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Theorem lgamucov 28769
Description: The  U regions used in the proof of lgamgulm 28766 have interiors which cover the entire domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamucov.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamucov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
lgamucov.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
lgamucov  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    ph, k, r, x
Allowed substitution hints:    U( x, k, r)    J( x, k, r)

Proof of Theorem lgamucov
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnxmet 21365 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
3 difss 3545 . . . . 5  |-  ( ZZ 
\  NN )  C_  ZZ
4 lgamucov.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54sszcld 21407 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN ) 
C_  ZZ  ->  ( ZZ 
\  NN )  e.  ( Clsd `  J
) )
64cnfldtopon 21375 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
76toponunii 19518 . . . . . 6  |-  CC  =  U. J
87cldopn 19617 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  \  NN )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J
)
93, 5, 8mp2b 10 . . . 4  |-  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J )
11 lgamucov.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
124cnfldtopn 21374 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1312mopni2 21081 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  e.  J  /\  A  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )  ->  E. a  e.  RR+  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
142, 10, 11, 13syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1511eldifad 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
1716abscld 13269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
18 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
1918rpred 11177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
2017, 19readdcld 9534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  +  a )  e.  RR )
21 2re 10522 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
2322, 18rerpdivcld 11204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( 2  / 
a )  e.  RR )
2420, 23readdcld 9534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  e.  RR )
25 arch 10709 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) )  e.  RR  ->  E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
274cnfldtop 21376 . . . . . . . 8  |-  J  e. 
Top
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  J  e.  Top )
29 lgamucov.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
30 ssrab2 3499 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  C_  CC
3129, 30eqsstri 3447 . . . . . . . 8  |-  U  C_  CC
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  U  C_  CC )
331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
3416ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  CC )
3518ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  a  e.  RR+ )
3635rphalfcld 11189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( a  /  2 )  e.  RR+ )
3736rpxrd 11178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( a  /  2 )  e. 
RR* )
3812blopn 21088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  e.  J
)
3933, 34, 37, 38syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  e.  J )
40 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
4140abscld 13269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
42 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
r  e.  NN )
4342nnred 10467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
r  e.  RR )
4424ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  e.  RR )
4520ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  e.  RR )
4617ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
4741, 46resubcld 9905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  e.  RR )
4819ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
a  e.  RR )
4948rehalfcld 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR )
5034ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  A  e.  CC )
5140, 50subcld 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  CC )
5251abscld 13269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  e.  RR )
5340, 50abs2difd 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  <_ 
( abs `  (
x  -  A ) ) )
54 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5554cnmetdval 21363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( A  -  x
) ) )
5650, 40, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( A  -  x
) ) )
5750, 40abssubd 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  ( A  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
5856, 57eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  A
) ) )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) )
6058, 59eqbrtrrd 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( a  /  2 ) )
6147, 52, 49, 53, 60lelttrd 9651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  < 
( a  /  2
) )
6235ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
a  e.  RR+ )
63 rphalflt 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  RR+  ->  ( a  /  2 )  < 
a )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( a  /  2
)  <  a )
6547, 49, 48, 61, 64lttrd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  -  ( abs `  A ) )  < 
a )
6641, 46, 48ltsubadd2d 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  x )  -  ( abs `  A ) )  <  a  <->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  A
)  +  a ) ) )
6765, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( ( abs `  A )  +  a ) )
68 2rp 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
2  e.  RR+ )
7069, 62rpdivcld 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR+ )
7145, 70ltaddrpd 11206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  <  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) ) )
7241, 45, 44, 67, 71lttrd 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) ) )
73 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
7441, 44, 43, 72, 73lttrd 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
7541, 43, 74ltled 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
7642adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  NN )
7776nnrecred 10498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  e.  RR )
78 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
79 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
8178, 80addcld 9526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x  +  k )  e.  CC )
8281abscld 13269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x  +  k ) )  e.  RR )
8349adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR )
8423ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR )
8544adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  e.  RR )
8643adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  RR )
8750adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
8811ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
8988dmgmn0 28757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  =/=  0 )
9087, 89absrpcld 13281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
9162adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  RR+ )
9290, 91rpaddcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
)  +  a )  e.  RR+ )
9384, 92ltaddrp2d 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  <  ( (
( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) ) )
94 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a ) )  <  r )
9584, 85, 86, 93, 94lttrd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  <  r )
9670adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2  /  a
)  e.  RR+ )
9776nnrpd 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
r  e.  RR+ )
9896, 97ltrecd 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  / 
a )  <  r  <->  ( 1  /  r )  <  ( 1  / 
( 2  /  a
) ) ) )
9995, 98mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( 1  /  ( 2  / 
a ) ) )
100 2cnd 10525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
10191rpcnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  CC )
102 2ne0 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
2  =/=  0 )
10491rpne0d 11182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  =/=  0 )
105100, 101, 103, 104recdivd 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  (
2  /  a ) )  =  ( a  /  2 ) )
10699, 105breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( a  /  2 ) )
107 eldmgm 28753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  <->  ( -u k  e.  CC  /\  -.  -u -u k  e.  NN0 ) )
108107simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) )  ->  -.  -u -u k  e.  NN0 )
10980negnegd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u -u k  =  k
)
110109, 79eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u -u k  e.  NN0 )
111108, 110nsyl3 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ 
\  NN ) ) )
1121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
11337ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  e.  RR* )
11480negcld 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  -u k  e.  CC )
115 elbl2 20978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( a  / 
2 )  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  -u k  e.  CC ) )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( x
( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 ) ) )
116112, 113, 78, 114, 115syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( x
( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 ) ) )
11754cnmetdval 21363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u k  e.  CC )  ->  ( x ( abs  o.  -  ) -u k )  =  ( abs `  ( x  -  -u k ) ) )
11878, 114, 117syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) -u k
)  =  ( abs `  ( x  -  -u k
) ) )
11978, 80subnegd 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x  -  -u k
)  =  ( x  +  k ) )
120119fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x  -  -u k
) )  =  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
121118, 120eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) -u k
)  =  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
122121breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( x ( abs  o.  -  ) -u k )  <  (
a  /  2 )  <-> 
( abs `  (
x  +  k ) )  <  ( a  /  2 ) ) )
12382, 83ltnled 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  (
x  +  k ) )  <  ( a  /  2 )  <->  -.  (
a  /  2 )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
124116, 122, 1233bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  -.  (
a  /  2 )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
12548adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
a  e.  RR )
126 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) )
127 elbl3 20980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( a  / 
2 )  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )  -> 
( A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( A
( abs  o.  -  )
x )  <  (
a  /  2 ) ) )
128112, 113, 78, 87, 127syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  <->  ( A
( abs  o.  -  )
x )  <  (
a  /  2 ) ) )
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) ) )
130 blhalf 20993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  CC )  /\  ( a  e.  RR  /\  A  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) ) )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) )
131112, 78, 125, 129, 130syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) 
C_  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a ) )
132 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
133132ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
134131, 133sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
135134sseld 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -u k  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  ->  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
136124, 135sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( a  /  2 )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) )  ->  -u k  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )
137111, 136mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( a  /  2
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
13877, 83, 82, 106, 137ltletrd 9653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
13977, 82, 138ltled 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
140139ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) )
14175, 140jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  /\  ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  r )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) )
142141ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A ( abs  o.  -  ) x )  <  ( a  / 
2 )  ->  (
( abs `  x
)  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  r )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) ) ) )
143142ss2rabdv 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  { x  e.  CC  |  ( A ( abs  o.  -  ) x )  < 
( a  /  2
) }  C_  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) } )
144 blval 20974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR* )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  =  {
x  e.  CC  | 
( A ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( a  /  2 ) } )
14533, 34, 37, 144syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  =  { x  e.  CC  |  ( A ( abs  o.  -  ) x )  < 
( a  /  2
) } )
14629a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  r  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  r
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) } )
147143, 145, 1463sstr4d 3460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  C_  U )
1487ssntr 19644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  U  C_  CC )  /\  ( ( A (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  e.  J  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  U
) )  ->  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) )  C_  (
( int `  J
) `  U )
)
14928, 32, 39, 147, 148syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  ( A
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( a  /  2 ) )  C_  ( ( int `  J ) `  U ) )
150 blcntr 21001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  A  e.  CC  /\  (
a  /  2 )  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2 ) ) )
15133, 34, 36, 150syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( a  /  2
) ) )
152149, 151sseldd 3418 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a ) 
C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  /\  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r
)  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  U )
)
153152ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  /\  r  e.  NN )  ->  ( ( ( ( abs `  A
)  +  a )  +  ( 2  / 
a ) )  < 
r  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  U )
) )
154153reximdva 2857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  ( E. r  e.  NN  ( ( ( abs `  A )  +  a )  +  ( 2  /  a
) )  <  r  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) ) )
15526, 154mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  ( A ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) a )  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) ) )  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
15614, 155rexlimddv 2878 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  NN  A  e.  ( ( int `  J ) `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    \ cdif 3386    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    o. ccom 4917   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   RR+crp 11139   abscabs 13069   TopOpenctopn 14829   *Metcxmt 18516   ballcbl 18518  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479   Clsdccld 19602   intcnt 19603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-fz 11594  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-xms 20908  df-ms 20909
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