MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 23466
Description: Lemma for lgsdir2 23469. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 10711 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
5 8cn 10633 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 9562 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7cn 10631 . . . . 5  |-  7  e.  CC
86, 7addcomi 9782 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
9 df-8 10612 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
108, 9eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
115, 6, 7, 10subaddrii 9920 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1211oveq2i 6306 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
134, 12syl6eleq 2565 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
14 neg1z 10911 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
15 2z 10908 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
16 dvds0 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
18 1pneg1e0 10656 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
19 neg1cn 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
206, 19addcomi 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2118, 20eqtr3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2217, 21breqtri 4476 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
23 noel 3794 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2423pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
25 neg1lt0 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
26 0z 10887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 fzn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
2826, 14, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
2925, 28mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3024, 29eleq2s 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3214, 22, 313pm3.2i 1174 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
33 1e0p1 11016 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
34 ssun1 3672 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
35 1ex 9603 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3635prid1 4141 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
3734, 36sselii 3506 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 23465 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
39 df-2 10606 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
40 df-3 10607 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
41 ssun2 3673 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 3ex 10623 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
4342prid1 4141 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
4441, 43sselii 3506 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 23465 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-4 10608 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
47 df-5 10609 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
48 5nn 10708 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
4948elexi 3128 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5049prid2 4142 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5141, 50sselii 3506 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 23465 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
53 df-6 10610 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
54 df-7 10611 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
55 7nn 10710 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
5655elexi 3128 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
5756prid2 4142 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
5834, 57sselii 3506 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 23465 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6059simp3i 1007 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6113, 60mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3479   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    - cmin 9817   -ucneg 9818   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   ZZcz 10876   ...cfz 11684    mod cmo 11976    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-dvds 13865
This theorem is referenced by:  lgsdir2  23469
  Copyright terms: Public domain W3C validator