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Theorem lgamgulmlem6 27165
Description: The series  G is uniformly convergent on the compact region  U, which describes a circle of radius  R with holes of size  1  /  R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    O, r    ph, m, r, x, z    T, r
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)    O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11008 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10788 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
5 cnex 9475 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
65rabex 4552 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
74, 6eqeltri 2538 . . . 4  |-  U  e. 
_V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
9 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
109, 4lgamgulmlem1 27160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
1311, 12sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1413eldifad 3449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 10451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1716nnrpd 11138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1815nnrpd 11138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  RR+ )
1917, 18rpdivcld 11156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
2019relogcld 22206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
2120recnd 9524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
2214, 21mulcld 9518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  CC )
2315nncnd 10450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  CC )
2415nnne0d 10478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  =/=  0 )
2514, 23, 24divcld 10219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  /  m )  e.  CC )
26 ax-1cn 9452 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcld 9517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  e.  CC )
2913, 15dmgmdivn0 27159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =/=  0 )
3028, 29logcld 22156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  e.  CC )
3122, 30subcld 9831 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
32 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
3331, 32fmptd 5977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
345, 7elmap 7352 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U
)  <->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
3533, 34sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U ) )
36 lgamgulm.g . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
3735, 36fmptd 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( CC 
^m  U ) )
38 lgamgulm.t . . . . 5  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
39 nnex 10440 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4039mptex 6058 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  e. 
_V
4138, 40eqeltri 2538 . . . 4  |-  T  e. 
_V
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
439adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
4443nnred 10449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
45 2re 10503 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
47 1re 9497 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
4944, 48readdcld 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
5046, 49remulcld 9526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
51 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5251nnsqcld 12146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ 2 )  e.  NN )
5350, 52nndivred 10482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) )  e.  RR )
5444, 53remulcld 9526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5551peano2nnd 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
5655nnrpd 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
5751nnrpd 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5856, 57rpdivcld 11156 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
5958relogcld 22206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) )  e.  RR )
6044, 59remulcld 9526 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  e.  RR )
6143peano2nnd 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 57rpmulcld 11155 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  m )  e.  RR+ )
6463relogcld 22206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  e.  RR )
65 pire 22055 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
6764, 66readdcld 9525 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  e.  RR )
6860, 67readdcld 9525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )
69 ifcl 3940 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7054, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7170, 38fmptd 5977 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> RR )
7271ffvelrnda 5953 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
739, 4, 36, 38lgamgulmlem5 27164 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
749, 4, 36, 38lgamgulmlem4 27163 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
751, 3, 8, 37, 42, 72, 73, 74mtest 22003 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
762a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  1  e.  ZZ )
777a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  U  e.  _V )
7837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  G : NN
--> ( CC  ^m  U
) )
7941a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  T  e.  _V )
8072adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
8173adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
8274adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )
841, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mtestbdd 22004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
)
85 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
86 nffvmpt1 5808 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( z  e.  U  |->  O ) `  y )
8785, 86nffv 5807 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )
88 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
89 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
r
9087, 88, 89nfbr 4445 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
91 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ y ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r
92 fveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )
9392fveq2d 5804 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  =  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) ) )
9493breq1d 4411 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_  r )
)
9590, 91, 94cbvral 3049 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_ 
r )
96 ulmcl 21980 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O )  -> 
( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
98 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U  |->  O )  =  ( z  e.  U  |->  O )
9998fmpt 5974 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  <->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
10097, 99sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  A. z  e.  U  O  e.  CC )
10198fvmpt2 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z )  =  O )
102101fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  =  ( abs `  O ) )
103102breq1d 4411 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r ) )
104103ralimiaa 2818 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  ->  A. z  e.  U  ( ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r
) )
105 ralbi 2959 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r )  -> 
( A. z  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
106100, 104, 1053syl 20 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
10795, 106syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
108107rexbidv 2868 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  y ) )  <_ 
r  <->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10984, 108mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O
)  <_  r )
110109ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
11175, 110jca 532 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ifcif 3900   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    oFcof 6429    ^m cmap 7325   CCcc 9392   RRcr 9393   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   NNcn 10434   2c2 10483   NN0cn0 10691   ZZcz 10758    seqcseq 11924   ^cexp 11983   abscabs 12842    ~~> cli 13081   picpi 13471   ~~> uculm 21975   logclog 22140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-tan 13476  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-ulm 21976  df-log 22142  df-cxp 22143
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