Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lgsdilem2 24252
 Description: Lemma for lgsdi 24253. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1
lgsdilem2.2
lgsdilem2.3
lgsdilem2.4
lgsdilem2.5
lgsdilem2.6
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 9637 . . 3
3 lgsdilem2.2 . . . 4
4 lgsdilem2.4 . . . 4
5 nnabscl 13381 . . . 4
63, 4, 5syl2anc 666 . . 3
7 nnuz 11191 . . 3
86, 7syl6eleq 2538 . 2
96nnzd 11036 . . 3
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6
113, 10zmulcld 11043 . . . . 5
123zcnd 11038 . . . . . 6
1310zcnd 11038 . . . . . 6
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6
1512, 13, 4, 14mulne0d 10261 . . . . 5
16 nnabscl 13381 . . . . 5
1711, 15, 16syl2anc 666 . . . 4
1817nnzd 11036 . . 3
1912abscld 13491 . . . . 5
2013abscld 13491 . . . . 5
2112absge0d 13499 . . . . 5
22 nnabscl 13381 . . . . . . 7
2310, 14, 22syl2anc 666 . . . . . 6
2423nnge1d 10649 . . . . 5
2519, 20, 21, 24lemulge11d 10541 . . . 4
2612, 13absmuld 13509 . . . 4
2725, 26breqtrrd 4428 . . 3
28 eluz2 11162 . . 3
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1191 . 2
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7
3231lgsfcl3 24238 . . . . . 6
3330, 3, 4, 32syl3anc 1267 . . . . 5
34 elfznn 11825 . . . . 5
35 ffvelrn 6018 . . . . 5
3633, 34, 35syl2an 480 . . . 4
3736zcnd 11038 . . 3
38 mulcl 9620 . . . 4
408, 37, 39seqcl 12230 . 2
416peano2nnd 10623 . . . . 5
42 elfzuz 11793 . . . . 5
43 eluznn 11226 . . . . 5
4441, 42, 43syl2an 480 . . . 4
45 eleq1 2516 . . . . . 6
46 oveq2 6296 . . . . . . 7
47 oveq1 6295 . . . . . . 7
4846, 47oveq12d 6306 . . . . . 6
4945, 48ifbieq1d 3903 . . . . 5
50 ovex 6316 . . . . . 6
51 1ex 9635 . . . . . 6
5250, 51ifex 3948 . . . . 5
5349, 31, 52fvmpt 5946 . . . 4
5444, 53syl 17 . . 3
55 simpr 463 . . . . . . . . 9
563ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
57 zq 11267 . . . . . . . . . 10
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9
59 pcabs 14817 . . . . . . . . 9
6055, 58, 59syl2anc 666 . . . . . . . 8
61 elfzle1 11799 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
63 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . 14
64 zltp1le 10983 . . . . . . . . . . . . . 14
659, 63, 64syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13
6662, 65mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12
6719adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
6863adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14
6968zred 11037 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69ltnled 9779 . . . . . . . . . . . 12
7166, 70mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
7271adantr 467 . . . . . . . . . 10
73 prmz 14619 . . . . . . . . . . . 12
7473adantl 468 . . . . . . . . . . 11
754ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
7656, 75, 5syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
77 dvdsle 14343 . . . . . . . . . . 11
7874, 76, 77syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
7972, 78mtod 181 . . . . . . . . 9
80 pceq0 14813 . . . . . . . . . 10
8155, 76, 80syl2anc 666 . . . . . . . . 9
8279, 81mpbird 236 . . . . . . . 8
8360, 82eqtr3d 2486 . . . . . . 7
8483oveq2d 6304 . . . . . 6
8530ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
86 lgscl 24231 . . . . . . . . 9
8785, 74, 86syl2anc 666 . . . . . . . 8
8887zcnd 11038 . . . . . . 7
8988exp0d 12407 . . . . . 6
9084, 89eqtrd 2484 . . . . 5
9190ifeq1da 3910 . . . 4
92 ifid 3917 . . . 4
9391, 92syl6eq 2500 . . 3
9454, 93eqtrd 2484 . 2
952, 8, 29, 40, 94seqid2 12256 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  cif 3880   class class class wbr 4401   cmpt 4460  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541   clt 9672   cle 9673  cn 10606  cz 10934  cuz 11156  cq 11261  cfz 11781   cseq 12210  cexp 12269  cabs 13290   cdvds 14298  cprime 14615   cpc 14779   clgs 24215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-phi 14707  df-pc 14780  df-lgs 24216 This theorem is referenced by:  lgsdi  24253
 Copyright terms: Public domain W3C validator