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Theorem lgsdchr 24288
Description: The Legendre symbol function  X ( m )  =  ( m  /L N ), where  N is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo  N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
lgsdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
lgsdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
lgsdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
lgsdchr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
lgsdchr.x  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsdchr  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Distinct variable groups:    y, B    h, m, y, L    h, N, m, y    y, X   
y, Z
Allowed substitution hints:    B( h, m)    D( y, h, m)    G( y, h, m)    X( h, m)    Z( h, m)

Proof of Theorem lgsdchr
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5566 . . . . . 6  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) )  e. 
_V )
3 lgsdchr.x . . . . . 6  |-  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
y  =  ( L `
 m )  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  =  ( y  e.  B  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( y  =  ( L `  m
)  /\  h  =  ( m  /L N ) ) ) ) )
5 nnnn0 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
65adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN0 )
7 lgsdchr.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 lgsdchr.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Z
)
9 lgsdchr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
107, 8, 9znzrhfo 19130 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> B )
116, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  L : ZZ -onto-> B )
12 foelrn 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
1311, 12sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )
14 lgsdchr.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  (DChr `  N )
15 lgsdchr.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( Base `  G
)
1614, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  =  ( a  /L
N ) )
17 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
18 nnz 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1918ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
20 lgscl 24250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  /L
N )  e.  ZZ )
2117, 19, 20syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  /L N )  e.  ZZ )
2221zred 11047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  /L N )  e.  RR )
2316, 22eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  a ) )  e.  RR )
24 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  ( L `  a ) ) )
2524eleq1d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  e.  RR  <->  ( X `  ( L `  a
) )  e.  RR ) )
2623, 25syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2726rexlimdva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( X `  x )  e.  RR ) )
2827imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
2913, 28syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
302, 4, 29fmpt2d 6058 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> RR )
31 ax-resscn 9601 . . . 4  |-  RR  C_  CC
32 fss 5742 . . . 4  |-  ( ( X : B --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  X : B --> CC )
3330, 31, 32sylancl 669 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X : B --> CC )
34 eqid 2453 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
358, 34unitss 17900 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  C_  B
36 foelrn 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L : ZZ -onto-> B  /\  y  e.  B
)  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3711, 36sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  y  e.  B )  ->  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )
3813, 37anim12dan 849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
39 reeanv 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  <->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )
4017adantrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
a  e.  ZZ )
41 simprr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
b  e.  ZZ )
426adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
43 lgsdirnn0 24279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( a  x.  b
)  /L N )  =  ( ( a  /L N )  x.  ( b  /L N ) ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  x.  b )  /L
N )  =  ( ( a  /L
N )  x.  (
b  /L N ) ) )
457zncrng 19127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
466, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  CRing )
47 crngring 17803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  Z  e.  Ring )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Ring )
509zrhrhm 19095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
52 zringbas 19057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
53 zringmulr 19060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r ` ring )
54 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
5552, 53, 54rhmmul 17967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Z )  /\  a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) )
5651, 40, 41, 55syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
a  x.  b ) )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
5756fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  a ) ( .r
`  Z ) ( L `  b ) ) ) )
58 zmulcl 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  x.  b
)  e.  ZZ )
5914, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  x.  b )  e.  ZZ )  ->  ( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6058, 59sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( a  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6157, 60eqtr3d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( a  x.  b )  /L N ) )
6216adantrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  a )
)  =  ( a  /L N ) )
6314, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L `  b ) )  =  ( b  /L
N ) )
6463adantrl 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  b )
)  =  ( b  /L N ) )
6562, 64oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( X `
 ( L `  b ) ) )  =  ( ( a  /L N )  x.  ( b  /L N ) ) )
6644, 61, 653eqtr4d 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
67 oveq12 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  =  ( ( L `  a ) ( .r `  Z
) ( L `  b ) ) )
6867fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( X `
 ( ( L `
 a ) ( .r `  Z ) ( L `  b
) ) ) )
69 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( L `  b )  ->  ( X `  y )  =  ( X `  ( L `  b ) ) )
7024, 69oveqan12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) )
7168, 70eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( L `
 a )  /\  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( X `  (
( L `  a
) ( .r `  Z ) ( L `
 b ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( X `  ( L `  b ) ) ) ) )
7266, 71syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
7372rexlimdvva 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( x  =  ( L `  a
)  /\  y  =  ( L `  b ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
7439, 73syl5bir 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
7574imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  /\  E. b  e.  ZZ  y  =  ( L `  b ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
7638, 75syldan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
7776ralrimivva 2811 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
78 ssralv 3495 . . . . . . 7  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
7978ralimdv 2800 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
) ) )
80 ssralv 3495 . . . . . 6  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8179, 80syld 45 . . . . 5  |-  ( (Unit `  Z )  C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8235, 77, 81mpsyl 65 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
83 1z 10974 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
8414, 7, 15, 8, 9, 3lgsdchrval 24287 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( X `
 ( L ` 
1 ) )  =  ( 1  /L
N ) )
8583, 84mpan2 678 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( 1  /L N ) )
86 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
879, 86zrh1 19096 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
8848, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Z ) )
8988fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( L `  1 ) )  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
9018adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
91 1lgs 24277 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  /L N )  =  1 )
9290, 91syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( 1  /L N )  =  1 )
9385, 89, 923eqtr3d 2495 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
94 lgsne0 24273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
9517, 19, 94syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  <->  (
a  gcd  N )  =  1 ) )
9695biimpd 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  /L N )  =/=  0  -> 
( a  gcd  N
)  =  1 ) )
9716neeq1d 2685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  <->  ( a  /L N )  =/=  0 ) )
987, 34, 9znunit 19146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( a  gcd  N )  =  1 ) )
996, 98sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  a )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( a  gcd 
N )  =  1 ) )
10096, 97, 993imtr4d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z )
) )
10124neeq1d 2685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0 ) )
102 eleq1 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) )
103101, 102imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( ( X `  ( L `  a ) )  =/=  0  ->  ( L `  a )  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
104100, 103syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( x  =  ( L `  a )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
105104rexlimdva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
106105imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  E. a  e.  ZZ  x  =  ( L `  a ) )  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
10713, 106syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) )
108107ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
10982, 93, 1083jca 1189 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  /\  ( X `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
110 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
11114, 7, 8, 34, 110, 15dchrelbas3 24178 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z
) A. y  e.  (Unit `  Z )
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11233, 109, 111mpbir2and 934 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  X  e.  D
)
113112, 30jca 535 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( X  e.  D  /\  X : B
--> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   iotacio 5547   -->wf 5581   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944    || cdvds 14317    gcd cgcd 14480   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   1rcur 17747   Ringcrg 17792   CRingccrg 17793  Unitcui 17879   RingHom crh 17952  ℤringzring 19051   ZRHomczrh 19083  ℤ/nczn 19086  DChrcdchr 24172    /Lclgs 24234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-gcd 14481  df-prm 14635  df-phi 14726  df-pc 14799  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-imas 15419  df-qus 15421  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-nsg 16827  df-eqg 16828  df-ghm 16893  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-rnghom 17955  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-lidl 18409  df-rsp 18410  df-2idl 18468  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-zn 19090  df-dchr 24173  df-lgs 24235
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