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Theorem lgamgulmlem6 28202
Description: The series  G is uniformly convergent on the compact region  U, which describes a circle of radius  R with holes of size  1  /  R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    O, r    ph, m, r, x, z    T, r
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)    O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11106 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10883 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
5 cnex 9562 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
65rabex 4591 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
74, 6eqeltri 2544 . . . 4  |-  U  e. 
_V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
9 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
109, 4lgamgulmlem1 28197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
1311, 12sseldd 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1413eldifad 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 10542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1716nnrpd 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1815nnrpd 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  RR+ )
1917, 18rpdivcld 11262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
2019relogcld 22729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
2120recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
2214, 21mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  CC )
2315nncnd 10541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  CC )
2415nnne0d 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  =/=  0 )
2514, 23, 24divcld 10309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  /  m )  e.  CC )
26 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  e.  CC )
2913, 15dmgmdivn0 28196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =/=  0 )
3028, 29logcld 22679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  e.  CC )
3122, 30subcld 9919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
32 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
3331, 32fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
345, 7elmap 7437 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U
)  <->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
3533, 34sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U ) )
36 lgamgulm.g . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
3735, 36fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( CC 
^m  U ) )
38 lgamgulm.t . . . . 5  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
39 nnex 10531 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4039mptex 6122 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  e. 
_V
4138, 40eqeltri 2544 . . . 4  |-  T  e. 
_V
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
439adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
4443nnred 10540 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
45 2re 10594 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
47 1re 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
4944, 48readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
5046, 49remulcld 9613 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
51 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5251nnsqcld 12285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ 2 )  e.  NN )
5350, 52nndivred 10573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) )  e.  RR )
5444, 53remulcld 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5551peano2nnd 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
5655nnrpd 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
5751nnrpd 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5856, 57rpdivcld 11262 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
5958relogcld 22729 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) )  e.  RR )
6044, 59remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  e.  RR )
6143peano2nnd 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 57rpmulcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  m )  e.  RR+ )
6463relogcld 22729 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  e.  RR )
65 pire 22578 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
6764, 66readdcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  e.  RR )
6860, 67readdcld 9612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )
69 ifcl 3974 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7054, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7170, 38fmptd 6036 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> RR )
7271ffvelrnda 6012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
739, 4, 36, 38lgamgulmlem5 28201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
749, 4, 36, 38lgamgulmlem4 28200 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
751, 3, 8, 37, 42, 72, 73, 74mtest 22526 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
762a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  1  e.  ZZ )
777a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  U  e.  _V )
7837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  G : NN
--> ( CC  ^m  U
) )
7941a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  T  e.  _V )
8072adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
8173adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
8274adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )
841, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mtestbdd 22527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
)
85 nfcv 2622 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
86 nffvmpt1 5865 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( z  e.  U  |->  O ) `  y )
8785, 86nffv 5864 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )
88 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
89 nfcv 2622 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
r
9087, 88, 89nfbr 4484 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
91 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ y ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r
92 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )
9392fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  =  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) ) )
9493breq1d 4450 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_  r )
)
9590, 91, 94cbvral 3077 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_ 
r )
96 ulmcl 22503 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O )  -> 
( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
98 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U  |->  O )  =  ( z  e.  U  |->  O )
9998fmpt 6033 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  <->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
10097, 99sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  A. z  e.  U  O  e.  CC )
10198fvmpt2 5948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z )  =  O )
102101fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  =  ( abs `  O ) )
103102breq1d 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r ) )
104103ralimiaa 2849 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  ->  A. z  e.  U  ( ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r
) )
105 ralbi 2986 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r )  -> 
( A. z  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
106100, 104, 1053syl 20 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
10795, 106syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
108107rexbidv 2966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  y ) )  <_ 
r  <->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10984, 108mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O
)  <_  r )
110109ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
11175, 110jca 532 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    ^m cmap 7410   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853    seqcseq 12063   ^cexp 12122   abscabs 13017    ~~> cli 13256   picpi 13653   ~~> uculm 22498   logclog 22663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-tan 13658  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-ulm 22499  df-log 22665  df-cxp 22666
This theorem is referenced by:  lgamgulm  28203  lgambdd  28205
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