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Theorem lgsdchr 22699
Description: The Legendre symbol function  X ( m )  =  ( m  /L N ), where  N is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo  N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
lgsdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
lgsdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
lgsdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
lgsdchr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
lgsdchr.x  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsdchr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Distinct variable groups:    y, B    h, m, y, L    h, N, m, y    y, X   
y, Z
Allowed substitution hints:    B( h, m)    D( y, h, m)    G( y, h, m)    X( h, m)    Z( h, m)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5410 . . . . . 6  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) )  e. 
_V )
3 lgsdchr.x . . . . . 6  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) ) )
5 nnnn0 10598 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN0 )
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Z
)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
107, 8, 9znzrhfo 17992 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  L : ZZ -onto-> B )
12 foelrn 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
1311, 12sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (DChr `  N )
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( Base `  G
)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 22698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  =  ( a  /L
N ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
18 nnz 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
20 lgscl 22661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  /L
N )  e.  ZZ )
2117, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  /L N )  e.  ZZ )
2221zred 10759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  /L N )  e.  RR )
2316, 22eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  e.  RR )
24 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  ( L `  a ) ) )
2524eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  e.  RR  <->  ( X `  ( L `  a
) )  e.  RR ) )
2623, 25syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2726rexlimdva 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2827imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
2913, 28syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
302, 4, 29fmpt2d 5885 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> RR )
31 ax-resscn 9351 . . . 4  |-  RR  C_  CC
32 fss 5579 . . . 4  |-  ( ( X : B --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  X : B --> CC )
3330, 31, 32sylancl 662 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> CC )
34 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
358, 34unitss 16764 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  C_  B
36 foelrn 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  y  e.  B
)  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3711, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3813, 37anim12dan 833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
39 reeanv 2900 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  <->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
4017adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
426adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
43 lgsdirnn0 22690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( a  x.  b
)  /L N )  =  ( ( a  /L N )  x.  ( b  /L N ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  b )  /L
N )  =  ( ( a  /L
N )  x.  (
b  /L N ) ) )
457zncrng 17989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
466, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  CRing )
47 crngrng 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  Ring )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Ring )
509zrhrhm 17955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
52 zringbas 17901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
53 zringmulr 17904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r ` ring )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
5552, 53, 54rhmmul 16829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Z )  /\  a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) )
5651, 40, 41, 55syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
5756fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) ) )
58 zmulcl 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 22698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  x.  b )  e.  ZZ )  ->  ( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6058, 59sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6157, 60eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6216adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  a )
)  =  ( a  /L N ) )
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 22698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  b ) )  =  ( b  /L
N ) )
6463adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  b )
)  =  ( b  /L N ) )
6562, 64oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( X `
 ( L `  b ) ) )  =  ( ( a  /L N )  x.  ( b  /L N ) ) )
6644, 61, 653eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
67 oveq12 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
6867fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( X `
 ( ( L `
 a ) ( .r `  Z ) ( L `  b
) ) ) )
69 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( L `  b )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  ( L `  b ) ) )
7024, 69oveqan12d 6122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
7168, 70eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) ) )
7266, 71syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
7372rexlimdvva 2860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
7439, 73syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
7574imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
7638, 75syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
7776ralrimivva 2820 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
78 ssralv 3428 . . . . . . 7  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
7978ralimdv 2807 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
80 ssralv 3428 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8179, 80syld 44 . . . . 5  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8235, 77, 81mpsyl 63 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
83 1z 10688 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
8414, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 22698 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L ` 
1 ) )  =  ( 1  /L
N ) )
8583, 84mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( 1  /L N ) )
86 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
879, 86zrh1 17956 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
8848, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Z ) )
8988fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
9018adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
91 1lgs 22688 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /L N )  =  1 )
9290, 91syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( 1  /L N )  =  1 )
9385, 89, 923eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
94 lgsne0 22684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
9517, 19, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  <->  (
a  gcd  N )  =  1 ) )
9695biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  -> 
( a  gcd  N
)  =  1 ) )
9716neeq1d 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  <->  ( a  /L N )  =/=  0 ) )
987, 34, 9znunit 18008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
996, 98sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
10096, 97, 993imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )
) )
10124neeq1d 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0 ) )
102 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) )
103101, 102imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
104100, 103syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
105104rexlimdva 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
106105imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
10713, 106syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) )
108107ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
10982, 93, 1083jca 1168 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
110 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
11114, 7, 8, 34, 110, 15dchrelbas3 22589 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z
) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11233, 109, 111mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  e.  D
)
113112, 30jca 532 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   iotacio 5391   -->wf 5426   -onto->wfo 5428   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658    || cdivides 13547    gcd cgcd 13702   Basecbs 14186   .rcmulr 14251   1rcur 16615   Ringcrg 16657   CRingccrg 16658  Unitcui 16743   RingHom crh 16816  ℤringzring 17895   ZRHomczrh 17943  ℤ/nczn 17946  DChrcdchr 22583    /Lclgs 22645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-ec 7115  df-qs 7119  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-phi 13853  df-pc 13916  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-0g 14392  df-imas 14458  df-divs 14459  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-nsg 15691  df-eqg 15692  df-ghm 15757  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-rnghom 16818  df-subrg 16875  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-lidl 17267  df-rsp 17268  df-2idl 17326  df-cnfld 17831  df-zring 17896  df-zrh 17947  df-zn 17950  df-dchr 22584  df-lgs 22646
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