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Theorem lgamucov 27024
Description: The  U regions used in the proof of lgamgulm 27021 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamucov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
lgamucov.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
lgamucov  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    ph, k, r, x
Allowed substitution hints:    U( x, k, r)    J( x, k, r)

Proof of Theorem lgamucov
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 20352 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
3 difss 3483 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  NN )  C_  ZZ
4 lgamucov.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54sszcld 20394 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN ) 
C_  ZZ  ->  ( ZZ 
\  NN )  e.  ( Clsd `  J
) )
64cnfldtopon 20362 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
76toponunii 18537 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
87cldopn 18635 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J
)
93, 5, 8mp2b 10 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J )
11 lgamucov.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
124cnfldtopn 20361 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1312mopni2 20068 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J  /\  A  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
142, 10, 11, 13syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1511eldifad 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
1716abscld 12922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
18 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
1918rpred 11027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
2017, 19readdcld 9413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  +  a )  e.  RR )
21 2re 10391 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
2322, 18rerpdivcld 11054 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( 2  / 
a )  e.  RR )
2420, 23readdcld 9413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  e.  RR )
25 arch 10576 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) )  e.  RR  ->  E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
274cnfldtop 20363 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  J  e.  Top )
29 lgamucov.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
30 ssrab2 3437 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  C_  CC
3129, 30eqsstri 3386 . . . . . . . 8  |-  U  C_  CC
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  U  C_  CC )
331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
3416ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  CC )
3518ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  a  e.  RR+ )
3635rphalfcld 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( a  /  2 )  e.  RR+ )
3736rpxrd 11028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( a  /  2 )  e. 
RR* )
3812blopn 20075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  e.  J
)
3933, 34, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  e.  J )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
4140abscld 12922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
42 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
r  e.  NN )
4342nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
r  e.  RR )
4424ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  e.  RR )
4520ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  e.  RR )
4617ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
4741, 46resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  e.  RR )
4819ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
a  e.  RR )
4948rehalfcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR )
5034ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  A  e.  CC )
5140, 50subcld 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  CC )
5251abscld 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  e.  RR )
5340, 50abs2difd 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
x  -  A ) ) )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5554cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( A  -  x
) ) )
5650, 40, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( A  -  x
) ) )
5750, 40abssubd 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
5856, 57eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) )
6058, 59eqbrtrrd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( a  /  2 ) )
6147, 52, 49, 53, 60lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  < 
( a  /  2
) )
6235ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
a  e.  RR+ )
63 rphalflt 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  RR+  ->  ( a  /  2 )  < 
a )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( a  /  2
)  <  a )
6547, 49, 48, 61, 64lttrd 9532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  < 
a )
6641, 46, 48ltsubadd2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  -  ( abs `  A ) )  <  a  <->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  A
)  +  a ) ) )
6765, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( ( abs `  A )  +  a ) )
68 2rp 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
2  e.  RR+ )
7069, 62rpdivcld 11044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR+ )
7145, 70ltaddrpd 11056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  <  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) ) )
7241, 45, 44, 67, 71lttrd 9532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) ) )
73 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
7441, 44, 43, 72, 73lttrd 9532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
7541, 43, 74ltled 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
7642adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  NN )
7776nnrecred 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  e.  RR )
78 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
79 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
8178, 80addcld 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x  +  k )  e.  CC )
8281abscld 12922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x  +  k ) )  e.  RR )
8349adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR )
8423ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR )
8544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  e.  RR )
8643adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  RR )
8750adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
8811ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
8988dmgmn0 27012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =/=  0 )
9087, 89absrpcld 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
9162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  RR+ )
9290, 91rpaddcld 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  e.  RR+ )
9384, 92ltaddrp2d 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) ) )
94 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
9584, 85, 86, 93, 94lttrd 9532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  <  r )
9670adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR+ )
9776nnrpd 11026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  RR+ )
9896, 97ltrecd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
a )  <  r  <->  ( 1  /  r )  <  ( 1  / 
( 2  /  a
) ) ) )
9995, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( 1  /  ( 2  / 
a ) ) )
100 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
10191rpcnd 11029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  CC )
102 2ne0 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
2  =/=  0 )
10491rpne0d 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  =/=  0 )
105100, 101, 103, 104recdivd 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
2  /  a ) )  =  ( a  /  2 ) )
10699, 105breqtrd 4316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( a  /  2 ) )
107 eldmgm 27008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  <->  ( -u k  e.  CC  /\  -.  -u -u k  e.  NN0 ) )
108107simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  ->  -.  -u -u k  e.  NN0 )
10980negnegd 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u -u k  =  k
)
110109, 79eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u -u k  e.  NN0 )
111108, 110nsyl3 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
1121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
11337ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR* )
11480negcld 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u k  e.  CC )
115 elbl2 19965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( a  / 
2 )  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  -u k  e.  CC ) )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( x
( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 ) ) )
116112, 113, 78, 114, 115syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( x
( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 ) ) )
11754cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u k  e.  CC )  ->  ( x ( abs  o.  -  ) -u k )  =  ( abs `  ( x  -  -u k ) ) )
11878, 114, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) -u k
)  =  ( abs `  ( x  -  -u k
) ) )
11978, 80subnegd 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x  -  -u k
)  =  ( x  +  k ) )
120119fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x  -  -u k
) )  =  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
121118, 120eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) -u k
)  =  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
122121breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( x ( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 )  <-> 
( abs `  (
x  +  k ) )  <  ( a  /  2 ) ) )
12382, 83ltnled 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  (
x  +  k ) )  <  ( a  /  2 )  <->  -.  (
a  /  2 )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
124116, 122, 1233bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  -.  (
a  /  2 )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
12548adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  RR )
126 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) )
127 elbl3 19967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( a  / 
2 )  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )  -> 
( A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( A
( abs  o.  -  )
x )  <  (
a  /  2 ) ) )
128112, 113, 78, 87, 127syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( A
( abs  o.  -  )
x )  <  (
a  /  2 ) ) )
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) ) )
130 blhalf 19980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  CC )  /\  ( a  e.  RR  /\  A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) )
131112, 78, 125, 129, 130syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) 
C_  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a ) )
132 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
133132ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
134131, 133sstrd 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
135134sseld 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  ->  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
136124, 135sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( a  /  2 )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
137111, 136mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
13877, 83, 82, 106, 137ltletrd 9531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
13977, 82, 138ltled 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
140139ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
14175, 140jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  r )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
142141ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 )  ->  (
( abs `  x
)  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  r )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) ) )
143142ss2rabdv 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  { x  e.  CC  |  ( A ( abs  o.  -  ) x )  < 
( a  /  2
) }  C_  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) } )
144 blval 19961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  =  {
x  e.  CC  | 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) } )
14533, 34, 37, 144syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  =  { x  e.  CC  |  ( A ( abs  o.  -  ) x )  < 
( a  /  2
) } )
14629a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } )
147143, 145, 1463sstr4d 3399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  C_  U )
1487ssntr 18662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  CC )  /\  ( ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  e.  J  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  U
) )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  (
( int `  J
) `  U )
)
14928, 32, 39, 147, 148syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  C_  ( ( int `  J ) `  U ) )
150 blcntr 19988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) )
15133, 34, 36, 150syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) ) )
152149, 151sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  U )
)
153152ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) )  < 
r  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  U )
) )
154153reximdva 2828 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) ) )
15526, 154mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
15614, 155rexlimddv 2845 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    \ cdif 3325    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   RR+crp 10991   abscabs 12723   TopOpenctopn 14360   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803  ℂfldccnfld 17818   Topctop 18498   Clsdccld 18620   intcnt 18621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-fz 11438  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-xms 19895  df-ms 19896
This theorem is referenced by:  lgamucov2  27025
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