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Theorem lgamgulmlem4 23822
Description: Lemma for lgamgulm 23825. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10767 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  NN )
54nnzd 11039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ZZ )
6 eluzle 11171 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  R ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n )
76adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n
)
87iftrued 3923 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) )
9 eluznn 11229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R
) ) )  ->  n  e.  NN )
104, 9sylan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  n  e.  NN )
11 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
12 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
1312oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
1413oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
15 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
16 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1715, 16oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
1817fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
1918oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
20 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
2120fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
2221oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
2319, 22oveq12d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
2411, 14, 23ifbieq12d 3942 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
25 lgamgulm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
26 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
27 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
2826, 27ifex 3983 . . . . . . 7  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
2924, 25, 28fvmpt 5964 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
3010, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
31 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) )
3214, 31, 26fvmpt 5964 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) ) )
3310, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
348, 30, 333eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
) )
355, 34seqfeq 12235 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  =  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) ) )
36 nnuz 11194 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
37 1zzd 10968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
383nncnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
39 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
40 1cnd 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4138, 40addcld 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
4239, 41mulcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
44 1lt2 10776 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
45 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
46 rere 13164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
Re `  2 )  =  2 )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  2 )  =  2
4844, 47breqtrri 4451 . . . . . . . . 9  |-  1  <  ( Re `  2
)
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  2 ) )
50 oveq1 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  ^c  -u
2 )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
51 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) )
52 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  ^c  -u 2
)  e.  _V
5350, 51, 52fvmpt 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5453adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5539, 49, 54zetacvg 23805 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
56 climdm 13596 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) ) ) )
5755, 56sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )
58 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
5958nncnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
60 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6160negcld 9972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
6259, 61cxpcld 23518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  e.  CC )
6354, 62eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  e.  CC )
6438adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
65 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6664, 65addcld 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
6760, 66mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  CC )
6864, 67mulcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
6959sqcld 12411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
7058nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
71 2z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
7359, 70, 72expne0d 12419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  =/=  0 )
7468, 69, 73divrecd 10385 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7564, 67, 69, 73divassd 10417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7659, 70, 60cxpnegd 23525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  =  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) ) )
7759, 70, 72cxpexpzd 23521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  2 )  =  ( n ^
2 ) )
7877oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) )  =  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )
7976, 78eqtr2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n ^
2 ) )  =  ( n  ^c  -u 2 ) )
8079oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8174, 75, 803eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8232adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
8354oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) ) `  n
) )  =  ( ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( n  ^c  -u 2
) ) )
8481, 82, 833eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `
 n ) ) )
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 13699 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) ) )
86 climrel 13534 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
8786releldmi 5091 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
8885, 87syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
8967, 69, 73divcld 10382 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  CC )
9064, 89mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9182, 90eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
9236, 4, 91iserex 13698 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9388, 92mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9435, 93eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
9529adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
963adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
9796nnred 10624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
9845a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
99 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
10097, 99readdcld 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
10198, 100remulcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
10258nnsqcld 12433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  NN )
103101, 102nndivred 10658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  RR )
10497, 103remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  RR )
10558peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
106105nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
10758nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
108106, 107rpdivcld 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
109108relogcld 23437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  e.  RR )
11097, 109remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
11196peano2nnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
112111nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
113112, 107rpmulcld 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )
114113relogcld 23437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  e.  RR )
115 pire 23278 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
116115a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
117114, 116readdcld 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
118110, 117readdcld 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
119104, 118ifcld 3958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
12095, 119eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
121120recnd 9668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  CC )
12236, 4, 121iserex 13698 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  ) )
12394, 122mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159    seqcseq 12210   ^cexp 12269   Recre 13139   abscabs 13276    ~~> cli 13526   picpi 14097   logclog 23369    ^c ccxp 23370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-cxp 23372
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