Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgamucov2 Structured version   Unicode version

Theorem lgamucov2 28413
Description: The  U regions used in the proof of lgamgulm 28409 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamucov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamucov2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  U )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    ph, k, r, x
Allowed substitution hints:    U( x, k, r)

Proof of Theorem lgamucov2
StepHypRef Expression
1 lgamucov.u . . 3  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
2 lgamucov.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3lgamucov 28412 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  U
) )
53cnfldtop 21157 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
6 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  C_  CC
71, 6eqsstri 3539 . . . . 5  |-  U  C_  CC
83cnfldtopon 21156 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
98toponunii 19300 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
109ntrss2 19424 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  U  C_  CC )  ->  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  U
)  C_  U )
115, 7, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  U )  C_  U
1211sseli 3505 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( int `  ( TopOpen ` fld ) ) `  U
)  ->  A  e.  U )
1312reximi 2935 . 2  |-  ( E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  U
)  ->  E. r  e.  NN  A  e.  U
)
144, 13syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641    / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   abscabs 13046   TopOpenctopn 14693  ℂfldccnfld 18288   Topctop 19261   intcnt 19384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-fz 11685  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-rest 14694  df-topn 14695  df-topgen 14715  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-xms 20689  df-ms 20690
This theorem is referenced by:  lgamcvglem  28414
  Copyright terms: Public domain W3C validator