MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgscllem Unicode version

Theorem lgscllem 21040
Description: The Legendre symbol is an element of  Z. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
lgsfcl2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgscllem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  Z
)
Distinct variable groups:    x, n, A    x, F    n, N, x    n, Z
Allowed substitution hints:    F( n)    Z( x)

Proof of Theorem lgscllem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsval.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
21lgsval 21037 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
3 lgsfcl2.z . . . . . . 7  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
43lgslem2 21034 . . . . . 6  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
54simp3i 968 . . . . 5  |-  1  e.  Z
64simp2i 967 . . . . 5  |-  0  e.  Z
75, 6keepel 3756 . . . 4  |-  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  e.  Z )
94simp1i 966 . . . . 5  |-  -u 1  e.  Z
109, 5keepel 3756 . . . 4  |-  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  e.  Z
11 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  -.  N  =  0 )
1312neneqad 2637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
14 nnabscl 12084 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
1511, 13, 14syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
16 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 df-ne 2569 . . . . . . 7  |-  ( N  =/=  0  <->  -.  N  =  0 )
191, 3lgsfcl2 21039 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> Z )
20193expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  F : NN
--> Z )
2118, 20sylan2br 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  F : NN --> Z )
22 elfznn 11036 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( abs `  N
) )  ->  y  e.  NN )
23 ffvelrn 5827 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( F `  y
)  e.  Z )
2421, 22, 23syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  y  e.  ( 1 ... ( abs `  N ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  Z
)
253lgslem3 21035 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  x.  z
)  e.  Z )
2625adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  /\  ( y  e.  Z  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( y  x.  z
)  e.  Z )
2717, 24, 26seqcl 11298 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )
283lgslem3 21035 . . . 4  |-  ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  Z  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) )  e.  Z )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
2910, 27, 28sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  =  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) )  e.  Z )
308, 29ifclda 3726 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )  e.  Z )
312, 30eqeltrd 2478 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  Z
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   ifcif 3699   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   7c7 10010   8c8 10011   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    mod cmo 11205    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165    / Lclgs 21031
This theorem is referenced by:  lgscl2  21045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-phi 13110  df-pc 13166  df-lgs 21032
  Copyright terms: Public domain W3C validator