MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 22549
Description: Lemma for lgsdir2 22552. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 10473 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11713 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 655 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
5 8cn 10395 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 9328 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7cn 10393 . . . . 5  |-  7  e.  CC
86, 7addcomi 9548 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
9 df-8 10374 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
108, 9eqtr4i 2456 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
115, 6, 7, 10subaddrii 9685 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1211oveq2i 6091 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
134, 12syl6eleq 2523 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
14 neg1z 10669 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
15 2z 10666 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
16 dvds0 13531 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
18 1pneg1e0 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
19 neg1cn 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
206, 19addcomi 9548 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2118, 20eqtr3i 2455 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2217, 21breqtri 4303 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
23 noel 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2423pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
25 neg1lt0 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
26 0z 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 fzn 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
2826, 14, 27mp2an 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
2925, 28mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3024, 29eleq2s 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3214, 22, 313pm3.2i 1159 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
33 1e0p1 10771 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
34 ssun1 3507 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
35 1ex 9369 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3635prid1 3971 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
3734, 36sselii 3341 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 22548 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
39 df-2 10368 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
40 df-3 10369 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
41 ssun2 3508 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 3ex 10385 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
4342prid1 3971 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
4441, 43sselii 3341 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 22548 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-4 10370 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
47 df-5 10371 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
48 5nn 10470 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
4948elexi 2972 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5049prid2 3972 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5141, 50sselii 3341 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 22548 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
53 df-6 10372 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
54 df-7 10373 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
55 7nn 10472 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
5655elexi 2972 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
5756prid2 3972 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
5834, 57sselii 3341 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 22548 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6059simp3i 992 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6113, 60mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    u. cun 3314   (/)c0 3625   {cpr 3867   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    - cmin 9583   -ucneg 9584   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   8c8 10365   ZZcz 10634   ...cfz 11424    mod cmo 11692    || cdivides 13518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fl 11626  df-mod 11693  df-dvds 13519
This theorem is referenced by:  lgsdir2  22552
  Copyright terms: Public domain W3C validator