MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsabs1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsabs1 22801
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to  1 or  -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsabs1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem lgsabs1
StepHypRef Expression
1 lgscl 22777 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
21zcnd 10854 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  CC )
32abscld 13035 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  RR )
4 1re 9491 . . 3  |-  1  e.  RR
5 letri3 9566 . . 3  |-  ( ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  (
( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
7 lgsle1 22778 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1 )
87biantrurd 508 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) )  <-> 
( ( abs `  ( A  /L N ) )  <_  1  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) ) )
9 nnne0 10460 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0 )
10 nn0abscl 12914 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /L N )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0 )
111, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0 )
12 elnn0 10687 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0 ) )
1311, 12sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  \/  ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0 ) )
1413ord 377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( abs `  ( A  /L
N ) )  e.  NN  ->  ( abs `  ( A  /L
N ) )  =  0 ) )
1514necon1ad 2665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  -> 
( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN ) )
169, 15impbid2 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  ( abs `  ( A  /L
N ) )  =/=  0 ) )
17 elnnnn0c 10731 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  /\  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
1817baib 896 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
1911, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  e.  NN  <->  1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) ) ) )
20 abs00 12891 . . . . . 6  |-  ( ( A  /L N )  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  0  <->  ( A  /L N )  =  0 ) )
2120necon3bid 2707 . . . . 5  |-  ( ( A  /L N )  e.  CC  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
222, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
23 lgsne0 22800 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2422, 23bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
2516, 19, 243bitr3d 283 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  ( abs `  ( A  /L N ) )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
266, 8, 253bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  /L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    <_ cle 9525   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   abscabs 12836    gcd cgcd 13803    /Lclgs 22761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-prm 13877  df-phi 13954  df-pc 14017  df-lgs 22762
This theorem is referenced by:  lgssq  22802  lgssq2  22803  lgsquad3  22828
  Copyright terms: Public domain W3C validator