CC )
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  R  e.  CC )
34 2cnd 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
35 2ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  2  =/=  0 )
3733, 34, 36divcan2d 10387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( R  /  2 ) )  =  R )
3837oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( R  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ R ) )
39 neg1sqe1 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
4039oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( R  /  2 ) )  =  ( 1 ^ ( R  /  2
) )
41 1exp 12302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( R  /  2 ) )  =  1 )
4241adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ ( R  /  2 ) )  =  1 )
4340, 42syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1 ^ 2 ) ^ ( R  /  2 ) )  =  1 )
449, 38, 433eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ R )  =  1 )
4544oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
4633mulid2d 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
1  x.  R )  =  R )
4745, 46eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  =  R )
4847oveq1d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  ( R  mod  P ) )
4930nn0red 10928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  RR )
5025nnrpd 11341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
5130nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <_  R )
5220zred 11042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  e.  RR )
53 modlt 12108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  <  P )
5452, 50, 53syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  x ) )  mod  P )  <  P )
5510, 54syl5eqbr 4455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  <  P )
56 modid 12122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  R  /\  R  <  P ) )  ->  ( R  mod  P )  =  R )
5749, 50, 51, 55, 56syl22anc 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  mod  P )  =  R )
5857adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  ( R  mod  P )  =  R )
5948, 58eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  R )
6059oveq1d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  =  ( R  /  2 ) )
6160, 7eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  ( R  /  2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ZZ )
6225nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  CC )
6362mulid2d 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
1  x.  P )  =  P )
6463oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u R  +  ( 1  x.  P ) )  =  ( -u R  +  P ) )
6549renegcld 10048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -u R  e.  RR )
6665recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -u R  e.  CC )
6762, 66addcomd 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  +  -u R )  =  ( -u R  +  P ) )
6862, 32negsubd 9994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  +  -u R )  =  ( P  -  R ) )
6964, 67, 683eqtr2d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u R  +  ( 1  x.  P ) )  =  ( P  -  R ) )
7069oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u R  +  ( 1  x.  P ) )  mod  P )  =  ( ( P  -  R )  mod 
P ) )
71 1zzd 10970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
72 modcyc 12133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  P  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( -u R  +  ( 1  x.  P ) )  mod  P )  =  ( -u R  mod  P ) )
7365, 50, 71, 72syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u R  +  ( 1  x.  P ) )  mod  P )  =  ( -u R  mod  P ) )
7425nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  RR )
7574, 49resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  R )  e.  RR )
7649, 74, 55ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  <_  P )
7774, 49subge0d 10205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
0  <_  ( P  -  R )  <->  R  <_  P ) )
7876, 77mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <_  ( P  -  R
) )
79 2nn 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  NN
80 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  e.  NN )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  NN )
82 nnmulcl 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  x  e.  NN )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  NN )
8379, 81, 82sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  NN )
84 elfzle2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  <_  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
8681nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
87 prmuz2 14635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
88 uz2m1nn 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
8923, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
9089nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
91 2re 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  RR )
93 2pos 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  2 )
95 lemuldiv2 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( P  -  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
9686, 90, 92, 94, 95syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  <_  ( P  -  1 )  <->  x  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
9785, 96mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) )
98 prmz 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
9923, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
100 peano2zm 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
101 fznn 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( (
2  x.  x )  e.  NN  /\  (
2  x.  x )  <_  ( P  - 
1 ) ) ) )
10383, 97, 102mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
104 fzm1ndvds 14350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  (
2  x.  x ) )
10525, 103, 104syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  x ) )
106 lgseisen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
107106adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  P  =/=  Q )
108 prmrp 14651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  Q
)  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
10923, 13, 108syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  gcd  Q
)  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
110107, 109mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  gcd  Q )  =  1 )
111 coprmdvds 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  (
2  x.  x )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
11299, 15, 19, 111syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  (
2  x.  x ) ) )
113110, 112mpan2d 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  ->  P  ||  ( 2  x.  x
) ) )
114105, 113mtod 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) ) )
115 dvdsval3 14302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Q  x.  (
2  x.  x ) )  <->  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod 
P )  =  0 ) )
11625, 20, 115syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  <->  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P )  =  0 ) )
117114, 116mtbid 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x
) )  mod  P
)  =  0 )
11810eqeq1i 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  =  0  <->  ( ( Q  x.  ( 2  x.  x ) )  mod  P )  =  0 )
119117, 118sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  R  =  0 )
12089nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
121 nn0uz 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
122120, 121syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
123 elfzp12 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( R  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  <->  ( R  =  0  \/  R  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  e.  ( 0 ... ( P  - 
1 ) )  <->  ( R  =  0  \/  R  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( P  -  1 ) ) ) ) )
12528, 124mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  =  0  \/  R  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( P  - 
1 ) ) ) )
126125ord 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -.  R  =  0  ->  R  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( P  - 
1 ) ) ) )
127119, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( P  -  1 ) ) )
128 1e0p1 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  =  ( 0  +  1 )
129128oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( P  -  1 ) )
130127, 129syl6eleqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) )
131 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  R  e.  NN )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  NN )
133132nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
13474, 133ltsubrpd 11372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  R )  <  P )
135 modid 12122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  -  R )  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  ( P  -  R )  /\  ( P  -  R
)  <  P )
)  ->  ( ( P  -  R )  mod  P )  =  ( P  -  R ) )
13675, 50, 78, 134, 135syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  R
)  mod  P )  =  ( P  -  R ) )
13770, 73, 1363eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u R  mod  P )  =  ( P  -  R ) )
138137adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( -u R  mod  P
)  =  ( P  -  R ) )
139 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  e.  CC )
141132adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  R  e.  NN )
1425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
14335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  2  =/=  0 )
14431peano2zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( R  +  1 )  e.  ZZ )
145 dvdsval2 14301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( R  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( R  +  1 )  <-> 
( ( R  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
2  ||  ( R  +  1 )  <->  ( ( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
147146biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  ||  ( R  +  1 ) )
14831adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  R  e.  ZZ )
14979a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  NN )
150 1lt2 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  <  2 )
152 ndvdsp1 14383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  R  ->  -.  2  ||  ( R  +  1 ) ) )
153148, 149, 151, 152syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  R  ->  -.  2  ||  ( R  +  1 ) ) )
154147, 153mt2d 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -.  2  ||  R )
155 oexpneg 14361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  R  e.  NN  /\  -.  2  ||  R )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =  -u (
1 ^ R ) )
156140, 141, 154, 155syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =  -u (
1 ^ R ) )
157 1exp 12302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ZZ  ->  (
1 ^ R )  =  1 )
158148, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 1 ^ R
)  =  1 )
159158negeqd 9871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -u ( 1 ^ R
)  =  -u 1
)
160156, 159eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( -u 1 ^ R
)  =  -u 1
)
161160oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  =  ( -u
1  x.  R ) )
16232adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  R  e.  CC )
163162mulm1d 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( -u 1  x.  R
)  =  -u R
)
164161, 163eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  =  -u R
)
165164oveq1d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  (
-u R  mod  P
) )
16662adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  P  e.  CC )
167166, 162, 140pnpcan2d 10026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  + 
1 )  -  ( R  +  1 ) )  =  ( P  -  R ) )
168138, 165, 1673eqtr4d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  ( ( P  +  1 )  -  ( R  +  1 ) ) )
169168oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  =  ( ( ( P  + 
1 )  -  ( R  +  1 ) )  /  2 ) )
170 peano2cn 9807 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  CC  ->  ( P  +  1 )  e.  CC )
171166, 170syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( P  +  1 )  e.  CC )
172 peano2cn 9807 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CC  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
173162, 172syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( R  +  1 )  e.  CC )
174 2cnd 10684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  CC )
17535a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  =/=  0 )
176171, 173, 174, 175divsubdird 10424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( P  +  1 )  -  ( R  +  1
) )  /  2
)  =  ( ( ( P  +  1 )  /  2 )  -  ( ( R  +  1 )  / 
2 ) ) )
177169, 176eqtrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  =  ( ( ( P  + 
1 )  /  2
)  -  ( ( R  +  1 )  /  2 ) ) )
178166, 140, 174subadd23d 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  - 
1 )  +  2 )  =  ( P  +  ( 2  -  1 ) ) )
179 2m1e1 10726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
180179oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( P  +  1 )
181178, 180syl6req 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( P  +  1 )  =  ( ( P  -  1 )  +  2 ) )
182181oveq1d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  + 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( P  -  1 )  +  2 )  /  2 ) )
18389nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
184183adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
185184, 174, 174, 175divdird 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( P  -  1 )  +  2 )  /  2
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) ) )
186 2div2e1 10734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  2 )  =  1
187186oveq2i 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  1 )
188185, 187syl6eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( P  -  1 )  +  2 )  /  2
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  +  1 ) )
189182, 188eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  + 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  +  1 ) )
190 oddprm 14758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
19122, 190syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
192191nnzd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
193192adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
194193peano2zd 11045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
195189, 194eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
196 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( R  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
197195, 196zsubcld 11047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( P  +  1 )  / 
2 )  -  (
( R  +  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
198177, 197eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  /\  (
( R  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ZZ )
199 zeo 11023 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  ZZ  ->  (
( R  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( R  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
20031, 199syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( R  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( R  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
20161, 198, 200mpjaodan 794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ZZ )
202 m1expcl 12296 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
20331, 202syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  ZZ )
204203, 31zmulcld 11048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  e.  ZZ )
205204, 25zmodcld 12118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0 )
206205nn0red 10928 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  RR )
207 fzm1ndvds 14350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  P  ||  R
)
20825, 130, 207syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  R )
209 ax-1ne0 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
210 divneg2 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
211139, 139, 209, 210mp3an 1361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
212 1div1e1 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  /  1 )  =  1
213212negeqi 9870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
214211, 213eqtr3i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
215214oveq1i 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  -u 1
) ^ R )  =  ( -u 1 ^ R )
2161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
2173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
218216, 217, 31exprecd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( 1  /  -u 1
) ^ R )  =  ( 1  / 
( -u 1 ^ R
) ) )
219215, 218syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  =  ( 1  / 
( -u 1 ^ R
) ) )
220219oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( -u
1 ^ R ) )  =  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) ) )
221203zcnd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  e.  CC )
222216, 217, 31expne0d 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -u 1 ^ R )  =/=  0 )
223221, 222recidd 10380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( 1  /  ( -u 1 ^ R ) ) )  =  1 )
224220, 223eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( -u
1 ^ R ) )  =  1 )
225224oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
226221, 221, 32mulassd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  ( -u 1 ^ R ) )  x.  R )  =  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R ) ) )
22732mulid2d 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
1  x.  R )  =  R )
228225, 226, 2273eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R ) )  =  R )
229228breq2d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R ) )  <-> 
P  ||  R )
)
230208, 229mtbird 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R ) ) )
231 dvdsmultr2 14333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( -u 1 ^ R
)  e.  ZZ  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  ->  P  ||  (
( -u 1 ^ R
)  x.  ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R ) ) ) )
23299, 203, 204, 231syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  ->  P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R ) ) ) )
233230, 232mtod 181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R ) )
234 dvdsval3 14302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  <->  ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  =  0 ) )
23525, 204, 234syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  <->  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  =  0 ) )
236233, 235mtbid 302 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  -.  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  0 )
237 elnn0 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN  \/  ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  =  0 ) )
238205, 237sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  NN  \/  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  0 ) )
239238ord 379 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  ( -.  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  NN  ->  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  =  0 ) )
240236, 239mt3d 129 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  NN )
241240nngt0d 10655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P ) )
242206, 92, 241, 94divgt0d 10544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
243 elnnz 10949 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 ) ) )
244201, 242, 243sylanbrc 669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  NN )
245244nnge1d 10654 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  1  <_  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
246 zmodfz 12119 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) )
247204, 25, 246syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) )
248 elfzle2 11805 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  ->  ( (
( -u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  <_ 
( P  -  1 ) )
249247, 248syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  <_  ( P  -  1 ) )
250 lediv1 10472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  e.  RR  /\  ( P  -  1 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  <_  ( P  -  1 )  <->  ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  <_ 
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
251206, 90, 92, 94, 250syl112anc 1269 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  <_  ( P  -  1 )  <-> 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
252249, 251mpbid 214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
253 elfz 11792 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  <->  ( 1  <_ 
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  /\  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  <_  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
254201, 71, 192, 253syl3anc 1265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  <-> 
( 1  <_  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  /\  ( (
( ( -u 1 ^ R )  x.  R
)  mod  P )  /  2 )  <_ 
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
255245, 252, 254mpbir2and 931 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ R )  x.  R )  mod 
P )  /  2
)  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
256 lgseisen.5 . 2  |-  M  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( ( ( (
-u 1 ^ R
)  x.  R )  mod  P )  / 
2 ) )
257255, 256fmptd 6059 1  |-  ( ph  ->  M : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619    \ cdif 3434   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   ...cfz 11786    mod cmo 12097   ^cexp 12273    || cdvds 14298    gcd cgcd 14461   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616
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