MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Structured version   Unicode version

Theorem lgscllem 22617
Description: The Legendre symbol is an element of  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
lgsfcl2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgscllem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  Z
)
Distinct variable groups:    x, n, A    x, F    n, N, x    n, Z
Allowed substitution hints:    F( n)    Z( x)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
21lgsval 22614 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
43lgslem2 22611 . . . . . 6  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
54simp3i 999 . . . . 5  |-  1  e.  Z
64simp2i 998 . . . . 5  |-  0  e.  Z
75, 6keepel 3852 . . . 4  |-  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z )
94simp1i 997 . . . . 5  |-  -u 1  e.  Z
109, 5keepel 3852 . . . 4  |-  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  e.  Z
11 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -.  N  =  0 )
1312neneqad 2676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
14 nnabscl 12805 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
1511, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
16 nnuz 10888 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 df-ne 2603 . . . . . . 7  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
191, 3lgsfcl2 22616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> Z )
20193expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  F : NN
--> Z )
2118, 20sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  F : NN --> Z )
22 elfznn 11470 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( abs `  N
) )  ->  y  e.  NN )
23 ffvelrn 5836 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Z )
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  y  e.  ( 1 ... ( abs `  N ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  Z
)
253lgslem3 22612 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  x.  z
)  e.  Z )
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( y  x.  z
)  e.  Z )
2717, 24, 26seqcl 11818 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )
283lgslem3 22612 . . . 4  |-  ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  Z  /\  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
2910, 27, 28sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
308, 29ifclda 3816 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )  e.  Z )
312, 30eqeltrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   {crab 2714   ifcif 3786   {cpr 3874   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   7c7 10368   8c8 10369   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429    mod cmo 11700    seqcseq 11798   ^cexp 11857   abscabs 12715    || cdivides 13527   Primecprime 13755    pCnt cpc 13895    /Lclgs 22608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-phi 13833  df-pc 13896  df-lgs 22609
This theorem is referenced by:  lgscl2  22622
  Copyright terms: Public domain W3C validator