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Theorem lgamgulmlem4 26932
Description: Lemma for lgamgulm 26935. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10475 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  NN )
54nnzd 10742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ZZ )
6 eluzle 10869 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  R ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n )
76adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n
)
8 iftrue 3794 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  R )  <_  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) )
10 nnuz 10892 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 10874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R
) ) )  ->  n  e.  NN )
124, 11sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 breq2 4293 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
14 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
1514oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
1615oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
17 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1917, 18oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
2019fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
2120oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
22 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
2322fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
2423oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
2521, 24oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
2613, 16, 25ifbieq12d 3813 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
27 lgamgulm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
28 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
29 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
3028, 29ifex 3855 . . . . . . 7  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5771 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
3212, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
33 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) )
3416, 33, 28fvmpt 5771 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) ) )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
369, 32, 353eqtr4d 2483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
) )
375, 36seqfeq 11827 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  =  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) ) )
38 1z 10672 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
403nncnd 10334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
41 2cnd 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
42 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4440, 43addcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
4541, 44mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  CC )
4640, 45mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
47 1lt2 10484 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
48 2re 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
49 rere 12607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
Re `  2 )  =  2 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  2 )  =  2
5147, 50breqtrri 4314 . . . . . . . . 9  |-  1  <  ( Re `  2
)
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  2 ) )
53 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  ^c  -u
2 )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
54 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) )
55 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  ^c  -u 2
)  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5756adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5841, 52, 57zetacvg 26915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
59 climdm 13028 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) ) ) )
6058, 59sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )
61 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6261nncnd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
63 2cnd 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6463negcld 9702 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
6562, 64cxpcld 22096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  e.  CC )
6657, 65eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  e.  CC )
6740adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
6842a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6967, 68addcld 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
7063, 69mulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  CC )
7167, 70mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
7262sqcld 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
7361nnne0d 10362 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
74 2z 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
7662, 73, 75expne0d 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  =/=  0 )
7771, 72, 76divrecd 10106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7867, 70, 72, 76divassd 10138 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7962, 73, 63cxpnegd 22103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  =  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) ) )
8062, 73, 75cxpexpzd 22099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  2 )  =  ( n ^
2 ) )
8180oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) )  =  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )
8279, 81eqtr2d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n ^
2 ) )  =  ( n  ^c  -u 2 ) )
8382oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8477, 78, 833eqtr3d 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8534adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
8657oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) ) `  n
) )  =  ( ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( n  ^c  -u 2
) ) )
8784, 85, 863eqtr4d 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `
 n ) ) )
8810, 39, 46, 60, 66, 87isermulc2 13131 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) ) )
89 climrel 12966 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
9089releldmi 5072 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
9188, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9270, 72, 76divcld 10103 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  CC )
9367, 92mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9485, 93eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
9510, 4, 94iserex 13130 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9691, 95mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9737, 96eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
9831adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
993adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
10099nnred 10333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
10148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
102 1re 9381 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
104100, 103readdcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
105101, 104remulcld 9410 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
10661nnsqcld 12024 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  NN )
107105, 106nndivred 10366 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  RR )
108100, 107remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  RR )
10961peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
11161nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
112110, 111rpdivcld 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
113112relogcld 22015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  e.  RR )
114100, 113remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
11599peano2nnd 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
116115nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
117116, 111rpmulcld 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )
118117relogcld 22015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  e.  RR )
119 pire 21864 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
121118, 120readdcld 9409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
122114, 121readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
123 ifcl 3828 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
124108, 122, 123syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
12598, 124eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
126125recnd 9408 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  CC )
12710, 4, 126iserex 13130 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  ) )
12897, 127mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857    seqcseq 11802   ^cexp 11861   Recre 12582   abscabs 12719    ~~> cli 12958   picpi 13348   logclog 21949    ^c ccxp 21950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952
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