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Theorem lgamgulmlem6 26972
Description: The series  G is uniformly convergent on the compact region  U, which describes a circle of radius  R with holes of size  1  /  R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    G, r    k, m, r, x, z, R    U, m, r, z    O, r    ph, m, r, x, z    T, r
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)    O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10888 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10668 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
5 cnex 9355 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
65rabex 4438 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
74, 6eqeltri 2508 . . . 4  |-  U  e. 
_V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
9 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
109, 4lgamgulmlem1 26967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
1311, 12sseldd 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
1413eldifad 3335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  CC )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  NN )
1615peano2nnd 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
1716nnrpd 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR+ )
1815nnrpd 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  RR+ )
1917, 18rpdivcld 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
2019relogcld 22047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  RR )
2120recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  e.  CC )
2214, 21mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  e.  CC )
2315nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  e.  CC )
2415nnne0d 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  m  =/=  0 )
2514, 23, 24divcld 10099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
z  /  m )  e.  CC )
26 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  1  e.  CC )
2825, 27addcld 9397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  e.  CC )
2913, 15dmgmdivn0 26966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =/=  0 )
3028, 29logcld 21997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  e.  CC )
3122, 30subcld 9711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  U )  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
32 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )
3331, 32fmptd 5862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
345, 7elmap 7233 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U
)  <->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) : U --> CC )
3533, 34sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) )  e.  ( CC  ^m  U ) )
36 lgamgulm.g . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
3735, 36fmptd 5862 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( CC 
^m  U ) )
38 lgamgulm.t . . . . 5  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
39 nnex 10320 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4039mptex 5943 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) ) )  e. 
_V
4138, 40eqeltri 2508 . . . 4  |-  T  e. 
_V
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
439adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
4443nnred 10329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
45 2re 10383 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
47 1re 9377 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
4944, 48readdcld 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
5046, 49remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
51 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5251nnsqcld 12020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m ^ 2 )  e.  NN )
5350, 52nndivred 10362 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) )  e.  RR )
5444, 53remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5551peano2nnd 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
5655nnrpd 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
5751nnrpd 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5856, 57rpdivcld 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  /  m )  e.  RR+ )
5958relogcld 22047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) )  e.  RR )
6044, 59remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  e.  RR )
6143peano2nnd 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 57rpmulcld 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  m )  e.  RR+ )
6463relogcld 22047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  e.  RR )
65 pire 21896 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
6764, 66readdcld 9405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  e.  RR )
6860, 67readdcld 9405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )
69 ifcl 3826 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7054, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  m , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
7170, 38fmptd 5862 . . . 4  |-  ( ph  ->  T : NN --> RR )
7271ffvelrnda 5838 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
739, 4, 36, 38lgamgulmlem5 26971 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
749, 4, 36, 38lgamgulmlem4 26970 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
751, 3, 8, 37, 42, 72, 73, 74mtest 21844 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  oF  +  ,  G
)  e.  dom  ( ~~> u `  U )
)
762a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  1  e.  ZZ )
777a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  U  e.  _V )
7837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  G : NN
--> ( CC  ^m  U
) )
7941a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  T  e.  _V )
8072adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `  n )  e.  RR )
8173adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
8274adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
83 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )
841, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83mtestbdd 21845 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
)
85 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z abs
86 nffvmpt1 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( ( z  e.  U  |->  O ) `  y )
8785, 86nffv 5693 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )
88 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z  <_
89 nfcv 2574 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
r
9087, 88, 89nfbr 4331 . . . . . . 7  |-  F/ z ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r
91 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ y ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r
92 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )
9392fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  =  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) ) )
9493breq1d 4297 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  y
) )  <_  r  <->  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_  r )
)
9590, 91, 94cbvral 2938 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z ) )  <_ 
r )
96 ulmcl 21821 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U
) ( z  e.  U  |->  O )  -> 
( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
98 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U  |->  O )  =  ( z  e.  U  |->  O )
9998fmpt 5859 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  <->  ( z  e.  U  |->  O ) : U --> CC )
10097, 99sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  A. z  e.  U  O  e.  CC )
10198fvmpt2 5776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  z )  =  O )
102101fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  =  ( abs `  O ) )
103102breq1d 4297 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U  /\  O  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r ) )
104103ralimiaa 2785 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  O  e.  CC  ->  A. z  e.  U  ( ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r
) )
105 ralbi 2848 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  U  (
( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  ( abs `  O )  <_  r )  -> 
( A. z  e.  U  ( abs `  (
( z  e.  U  |->  O ) `  z
) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
106100, 104, 1053syl 20 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. z  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 z ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
10795, 106syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `
 y ) )  <_  r  <->  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r
) )
108107rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  ( E. r  e.  RR  A. y  e.  U  ( abs `  ( ( z  e.  U  |->  O ) `  y ) )  <_ 
r  <->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
10984, 108mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O ) )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O
)  <_  r )
110109ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) )
11175, 110jca 532 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  oF  +  ,  G )  e.  dom  (
~~> u `  U )  /\  (  seq 1
(  oF  +  ,  G ) ( ~~> u `  U ) ( z  e.  U  |->  O )  ->  E. r  e.  RR  A. z  e.  U  ( abs `  O )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    ^m cmap 7206   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638    seqcseq 11798   ^cexp 11857   abscabs 12715    ~~> cli 12954   picpi 13344   ~~> uculm 21816   logclog 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-tan 13349  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-ulm 21817  df-log 21983  df-cxp 21984
This theorem is referenced by:  lgamgulm  26973  lgambdd  26975
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