Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgsdir 24337
 Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its left argument. Together with lgsqr 24353 this implies that the product of two quadratic residues or nonresidues is a residue, and the product of a residue and a nonresidue is a nonresidue. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir

Proof of Theorem lgsdir
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
2 0cn 9653 . . . . . . 7
31, 2keepel 3939 . . . . . 6
43mulid2i 9664 . . . . 5
5 iftrue 3878 . . . . . . 7
65adantl 473 . . . . . 6
76oveq1d 6323 . . . . 5
8 simpl1 1033 . . . . . . . . . . 11
98zcnd 11064 . . . . . . . . . 10
109ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
11 simpl2 1034 . . . . . . . . . . 11
1211zcnd 11064 . . . . . . . . . 10
1312ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
1410, 13sqmuld 12466 . . . . . . . 8
15 simpr 468 . . . . . . . . 9
1615oveq1d 6323 . . . . . . . 8
1712sqcld 12452 . . . . . . . . . 10
1817ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
1918mulid2d 9679 . . . . . . . 8
2014, 16, 193eqtrd 2509 . . . . . . 7
2120eqeq1d 2473 . . . . . 6
2221ifbid 3894 . . . . 5
234, 7, 223eqtr4a 2531 . . . 4
243mul02i 9840 . . . . 5
25 iffalse 3881 . . . . . . 7
2625adantl 473 . . . . . 6
2726oveq1d 6323 . . . . 5
28 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . . . 12
298, 11, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
308, 11zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . 12
31 dvdssq 14607 . . . . . . . . . . . 12
328, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
3329, 32mpbid 215 . . . . . . . . . 10
3433adantr 472 . . . . . . . . 9
35 breq2 4399 . . . . . . . . 9
3634, 35syl5ibcom 228 . . . . . . . 8
37 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 sqeq0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . 16
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
4138, 40mtbird 308 . . . . . . . . . . . . . 14
42 zsqcl2 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
438, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 elnn0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4543, 44sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645ord 384 . . . . . . . . . . . . . 14
4741, 46mt3d 130 . . . . . . . . . . . . 13
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
4948nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11
50 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11
51 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . 11
5249, 50, 51sylancl 675 . . . . . . . . . 10
5348nnge1d 10674 . . . . . . . . . 10
5452, 53jctird 553 . . . . . . . . 9
5548nnred 10646 . . . . . . . . . 10
56 1re 9660 . . . . . . . . . 10
57 letri3 9737 . . . . . . . . . 10
5855, 56, 57sylancl 675 . . . . . . . . 9
5954, 58sylibrd 242 . . . . . . . 8
6036, 59syld 44 . . . . . . 7
6160con3dimp 448 . . . . . 6
6261iffalsed 3883 . . . . 5
6324, 27, 623eqtr4a 2531 . . . 4
6423, 63pm2.61dan 808 . . 3
65 oveq2 6316 . . . . 5
66 lgs0 24316 . . . . . 6
678, 66syl 17 . . . . 5
6865, 67sylan9eqr 2527 . . . 4
69 oveq2 6316 . . . . 5
70 lgs0 24316 . . . . . 6
7111, 70syl 17 . . . . 5
7269, 71sylan9eqr 2527 . . . 4
7368, 72oveq12d 6326 . . 3
74 oveq2 6316 . . . 4
75 lgs0 24316 . . . . 5
7630, 75syl 17 . . . 4
7774, 76sylan9eqr 2527 . . 3
7864, 73, 773eqtr4rd 2516 . 2
79 lgsdilem 24329 . . . . 5
8079adantr 472 . . . 4
81 mulcl 9641 . . . . . 6
8281adantl 473 . . . . 5
83 mulcom 9643 . . . . . 6
8483adantl 473 . . . . 5
85 mulass 9645 . . . . . 6
8685adantl 473 . . . . 5
87 simpl3 1035 . . . . . . 7
88 nnabscl 13465 . . . . . . 7
8987, 88sylan 479 . . . . . 6
90 nnuz 11218 . . . . . 6
9189, 90syl6eleq 2559 . . . . 5
92 simpll1 1069 . . . . . . . 8
93 simpll3 1071 . . . . . . . 8
94 simpr 468 . . . . . . . 8
95 eqid 2471 . . . . . . . . 9
9695lgsfcl3 24324 . . . . . . . 8
9792, 93, 94, 96syl3anc 1292 . . . . . . 7
98 elfznn 11854 . . . . . . 7
99 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
10097, 98, 99syl2an 485 . . . . . 6
101100zcnd 11064 . . . . 5
102 simpll2 1070 . . . . . . . 8
103 eqid 2471 . . . . . . . . 9
104103lgsfcl3 24324 . . . . . . . 8
105102, 93, 94, 104syl3anc 1292 . . . . . . 7
106 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
107105, 98, 106syl2an 485 . . . . . 6
108107zcnd 11064 . . . . 5
10992adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
110102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
111 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
112 lgsdirprm 24336 . . . . . . . . . . . 12
113109, 110, 111, 112syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
114113oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
115 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . 13
116 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . . 13
11792, 115, 116syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
118117zcnd 11064 . . . . . . . . . . 11
119 lgscl 24317 . . . . . . . . . . . . 13
120102, 115, 119syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12
121120zcnd 11064 . . . . . . . . . . 11
12293adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
12394adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
124 pczcl 14877 . . . . . . . . . . . 12
125111, 122, 123, 124syl12anc 1290 . . . . . . . . . . 11
126118, 121, 125mulexpd 12469 . . . . . . . . . 10
127114, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
128 iftrue 3878 . . . . . . . . . 10
129128adantl 473 . . . . . . . . 9
130 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11
131 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11
132130, 131oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
133132adantl 473 . . . . . . . . 9
134127, 129, 1333eqtr4d 2515 . . . . . . . 8
135 1t1e1 10780 . . . . . . . . . . 11
136135eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10
137 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10
138 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11
139 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11
140138, 139oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
141136, 137, 1403eqtr4a 2531 . . . . . . . . 9
142141adantl 473 . . . . . . . 8
143134, 142pm2.61dan 808 . . . . . . 7
144143adantr 472 . . . . . 6
14598adantl 473 . . . . . . 7
146 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
147 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
148 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
149147, 148oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
150146, 149ifbieq1d 3895 . . . . . . . 8
151 eqid 2471 . . . . . . . 8
152 ovex 6336 . . . . . . . . 9
153 1ex 9656 . . . . . . . . 9
154152, 153ifex 3940 . . . . . . . 8
155150, 151, 154fvmpt 5963 . . . . . . 7
156145, 155syl 17 . . . . . 6
157 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
158157, 148oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
159146, 158ifbieq1d 3895 . . . . . . . . 9
160 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
161160, 153ifex 3940 . . . . . . . . 9
162159, 95, 161fvmpt 5963 . . . . . . . 8
163145, 162syl 17 . . . . . . 7
164 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
165164, 148oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
166146, 165ifbieq1d 3895 . . . . . . . . 9
167 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
168167, 153ifex 3940 . . . . . . . . 9
169166, 103, 168fvmpt 5963 . . . . . . . 8
170145, 169syl 17 . . . . . . 7
171163, 170oveq12d 6326 . . . . . 6
172144, 156, 1713eqtr4d 2515 . . . . 5
17382, 84, 86, 91, 101, 108, 172seqcaopr 12288 . . . 4
17480, 173oveq12d 6326 . . 3
17530adantr 472 . . . 4
176151lgsval4 24323 . . . 4
177175, 93, 94, 176syl3anc 1292 . . 3
17895lgsval4 24323 . . . . . 6
17992, 93, 94, 178syl3anc 1292 . . . . 5
180103lgsval4 24323 . . . . . 6
181102, 93, 94, 180syl3anc 1292 . . . . 5
182179, 181oveq12d 6326 . . . 4
183 neg1cn 10735 . . . . . . 7
184183, 1keepel 3939 . . . . . 6
185184a1i 11 . . . . 5
186 mulcl 9641 . . . . . . 7
187186adantl 473 . . . . . 6
18891, 101, 187seqcl 12271 . . . . 5
189183, 1keepel 3939 . . . . . 6
190189a1i 11 . . . . 5
19191, 108, 187seqcl 12271 . . . . 5
192185, 188, 190, 191mul4d 9863 . . . 4
193182, 192eqtrd 2505 . . 3
194174, 177, 1933eqtr4d 2515 . 2
19578, 194pm2.61dane 2730 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   clt 9693   cle 9694  cneg 9881  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865   clgs 24301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-phi 14793  df-pc 14866  df-lgs 24302 This theorem is referenced by:  lgssq  24342  lgsdirnn0  24346  lgsquad2lem1  24365
 Copyright terms: Public domain W3C validator