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Theorem lgamgulmlem5 24770
Description: Lemma for lgamgulm 24772. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
Distinct variable groups:    y, n, G    x, y    k, m, n, x, y, z, R    U, m, n, y, z    ph, m, n, x, y, z    T, n, y
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem5
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4176 . . 3  |-  ( ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  ->  (
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) )  <->  ( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) ) )
2 breq2 4176 . . 3  |-  ( ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  <-> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) ) )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  NN )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  ( 2  x.  R )  <_  n )  ->  R  e.  NN )
6 lgamgulm.u . . . . 5  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
7 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  t
) )
87breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  t )  <_  R
) )
9 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
x  +  k )  =  ( t  +  k ) )
109fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
t  +  k ) ) )
1110breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  t  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
t  +  k ) ) ) )
1211ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( t  +  k ) ) ) )
138, 12anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  t )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( t  +  k ) ) ) ) )
1413cbvrabv 2915 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  =  { t  e.  CC  |  ( ( abs `  t )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( t  +  k ) ) ) }
156, 14eqtri 2424 . . . 4  |-  U  =  { t  e.  CC  |  ( ( abs `  t )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( t  +  k ) ) ) }
16 simplrl 737 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  ( 2  x.  R )  <_  n )  ->  n  e.  NN )
17 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  ( 2  x.  R )  <_  n )  ->  y  e.  U )
19 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  ( 2  x.  R )  <_  n )  ->  (
2  x.  R )  <_  n )
205, 15, 16, 18, 19lgamgulmlem3 24768 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  ( 2  x.  R )  <_  n )  ->  ( abs `  ( ( y  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
213, 6lgamgulmlem1 24766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  U  C_  ( CC  \ 
( ZZ  \  NN ) ) )
2322, 17sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
2423eldifad 3292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  CC )
25 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  e.  NN )
2625peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
2726nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR+ )
2825nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  e.  RR+ )
2927, 28rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
3029relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) )  e.  RR )
3130recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) )  e.  CC )
3224, 31mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
3325nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  e.  CC )
3425nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  =/=  0 )
3524, 33, 34divcld 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( y  /  n
)  e.  CC )
36 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  e.  CC )
3835, 37addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  /  n )  +  1 )  e.  CC )
3923, 25dmgmdivn0 24765 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  /  n )  +  1 )  =/=  0 )
4038, 39logcld 20421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  e.  CC )
4132, 40subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4241abscld 12193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
4332abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  e.  RR )
4440abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  e.  RR )
4543, 44readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  +  ( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
464nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  RR )
4746, 30remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
484peano2nnd 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  e.  NN )
4948nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  e.  RR+ )
5049, 28rpmulcld 10620 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( R  + 
1 )  x.  n
)  e.  RR+ )
5150relogcld 20471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  e.  RR )
52 pire 20325 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
5352a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  pi  e.  RR )
5451, 53readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
5547, 54readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
5632, 40abs2dif2d 12215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  +  ( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) ) )
5724, 31absmuld 12211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( abs `  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) ) ) )
5829rpred 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  /  n
)  e.  RR )
5933mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  x.  n
)  =  n )
6025nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  e.  RR )
6160lep1d 9898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  <_  ( n  + 
1 ) )
6259, 61eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  x.  n
)  <_  ( n  +  1 ) )
63 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  e.  RR )
6560, 64readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
6664, 65, 28lemuldivd 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( 1  x.  n )  <_  (
n  +  1 )  <->  1  <_  ( (
n  +  1 )  /  n ) ) )
6762, 66mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  <_  ( (
n  +  1 )  /  n ) )
6858, 67logge0d 20478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
0  <_  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )
6930, 68absidd 12180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
7069oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  x.  ( abs `  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )
7157, 70eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
7224abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  y
)  e.  RR )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  y
) )
7473breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  y )  <_  R
) )
75 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  k )  =  ( y  +  k ) )
7675fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  (
y  +  k ) ) )
7776breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
y  +  k ) ) ) )
7877ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( y  +  k ) ) ) )
7974, 78anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  y )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( y  +  k ) ) ) ) )
8079, 6elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U  <->  ( y  e.  CC  /\  ( ( abs `  y )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
y  +  k ) ) ) ) )
8180simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
y  +  k ) ) ) )
8281ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
y  +  k ) ) ) )
8382simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  y
)  <_  R )
8472, 46, 30, 68, 83lemul1ad 9906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  <_ 
( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
8571, 84eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  <_  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
8638, 39absrpcld 12205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
8786relogcld 20471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8988abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
9089, 53readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  +  pi )  e.  RR )
91 abslogle 20466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  /  n )  +  1 )  e.  CC  /\  ( ( y  /  n )  +  1 )  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )  +  pi ) )
9238, 39, 91syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )  +  pi ) )
93 1rp 10572 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
94 relogdiv 20440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  / 
( ( R  + 
1 )  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  1
)  -  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) ) ) )
9593, 50, 94sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
1  /  ( ( R  +  1 )  x.  n ) ) )  =  ( ( log `  1 )  -  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) ) )
96 log1 20433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  1 )  =  0
9796oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )  =  ( 0  -  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) ) )
98 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  =  ( 0  -  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) ) )
9997, 98eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  1 )  -  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )  =  -u ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
10095, 99syl6req 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  -u ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  =  ( log `  ( 1  /  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) ) )
10148nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
10224, 33addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( y  +  n
)  e.  CC )
103102abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  +  n ) )  e.  RR )
1044nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  R
)  e.  RR )
1054nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  RR+ )
106 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
0  <_  1 )
10846lep1d 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  R  <_  ( R  + 
1 ) )
109105, 49, 64, 107, 108lediv2ad 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  ( R  +  1 ) )  <_  ( 1  /  R ) )
11025nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  n  e.  NN0 )
11182simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( y  +  k ) ) )
112 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
y  +  k )  =  ( y  +  n ) )
113112fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( y  +  k ) )  =  ( abs `  (
y  +  n ) ) )
114113breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( y  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
y  +  n ) ) ) )
115114rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
y  +  k ) )  ->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
y  +  n ) ) ) )
116110, 111, 115sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( y  +  n
) ) )
117101, 104, 103, 109, 116letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  ( R  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( y  +  n
) ) )
118101, 103, 28, 117lediv1dd 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( 1  / 
( R  +  1 ) )  /  n
)  <_  ( ( abs `  ( y  +  n ) )  /  n ) )
11948nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  e.  CC )
12048nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  =/=  0 )
121119, 33, 120, 34recdiv2d 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( 1  / 
( R  +  1 ) )  /  n
)  =  ( 1  /  ( ( R  +  1 )  x.  n ) ) )
12224, 33, 33, 34divdird 9784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  +  n )  /  n
)  =  ( ( y  /  n )  +  ( n  /  n ) ) )
12333, 34dividd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( n  /  n
)  =  1 )
124123oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  /  n )  +  ( n  /  n ) )  =  ( ( y  /  n )  +  1 ) )
125122, 124eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y  /  n )  +  1 )  =  ( ( y  +  n )  /  n ) )
126125fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  =  ( abs `  ( ( y  +  n )  /  n
) ) )
127102, 33, 34absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  +  n
)  /  n ) )  =  ( ( abs `  ( y  +  n ) )  /  ( abs `  n
) ) )
12828rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
0  <_  n )
12960, 128absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
130129oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  +  n ) )  /  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  (
y  +  n ) )  /  n ) )
131126, 127, 1303eqtrrd 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  +  n ) )  /  n )  =  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) )
132118, 121, 1313brtr3d 4201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  <_  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )
13350rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( 1  /  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  e.  RR+ )
134133, 86logled 20475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  <_  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) )  <->  ( log `  ( 1  /  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )  <_  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) ) )
135132, 134mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  (
1  /  ( ( R  +  1 )  x.  n ) ) )  <_  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )
136100, 135eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  -u ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  <_  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )
13738abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  e.  RR )
13846, 64readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  e.  RR )
13950rpred 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( R  + 
1 )  x.  n
)  e.  RR )
14035abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  /  n ) )  e.  RR )
141140, 64readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  /  n ) )  +  1 )  e.  RR )
14235, 37abstrid 12213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  <_  ( ( abs `  ( y  /  n ) )  +  ( abs `  1
) ) )
143 abs1 12057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  1 )  =  1
144143oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( y  /  n ) )  +  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  (
y  /  n ) )  +  1 )
145142, 144syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  <_  ( ( abs `  ( y  /  n ) )  +  1 ) )
14693a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  e.  RR+ )
14724absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
0  <_  ( abs `  y ) )
14825nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  <_  n )
14972, 46, 146, 60, 147, 83, 148lediv12ad 10659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  /  n )  <_  ( R  / 
1 ) )
15024, 33, 34absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  /  n ) )  =  ( ( abs `  y )  /  ( abs `  n
) ) )
151129oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  /  ( abs `  n ) )  =  ( ( abs `  y
)  /  n ) )
152150, 151eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  y
)  /  n )  =  ( abs `  (
y  /  n ) ) )
1534nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  ->  R  e.  CC )
154153div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  /  1
)  =  R )
155149, 152, 1543brtr3d 4201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
y  /  n ) )  <_  R )
156140, 46, 64, 155leadd1dd 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  /  n ) )  +  1 )  <_  ( R  + 
1 ) )
157137, 141, 138, 145, 156letrd 9183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  <_  ( R  +  1 ) )
15849rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
0  <_  ( R  +  1 ) )
159138, 60, 158, 148lemulge11d 9904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( R  +  1 )  <_  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
160137, 138, 139, 157, 159letrd 9183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  <_  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
16186, 50logled 20475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) )  <_  ( ( R  +  1 )  x.  n )  <->  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) )  <_  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) ) ) )
162160, 161mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  <_  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
16387, 51absled 12188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  <->  ( -u ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  <_ 
( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  /\  ( log `  ( abs `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  <_  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) ) ) )
164136, 162, 163mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
16589, 51, 53, 164leadd1dd 9596 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  ( log `  ( abs `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  +  pi )  <_  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )
16644, 90, 54, 92, 165letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  <_  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
16743, 44, 47, 54, 85, 166le2addd 9600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( abs `  (
y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) ) )  +  ( abs `  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )
16842, 45, 55, 56, 167letrd 9183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )
169168adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  y  e.  U )
)  /\  -.  (
2  x.  R )  <_  n )  -> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )
1701, 2, 20, 169ifbothda 3729 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )  <_  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
171 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
172 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
173171, 172oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
174173fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
175174oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
176 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
z  /  m )  =  ( z  /  n ) )
177176oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  /  m
)  +  1 )  =  ( ( z  /  n )  +  1 ) )
178177fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )
179175, 178oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) )  =  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) ) )
180179mpteq2dv 4256 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  m
)  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) ) )
181 lgamgulm.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
182 cnex 9027 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
183182rabex 4314 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  (
x  +  k ) ) ) }  e.  _V
1846, 183eqeltri 2474 . . . . . . . 8  |-  U  e. 
_V
185184mptex 5925 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
186180, 181, 185fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) ) )
187186ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( G `  n
)  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) ) )
188187fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( G `  n ) `  y
)  =  ( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) ) ) `  y ) )
189 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  =  ( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
190 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  /  n )  =  ( y  /  n ) )
191190oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  /  n
)  +  1 )  =  ( ( y  /  n )  +  1 ) )
192191fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) )  =  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) )
193189, 192oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) )  =  ( ( y  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( y  /  n
)  +  1 ) ) ) )
194 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  (
( z  /  n
)  +  1 ) ) ) )
195 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
196193, 194, 195fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( y  e.  U  ->  (
( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( y  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )
197196ad2antll 710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  n )  +  1 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( y  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )
198188, 197eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( G `  n ) `  y
)  =  ( ( y  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) )
199198fveq2d 5691 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  =  ( abs `  ( ( y  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  ( log `  ( ( y  /  n )  +  1 ) ) ) ) )
200 breq2 4176 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
201 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
202201oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
203202oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
204174oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
205 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
206205fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
207206oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
208204, 207oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
209200, 203, 208ifbieq12d 3721 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
210 lgamgulm.t . . . 4  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
211 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
212 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
213211, 212ifex 3757 . . . 4  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
214209, 210, 213fvmpt 5765 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
215214ad2antrl 709 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( T `  n
)  =  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) ) )
216170, 199, 2153brtr4d 4202 1  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  U ) )  -> 
( abs `  (
( G `  n
) `  y )
)  <_  ( T `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   abscabs 11994   picpi 12624   logclog 20405
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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