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Theorem lgamgulmlem4 28242
Description: Lemma for lgamgulm 28245. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10693 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  NN )
54nnzd 10965 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ZZ )
6 eluzle 11094 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  R ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n
)
8 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  R )  <_  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) )
10 nnuz 11117 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 11099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R
) ) )  ->  n  e.  NN )
124, 11sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 breq2 4451 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
14 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
1514oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
1615oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
17 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1917, 18oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
2019fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
2120oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
22 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
2322fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
2423oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
2521, 24oveq12d 6302 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
2613, 16, 25ifbieq12d 3966 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
27 lgamgulm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
28 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
29 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
3028, 29ifex 4008 . . . . . . 7  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5950 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
3212, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
33 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) )
3416, 33, 28fvmpt 5950 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) ) )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
369, 32, 353eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
) )
375, 36seqfeq 12100 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  =  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) ) )
38 1z 10894 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
403nncnd 10552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
41 2cnd 10608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
42 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4440, 43addcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
4541, 44mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  CC )
4640, 45mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
47 1lt2 10702 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
48 2re 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
49 rere 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
Re `  2 )  =  2 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  2 )  =  2
5147, 50breqtrri 4472 . . . . . . . . 9  |-  1  <  ( Re `  2
)
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  2 ) )
53 oveq1 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  ^c  -u
2 )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
54 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) )
55 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  ^c  -u 2
)  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5756adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5841, 52, 57zetacvg 28225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
59 climdm 13340 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) ) ) )
6058, 59sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6261nncnd 10552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
63 2cnd 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6463negcld 9917 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
6562, 64cxpcld 22845 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  e.  CC )
6657, 65eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  e.  CC )
6740adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
6842a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6967, 68addcld 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
7063, 69mulcld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  CC )
7167, 70mulcld 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
7262sqcld 12276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
7361nnne0d 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
74 2z 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
7662, 73, 75expne0d 12284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  =/=  0 )
7771, 72, 76divrecd 10323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7867, 70, 72, 76divassd 10355 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7962, 73, 63cxpnegd 22852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  =  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) ) )
8062, 73, 75cxpexpzd 22848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  2 )  =  ( n ^
2 ) )
8180oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) )  =  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )
8279, 81eqtr2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n ^
2 ) )  =  ( n  ^c  -u 2 ) )
8382oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8477, 78, 833eqtr3d 2516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
8657oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) ) `  n
) )  =  ( ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( n  ^c  -u 2
) ) )
8784, 85, 863eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `
 n ) ) )
8810, 39, 46, 60, 66, 87isermulc2 13443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) ) )
89 climrel 13278 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
9089releldmi 5239 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
9188, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9270, 72, 76divcld 10320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  CC )
9367, 92mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9485, 93eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
9510, 4, 94iserex 13442 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9691, 95mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9737, 96eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
9831adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
993adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
10099nnred 10551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
10148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
102 1re 9595 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
104100, 103readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
105101, 104remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
10661nnsqcld 12298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  NN )
107105, 106nndivred 10584 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  RR )
108100, 107remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  RR )
10961peano2nnd 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
11161nnrpd 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
112110, 111rpdivcld 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
113112relogcld 22764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  e.  RR )
114100, 113remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
11599peano2nnd 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
116115nnrpd 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
117116, 111rpmulcld 11272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )
118117relogcld 22764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  e.  RR )
119 pire 22613 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
121118, 120readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
122114, 121readdcld 9623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
123 ifcl 3981 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
124108, 122, 123syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
12598, 124eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
126125recnd 9622 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  CC )
12710, 4, 126iserex 13442 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  ) )
12897, 127mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082    seqcseq 12075   ^cexp 12134   Recre 12893   abscabs 13030    ~~> cli 13270   picpi 13664   logclog 22698    ^c ccxp 22699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701
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