Theorem lgsdir2lem3 23466

Description: Lemma for lgsdir2 23469. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 10711	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 11997	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 662	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8cn 10633	. . . . 5 |- 8 e. CC
6		ax-1cn 9562	. . . . 5 |- 1 e. CC
7		7cn 10631	. . . . 5 |- 7 e. CC
8	6, 7	addcomi 9782	. . . . . 6 |- ( 1 + 7 ) = ( 7 + 1 )
9		df-8 10612	. . . . . 6 |- 8 = ( 7 + 1 )
10	8, 9	eqtr4i 2499	. . . . 5 |- ( 1 + 7 ) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 9920	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
12	11	oveq2i 6306	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
13	4, 12	syl6eleq 2565	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
14		neg1z 10911	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
15		2z 10908	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		dvds0 13877	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
18		1pneg1e0 10656	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
19		neg1cn 10651	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
20	6, 19	addcomi 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
21	18, 20	eqtr3i 2498	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
22	17, 21	breqtri 4476	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
23		noel 3794	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
24	23	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
25		neg1lt0 10654	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
26		0z 10887	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		fzn 11714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
28	26, 14, 27	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
29	25, 28	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
30	24, 29	eleq2s 2575	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1174	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
33		1e0p1 11016	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
34		ssun1 3672	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		1ex 9603	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
36	35	prid1 4141	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
37	34, 36	sselii 3506	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 23465	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-2 10606	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
40		df-3 10607	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
41		ssun2 3673	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
42		3ex 10623	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
43	42	prid1 4141	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
44	41, 43	sselii 3506	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 23465	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-4 10608	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
47		df-5 10609	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
48		5nn 10708	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
49	48	elexi 3128	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
50	49	prid2 4142	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
51	41, 50	sselii 3506	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 23465	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53		df-6 10610	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
54		df-7 10611	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
55		7nn 10710	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
56	55	elexi 3128	. . . . . 6 |- 7 e. _V
57	56	prid2 4142	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
58	34, 57	sselii 3506	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 23465	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
60	59	simp3i 1007	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
61	13, 60	mpd 15	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   u. cun 3479   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   < clt 9640   - cmin 9817   -ucneg 9818   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   ZZcz 10876   ...cfz 11684   mod cmo 11976   || cdivides 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fl 11909  df-mod 11977  df-dvds 13865

This theorem is referenced by:  lgsdir2  23469