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Theorem lgamgulmlem6 24771
Description: The series  G is uniformly convergent on the compact region  U, which describes a circle of radius  R with holes of size  1  /  R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    O, r    ph, m, r, x, z    T, r
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)    O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
5 cnex 9027 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
65rabex 4314 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
74, 6eqeltri 2474 . . . 4  |-  U  e. 
_V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
9 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
109, 4lgamgulmlem1 24766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1110ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
12 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
1311, 12sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1413eldifad 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
15 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1716nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1815nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  RR+ )
1917, 18rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
2019relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
2120recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
2214, 21mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  CC )
2315nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  CC )
2415nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  =/=  0 )
2514, 23, 24divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  /  m )  e.  CC )
26 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  e.  CC )
2913, 15dmgmdivn0 24765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =/=  0 )
3028, 29logcld 20421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  e.  CC )
3122, 30subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
32 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
3331, 32fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
345, 7elmap 7001 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U
)  <->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
3533, 34sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U ) )
36 lgamgulm.g . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
3735, 36fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( CC 
^m  U ) )
38 lgamgulm.t . . . . 5  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
39 nnex 9962 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4039mptex 5925 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  e. 
_V
4138, 40eqeltri 2474 . . . 4  |-  T  e. 
_V
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
439adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
4443nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
45 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
47 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
4944, 48readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
5046, 49remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
51 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5251nnsqcld 11498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ 2 )  e.  NN )
5350, 52nndivred 10004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) )  e.  RR )
5444, 53remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5551peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
5655nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
5751nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5856, 57rpdivcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
5958relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) )  e.  RR )
6044, 59remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  e.  RR )
6143peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 57rpmulcld 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  m )  e.  RR+ )
6463relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  e.  RR )
65 pire 20325 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
6764, 66readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  e.  RR )
6860, 67readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )
69 ifcl 3735 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7054, 68, 69syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7170, 38fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> RR )
7271ffvelrnda 5829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
739, 4, 36, 38lgamgulmlem5 24770 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
749, 4, 36, 38lgamgulmlem4 24769 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
751, 3, 8, 37, 42, 72, 73, 74mtest 20273 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  o F  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
762a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  1  e.  ZZ )
777a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  U  e.  _V )
7837adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  G : NN
--> ( CC  ^m  U
) )
7941a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  T  e.  _V )
8072adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
8173adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
8274adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq  1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
83 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )
841, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mtestbdd 20274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
)
85 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
86 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( z  e.  U  |->  O ) `  y )
8785, 86nffv 5694 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )
88 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
89 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
r
9087, 88, 89nfbr 4216 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
91 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ y ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r
92 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )
9392fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  =  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) ) )
9493breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_  r )
)
9590, 91, 94cbvral 2888 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_ 
r )
96 ulmcl 20250 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O )  -> 
( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9796adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
98 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U  |->  O )  =  ( z  e.  U  |->  O )
9998fmpt 5849 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  <->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
10097, 99sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  A. z  e.  U  O  e.  CC )
10198fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z )  =  O )
102101fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  =  ( abs `  O ) )
103102breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r ) )
104103ralimiaa 2740 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  ->  A. z  e.  U  ( ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r
) )
105 ralbi 2802 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r )  -> 
( A. z  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
106100, 104, 1053syl 19 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
10795, 106syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
108107rexbidv 2687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  y ) )  <_ 
r  <->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10984, 108mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O
)  <_  r )
110109ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
11175, 110jca 519 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  o F  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq  1
(  o F  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   picpi 12624   ~~> uculm 20245   logclog 20405
This theorem is referenced by:  lgamgulm  24772  lgambdd  24774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408
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