MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2 Structured version   Unicode version

Theorem lgsdir2 23801
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at  2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) ) )

Proof of Theorem lgsdir2
StepHypRef Expression
1 0cn 9577 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3 neg1cn 10635 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
42, 3keepel 3996 . . . . . 6  |-  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
51, 4keepel 3996 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
65mul02i 9758 . . . 4  |-  ( 0  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  0
7 iftrue 3935 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
87adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
98oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( 0  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ) )
10 2z 10892 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 dvdsmultr1 14103 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  A  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
1210, 11mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
1312imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
1413iftrued 3937 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
156, 9, 143eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  A
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
162, 3keepel 3996 . . . . . 6  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC
171, 16keepel 3996 . . . . 5  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  CC
1817mul01i 9759 . . . 4  |-  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  0 )  =  0
19 iftrue 3935 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  0 )
2019adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  B , 
0 ,  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  =  0 )
2120oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  x.  0 ) )
22 dvdsmultr2 14105 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  B  ->  2 
||  ( A  x.  B ) ) )
2310, 22mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  ( A  x.  B ) ) )
2423imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  2  ||  ( A  x.  B
) )
2524iftrued 3937 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  if (
2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
2618, 21, 253eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  if ( 2 
||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
274mulid2i 9588 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )
28 iftrue 3935 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
2928adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3029oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( 1  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
31 lgsdir2lem4 23799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3231adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
3332ifbid 3951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
3427, 30, 333eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
3516mulid1i 9587 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  1 )  =  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)
36 iftrue 3935 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3736adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
3837oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  1 ) )
39 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
40 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
41 mulcom 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4239, 40, 41syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  x.  B )  =  ( B  x.  A ) )
4443oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( A  x.  B
)  mod  8 )  =  ( ( B  x.  A )  mod  8 ) )
4544eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( B  x.  A )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
46 lgsdir2lem4 23799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4746ancom1s 803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )  ->  ( (
( B  x.  A
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4847adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( B  x.  A )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
4945, 48bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ) )
5049ifbid 3951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
5135, 38, 503eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
52 neg1mulneg1e1 10749 . . . . . 6  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  1
53 iffalse 3938 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
54 iffalse 3938 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  ->  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
5553, 54oveqan12d 6289 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
5655adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( -u 1  x.  -u 1 ) )
57 lgsdir2lem3 23798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  A )  ->  ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
5857ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( A  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
59 elun 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6058, 59sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( A  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6160orcanai 911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
62 lgsdir2lem3 23798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  B )  ->  ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
6362ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( B  mod  8
)  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } ) )
64 elun 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  mod  8 )  e.  ( { 1 ,  7 }  u.  { 3 ,  5 } )  <->  ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
6563, 64sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 }  \/  ( B  mod  8 )  e.  {
3 ,  5 } ) )
6665orcanai 911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  -.  ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } )  ->  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } )
6761, 66anim12dan 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )
68 lgsdir2lem5 23800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
6968adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( ( A  mod  8 )  e.  { 3 ,  5 }  /\  ( B  mod  8 )  e. 
{ 3 ,  5 } ) )  -> 
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
7067, 69syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )
7170iftrued 3937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  if (
( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
7252, 56, 713eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  /\  ( -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  /\  -.  ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )  ->  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
7334, 51, 72pm2.61ddan 790 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B
)  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )
74 iffalse 3938 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  A  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
75 iffalse 3938 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  B  ->  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( B  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
7674, 75oveqan12d 6289 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B
)  ->  ( if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  x.  if ( 2  ||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  x.  if ( ( B  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
7776adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  ( if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  x.  if ( ( B  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
78 ioran 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B )  <-> 
( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )
79 2prm 14317 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  Prime
80 euclemma 14333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8179, 80mp3an1 1309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( A  x.  B )  <->  ( 2  ||  A  \/  2  ||  B ) ) )
8281notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  2  ||  ( A  x.  B
)  <->  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) ) )
8382biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( 2 
||  A  \/  2 
||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B
) )
8478, 83sylan2br 474 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  -.  2  ||  ( A  x.  B ) )
85 iffalse 3938 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  ( A  x.  B )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  ->  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
8773, 77, 863eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  2  ||  A  /\  -.  2  ||  B ) )  -> 
( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
8815, 26, 87pm2.61ddan 790 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
89 lgs2 23786 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  /L 2 )  =  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
90 lgs2 23786 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  /L 2 )  =  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
9189, 90oveqan12d 6289 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) )  =  ( if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  x.  if ( 2 
||  B ,  0 ,  if ( ( B  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ) )
92 zmulcl 10908 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
93 lgs2 23786 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  x.  B
)  /L 2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) )
9492, 93syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  if ( 2  ||  ( A  x.  B ) ,  0 ,  if ( ( ( A  x.  B )  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
9588, 91, 943eqtr4rd 2506 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  x.  B )  /L 2 )  =  ( ( A  /L 2 )  x.  ( B  /L 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459   ifcif 3929   {cpr 4018   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   -ucneg 9797   2c2 10581   3c3 10582   5c5 10584   7c7 10586   8c8 10587   ZZcz 10860    mod cmo 11978    || cdvds 14070   Primecprime 14301    /Lclgs 23767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229  df-prm 14302  df-phi 14380  df-pc 14445  df-lgs 23768
This theorem is referenced by:  lgsdirprm  23802
  Copyright terms: Public domain W3C validator