Theorem lgsdir2lem3 22807

Description: Lemma for lgsdir2 22810. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 10600	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 11850	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8cn 10522	. . . . 5 |- 8 e. CC
6		ax-1cn 9455	. . . . 5 |- 1 e. CC
7		7cn 10520	. . . . 5 |- 7 e. CC
8	6, 7	addcomi 9675	. . . . . 6 |- ( 1 + 7 ) = ( 7 + 1 )
9		df-8 10501	. . . . . 6 |- 8 = ( 7 + 1 )
10	8, 9	eqtr4i 2486	. . . . 5 |- ( 1 + 7 ) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 9812	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
12	11	oveq2i 6214	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
13	4, 12	syl6eleq 2552	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
14		neg1z 10796	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
15		2z 10793	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		dvds0 13670	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
18		1pneg1e0 10545	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
19		neg1cn 10540	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
20	6, 19	addcomi 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
21	18, 20	eqtr3i 2485	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
22	17, 21	breqtri 4426	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
23		noel 3752	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
24	23	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
25		neg1lt0 10543	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
26		0z 10772	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		fzn 11587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
28	26, 14, 27	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
29	25, 28	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
30	24, 29	eleq2s 2562	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1166	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
33		1e0p1 10898	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
34		ssun1 3630	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		1ex 9496	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
36	35	prid1 4094	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
37	34, 36	sselii 3464	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 22806	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-2 10495	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
40		df-3 10496	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
41		ssun2 3631	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
42		3ex 10512	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
43	42	prid1 4094	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
44	41, 43	sselii 3464	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 22806	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-4 10497	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
47		df-5 10498	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
48		5nn 10597	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
49	48	elexi 3088	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
50	49	prid2 4095	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
51	41, 50	sselii 3464	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 22806	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53		df-6 10499	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
54		df-7 10500	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
55		7nn 10599	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
56	55	elexi 3088	. . . . . 6 |- 7 e. _V
57	56	prid2 4095	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
58	34, 57	sselii 3464	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 22806	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
60	59	simp3i 999	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
61	13, 60	mpd 15	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   u. cun 3437   (/)c0 3748   {cpr 3990   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398   + caddc 9400   < clt 9533   - cmin 9710   -ucneg 9711   NNcn 10437   2c2 10486   3c3 10487   4c4 10488   5c5 10489   6c6 10490   7c7 10491   8c8 10492   ZZcz 10761   ...cfz 11558   mod cmo 11829   || cdivides 13657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fl 11763  df-mod 11830  df-dvds 13658

This theorem is referenced by:  lgsdir2  22810