MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2 23428
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at  2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2
StepHypRef Expression
1 0cn 9589 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2 ax-1cn 9551 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3 neg1cn 10640 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
42, 3keepel 4007 . . . . . 6  |-  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
51, 4keepel 4007 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
65mul02i 9769 . . . 4  |-  ( 0  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  0
7 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
98oveq1d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( 0  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ) )
10 2z 10897 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 dvdsmultr1 13882 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  A  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
1210, 11mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
1312imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
14 iftrue 3945 . . . . 5  |-  ( 2 
||  ( A  x.  B )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
166, 9, 153eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
172, 3keepel 4007 . . . . . 6  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
181, 17keepel 4007 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
1918mul01i 9770 . . . 4  |-  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  0 )  =  0
20 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
2221oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  x.  0 ) )
23 dvdsmultr2 13883 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  B  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
2410, 23mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
2524imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
2625, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
2719, 22, 263eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
284mulid2i 9600 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )
29 iftrue 3945 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3029adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3130oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
32 lgsdir2lem4 23426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3332adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3433ifbid 3961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
3528, 31, 343eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
3617mulid1i 9599 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  1 )  =  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)
37 iftrue 3945 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3938oveq2d 6301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  1 ) )
40 zcn 10870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
41 zcn 10870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
42 mulcom 9579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4340, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  x.  B )  =  ( B  x.  A ) )
4544oveq1d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( A  x.  B
)  mod  8 )  =  ( ( B  x.  A )  mod  8 ) )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( B  x.  A )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
47 lgsdir2lem4 23426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4847ancom1s 803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4948adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( B  x.  A )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
5046, 49bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
5150ifbid 3961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
5236, 39, 513eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
53 neg1mulneg1e1 10754 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  1
54 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
55 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
5654, 55oveqan12d 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
5756adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
58 lgsdir2lem3 23425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
5958ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
60 elun 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6159, 60sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6261orcanai 911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
63 lgsdir2lem3 23425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  B )  ->  ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
6463ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( B  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
65 elun 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6664, 65sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6766orcanai 911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
6862, 67anim12dan 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
69 lgsdir2lem5 23427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
7069adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( ( A  mod  8 )  e.  { 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
7168, 70syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )
72 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  if (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
7453, 57, 733eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
7535, 52, 74pm2.61ddan 790 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )
76 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
77 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
7876, 77oveqan12d 6304 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  x.  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
7978adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
80 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B )  <-> 
( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )
81 2prm 14095 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  Prime
82 euclemma 14111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8381, 82mp3an1 1311 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B ) ) )
8483notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  2  ||  ( A  x.  B
)  <->  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8584biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B
) )
8680, 85sylan2br 476 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B ) )
87 iffalse 3948 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  ( A  x.  B )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
8886, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
8975, 79, 883eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
9016, 27, 89pm2.61ddan 790 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
91 lgs2 23413 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  /L 2 )  =  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
92 lgs2 23413 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  /L 2 )  =  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
9391, 92oveqan12d 6304 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) )  =  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ) )
94 zmulcl 10912 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
95 lgs2 23413 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  x.  B
)  /L 2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
9694, 95syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
9790, 93, 963eqtr4rd 2519 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474   ifcif 3939   {cpr 4029   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    x. cmul 9498   -ucneg 9807   2c2 10586   3c3 10587   5c5 10589   7c7 10591   8c8 10592   ZZcz 10865    mod cmo 11965    || cdivides 13850   Primecprime 14079    /Lclgs 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-phi 14158  df-pc 14223  df-lgs 23395
This theorem is referenced by:  lgsdirprm  23429
  Copyright terms: Public domain W3C validator