MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2lem3 22807
Description: Lemma for lgsdir2 22810. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
2 8nn 10600 . . . 4  |-  8  e.  NN
3 zmodfz 11850 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
41, 2, 3sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... ( 8  -  1 ) ) )
5 8cn 10522 . . . . 5  |-  8  e.  CC
6 ax-1cn 9455 . . . . 5  |-  1  e.  CC
7 7cn 10520 . . . . 5  |-  7  e.  CC
86, 7addcomi 9675 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  ( 7  +  1 )
9 df-8 10501 . . . . . 6  |-  8  =  ( 7  +  1 )
108, 9eqtr4i 2486 . . . . 5  |-  ( 1  +  7 )  =  8
115, 6, 7, 10subaddrii 9812 . . . 4  |-  ( 8  -  1 )  =  7
1211oveq2i 6214 . . 3  |-  ( 0 ... ( 8  -  1 ) )  =  ( 0 ... 7
)
134, 12syl6eleq 2552 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7 ) )
14 neg1z 10796 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
15 2z 10793 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
16 dvds0 13670 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  0
18 1pneg1e0 10545 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
19 neg1cn 10540 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
206, 19addcomi 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
2118, 20eqtr3i 2485 . . . . . . . . 9  |-  0  =  ( -u 1  +  1 )
2217, 21breqtri 4426 . . . . . . . 8  |-  2  ||  ( -u 1  +  1 )
23 noel 3752 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  ( A  mod  8 )  e.  (/)
2423pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  (/)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
25 neg1lt0 10543 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  0
26 0z 10772 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 fzn 11587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) ) )
2826, 14, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  <  0  <->  ( 0 ... -u 1 )  =  (/) )
2925, 28mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... -u 1 )  =  (/)
3024, 29eleq2s 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
3130a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... -u 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
3214, 22, 313pm3.2i 1166 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( -u 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  (
( A  mod  8
)  e.  ( 0 ... -u 1 )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
33 1e0p1 10898 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
34 ssun1 3630 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  7 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
35 1ex 9496 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3635prid1 4094 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 ,  7 }
3734, 36sselii 3464 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 22806 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 1  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 1
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
39 df-2 10495 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
40 df-3 10496 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
41 ssun2 3631 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  5 }  C_  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )
42 3ex 10512 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
4342prid1 4094 . . . . . . 7  |-  3  e.  { 3 ,  5 }
4441, 43sselii 3464 . . . . . 6  |-  3  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 22806 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 3  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 3
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
46 df-4 10497 . . . . 5  |-  4  =  ( 3  +  1 )
47 df-5 10498 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
48 5nn 10597 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
4948elexi 3088 . . . . . . 7  |-  5  e.  _V
5049prid2 4095 . . . . . 6  |-  5  e.  { 3 ,  5 }
5141, 50sselii 3464 . . . . 5  |-  5  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 22806 . . . 4  |-  ( 5  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 5  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 5
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
53 df-6 10499 . . . 4  |-  6  =  ( 5  +  1 )
54 df-7 10500 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
55 7nn 10599 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
5655elexi 3088 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
5756prid2 4095 . . . . 5  |-  7  e.  { 1 ,  7 }
5834, 57sselii 3464 . . . 4  |-  7  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  {
3 ,  5 } )
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 22806 . . 3  |-  ( 7  e.  ZZ  /\  2  ||  ( 7  +  1 )  /\  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) ) )
6059simp3i 999 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  ( 0 ... 7
)  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) ) )
6113, 60mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3437   (/)c0 3748   {cpr 3990   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    < clt 9533    - cmin 9710   -ucneg 9711   NNcn 10437   2c2 10486   3c3 10487   4c4 10488   5c5 10489   6c6 10490   7c7 10491   8c8 10492   ZZcz 10761   ...cfz 11558    mod cmo 11829    || cdivides 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fl 11763  df-mod 11830  df-dvds 13658
This theorem is referenced by:  lgsdir2  22810
  Copyright terms: Public domain W3C validator