Theorem lgsdir2lem3 24302

Description: Lemma for lgsdir2 24305. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 463	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 10802	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 12150	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 673	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8cn 10723	. . . . 5 |- 8 e. CC
6		ax-1cn 9623	. . . . 5 |- 1 e. CC
7		7cn 10721	. . . . 5 |- 7 e. CC
8	6, 7	addcomi 9850	. . . . . 6 |- ( 1 + 7 ) = ( 7 + 1 )
9		df-8 10702	. . . . . 6 |- 8 = ( 7 + 1 )
10	8, 9	eqtr4i 2487	. . . . 5 |- ( 1 + 7 ) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 9990	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
12	11	oveq2i 6326	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
13	4, 12	syl6eleq 2550	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
14		neg1z 11002	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
15		2z 10998	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		dvds0 14367	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
18		1pneg1e0 10746	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
19		neg1cn 10741	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
20	6, 19	addcomi 9850	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
21	18, 20	eqtr3i 2486	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
22	17, 21	breqtri 4440	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
23		noel 3747	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
24	23	pm2.21i 136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
25		neg1lt0 10744	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
26		0z 10977	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		fzn 11844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
28	26, 14, 27	mp2an 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
29	25, 28	mpbi 213	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
30	24, 29	eleq2s 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1192	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
33		1e0p1 11108	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
34		ssun1 3609	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		1ex 9664	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
36	35	prid1 4093	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
37	34, 36	sselii 3441	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 24301	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-2 10696	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
40		df-3 10697	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
41		ssun2 3610	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
42		3ex 10713	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
43	42	prid1 4093	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
44	41, 43	sselii 3441	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 24301	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-4 10698	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
47		df-5 10699	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
48		5nn 10799	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
49	48	elexi 3067	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
50	49	prid2 4094	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
51	41, 50	sselii 3441	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 24301	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53		df-6 10700	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
54		df-7 10701	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
55		7nn 10801	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
56	55	elexi 3067	. . . . . 6 |- 7 e. _V
57	56	prid2 4094	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
58	34, 57	sselii 3441	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 24301	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
60	59	simp3i 1025	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
61	13, 60	mpd 15	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   u. cun 3414   (/)c0 3743   {cpr 3982   class class class wbr 4416  (class class class)co 6315   0cc0 9565   1c1 9566   + caddc 9568   < clt 9701   - cmin 9886   -ucneg 9887   NNcn 10637   2c2 10687   3c3 10688   4c4 10689   5c5 10690   6c6 10691   7c7 10692   8c8 10693   ZZcz 10966   ...cfz 11813   mod cmo 12128   || cdvds 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fl 12060  df-mod 12129  df-dvds 14355

This theorem is referenced by:  lgsdir2  24305