Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgamgulmlem4 Unicode version

Theorem lgamgulmlem4 24769
Description: Lemma for lgamgulm 24772. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10089 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10003 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  NN )
54nnzd 10330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ZZ )
6 eluzle 10454 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  R ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n
)
8 iftrue 3705 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  R )  <_  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) )
10 nnuz 10477 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 10459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R
) ) )  ->  n  e.  NN )
124, 11sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
14 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
1514oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
17 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
18 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1917, 18oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
2019fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
22 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
2322fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
2423oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
2521, 24oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
2613, 16, 25ifbieq12d 3721 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
27 lgamgulm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
28 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
29 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
3028, 29ifex 3757 . . . . . . 7  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
3212, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
33 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) )
3416, 33, 28fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) ) )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
369, 32, 353eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
) )
375, 36seqfeq 11303 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  =  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) ) )
38 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
403nncnd 9972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
41 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
43 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4540, 44addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
4642, 45mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  CC )
4740, 46mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
48 1lt2 10098 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
49 2re 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
50 rere 11882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
Re `  2 )  =  2 )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  2 )  =  2
5248, 51breqtrri 4197 . . . . . . . . 9  |-  1  <  ( Re `  2
)
5352a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  2 ) )
54 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  ^ c  -u
2 )  =  ( n  ^ c  -u
2 ) )
55 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u
2 ) )
56 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  ^ c  -u 2
)  e.  _V
5754, 55, 56fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) `  n )  =  ( n  ^ c  -u
2 ) )
5857adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u
2 ) ) `  n )  =  ( n  ^ c  -u
2 ) )
5942, 53, 58zetacvg 24752 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
60 climdm 12303 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u
2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u
2 ) ) ) ) )
6159, 60sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) ) ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6362nncnd 9972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
6441a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6564negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
6663, 65cxpcld 20552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^ c  -u 2
)  e.  CC )
6758, 66eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u
2 ) ) `  n )  e.  CC )
6840adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
6943a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
7068, 69addcld 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
7164, 70mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  CC )
7268, 71mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
7363sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
7462nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
75 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
7763, 74, 76expne0d 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  =/=  0 )
7872, 73, 77divrecd 9749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7968, 71, 73, 77divassd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
8063, 74, 64cxpnegd 20559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^ c  -u 2
)  =  ( 1  /  ( n  ^ c  2 ) ) )
8163, 74, 76cxpexpzd 20555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^ c  2 )  =  ( n ^
2 ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n  ^ c  2 ) )  =  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )
8380, 82eqtr2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n ^
2 ) )  =  ( n  ^ c  -u 2 ) )
8483oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^ c  -u
2 ) ) )
8578, 79, 843eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^ c  -u
2 ) ) )
8634adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
8758oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2
) ) `  n
) )  =  ( ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( n  ^ c  -u 2
) ) )
8885, 86, 873eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) `
 n ) ) )
8910, 39, 47, 61, 67, 88isermulc2 12406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (  ~~>  ` 
seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) ) ) ) )
90 climrel 12241 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
9190releldmi 5065 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  (  ~~>  `  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^ c  -u 2 ) ) ) ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
9289, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9371, 73, 77divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  CC )
9468, 93mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9586, 94eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
9610, 4, 95iserex 12405 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9792, 96mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9837, 97eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
9931adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
1003adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
101100nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
10249a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
103 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
105101, 104readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
106102, 105remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
10762nnsqcld 11498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  NN )
108106, 107nndivred 10004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  RR )
109101, 108remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  RR )
11062peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
111110nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
11262nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
113111, 112rpdivcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
114113relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  e.  RR )
115101, 114remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
116100peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
117116nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
118117, 112rpmulcld 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )
119118relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  e.  RR )
120 pire 20325 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
121120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
122119, 121readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
123115, 122readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
124 ifcl 3735 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
125109, 123, 124syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
12699, 125eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
127126recnd 9070 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  CC )
12810, 4, 127iserex 12405 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  <->  seq  ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  ) )
12998, 128mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    seq cseq 11278   ^cexp 11337   Recre 11857   abscabs 11994    ~~> cli 12233   picpi 12624   logclog 20405    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
  Copyright terms: Public domain W3C validator