MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Unicode version

Theorem lgamgulmlem6 23691
Description: The series  G is uniformly convergent on the compact region  U, which describes a circle of radius  R with holes of size  1  /  R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    O, r    ph, m, r, x, z    T, r
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)    O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11164 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10938 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
4 cnex 9605 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
53, 4rabex2 4549 . . . 4  |-  U  e. 
_V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
87, 3lgamgulmlem1 23686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
98ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
10 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
119, 10sseldd 3445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1211eldifad 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
13 simplr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  NN )
1413peano2nnd 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1514nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1613nnrpd 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  RR+ )
1715, 16rpdivcld 11323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
1817relogcld 23304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
1918recnd 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
2012, 19mulcld 9648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  CC )
2113nncnd 10594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  CC )
2213nnne0d 10623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  =/=  0 )
2312, 21, 22divcld 10363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  /  m )  e.  CC )
24 1cnd 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  CC )
2523, 24addcld 9647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  e.  CC )
2611, 13dmgmdivn0 23685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =/=  0 )
2725, 26logcld 23252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  e.  CC )
2820, 27subcld 9969 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
29 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
3028, 29fmptd 6035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
314, 5elmap 7487 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U
)  <->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
3230, 31sylibr 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U ) )
33 lgamgulm.g . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
3432, 33fmptd 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( CC 
^m  U ) )
35 lgamgulm.t . . . . 5  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
36 nnex 10584 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
3736mptex 6126 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  e. 
_V
3835, 37eqeltri 2488 . . . 4  |-  T  e. 
_V
3938a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
407adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
4140nnred 10593 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
42 2re 10648 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
44 1red 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
4541, 44readdcld 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
4643, 45remulcld 9656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
47 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847nnsqcld 12376 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ 2 )  e.  NN )
4946, 48nndivred 10627 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) )  e.  RR )
5041, 49remulcld 9656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5147peano2nnd 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
5251nnrpd 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
5347nnrpd 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5452, 53rpdivcld 11323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
5554relogcld 23304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) )  e.  RR )
5641, 55remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  e.  RR )
5740peano2nnd 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
5857nnrpd 11304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
5958, 53rpmulcld 11322 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  m )  e.  RR+ )
6059relogcld 23304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  e.  RR )
61 pire 23145 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
6360, 62readdcld 9655 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  e.  RR )
6456, 63readdcld 9655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )
6550, 64ifcld 3930 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
6665, 35fmptd 6035 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> RR )
6766ffvelrnda 6011 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
687, 3, 33, 35lgamgulmlem5 23690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
697, 3, 33, 35lgamgulmlem4 23689 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
701, 2, 6, 34, 39, 67, 68, 69mtest 23093 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
71 1zzd 10938 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  1  e.  ZZ )
725a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  U  e.  _V )
7334adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  G : NN
--> ( CC  ^m  U
) )
7438a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  T  e.  _V )
7567adantlr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
7668adantlr 715 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
7769adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
78 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )
791, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78mtestbdd 23094 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
)
80 nfcv 2566 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
81 nffvmpt1 5859 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( z  e.  U  |->  O ) `  y )
8280, 81nffv 5858 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )
83 nfcv 2566 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
84 nfcv 2566 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
r
8582, 83, 84nfbr 4441 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
86 nfv 1730 . . . . . . 7  |-  F/ y ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r
87 fveq2 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )
8887fveq2d 5855 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  =  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) ) )
8988breq1d 4407 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_  r )
)
9085, 86, 89cbvral 3032 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_ 
r )
91 ulmcl 23070 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O )  -> 
( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9291adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
93 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U  |->  O )  =  ( z  e.  U  |->  O )
9493fmpt 6032 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  <->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9592, 94sylibr 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  A. z  e.  U  O  e.  CC )
9693fvmpt2 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z )  =  O )
9796fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  =  ( abs `  O ) )
9897breq1d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r ) )
9998ralimiaa 2798 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  ->  A. z  e.  U  ( ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r
) )
100 ralbi 2940 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r )  -> 
( A. z  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10195, 99, 1003syl 18 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
10290, 101syl5bb 259 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
103102rexbidv 2920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  y ) )  <_ 
r  <->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10479, 103mpbid 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O
)  <_  r )
105104ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10670, 105jca 532 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521    ^m cmap 7459   CCcc 9522   RRcr 9523   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907    seqcseq 12153   ^cexp 12212   abscabs 13218    ~~> cli 13458   picpi 14013   ~~> uculm 23065   logclog 23236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-tan 14018  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-ulm 23066  df-log 23238  df-cxp 23239
This theorem is referenced by:  lgamgulm  23692  lgambdd  23694
  Copyright terms: Public domain W3C validator