Theorem lgsdir2lem3 22549

Description: Lemma for lgsdir2 22552. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 454	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 10473	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 11713	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 655	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8cn 10395	. . . . 5 |- 8 e. CC
6		ax-1cn 9328	. . . . 5 |- 1 e. CC
7		7cn 10393	. . . . 5 |- 7 e. CC
8	6, 7	addcomi 9548	. . . . . 6 |- ( 1 + 7 ) = ( 7 + 1 )
9		df-8 10374	. . . . . 6 |- 8 = ( 7 + 1 )
10	8, 9	eqtr4i 2456	. . . . 5 |- ( 1 + 7 ) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 9685	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
12	11	oveq2i 6091	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
13	4, 12	syl6eleq 2523	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
14		neg1z 10669	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
15		2z 10666	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		dvds0 13531	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
18		1pneg1e0 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
19		neg1cn 10413	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
20	6, 19	addcomi 9548	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
21	18, 20	eqtr3i 2455	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
22	17, 21	breqtri 4303	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
23		noel 3629	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
24	23	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
25		neg1lt0 10416	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
26		0z 10645	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		fzn 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
28	26, 14, 27	mp2an 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
29	25, 28	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
30	24, 29	eleq2s 2525	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1159	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
33		1e0p1 10771	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
34		ssun1 3507	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		1ex 9369	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
36	35	prid1 3971	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
37	34, 36	sselii 3341	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 22548	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-2 10368	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
40		df-3 10369	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
41		ssun2 3508	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
42		3ex 10385	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
43	42	prid1 3971	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
44	41, 43	sselii 3341	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 22548	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-4 10370	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
47		df-5 10371	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
48		5nn 10470	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
49	48	elexi 2972	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
50	49	prid2 3972	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
51	41, 50	sselii 3341	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 22548	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53		df-6 10372	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
54		df-7 10373	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
55		7nn 10472	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
56	55	elexi 2972	. . . . . 6 |- 7 e. _V
57	56	prid2 3972	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
58	34, 57	sselii 3341	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 22548	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
60	59	simp3i 992	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
61	13, 60	mpd 15	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   u. cun 3314   (/)c0 3625   {cpr 3867   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   < clt 9406   - cmin 9583   -ucneg 9584   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   8c8 10365   ZZcz 10634   ...cfz 11424   mod cmo 11692   || cdivides 13518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fl 11626  df-mod 11693  df-dvds 13519

This theorem is referenced by:  lgsdir2  22552