Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgamgulmlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lgamgulmlem4 27018
Description: Lemma for lgamgulm 27021. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.g  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( z  e.  U  |->  ( ( z  x.  ( log `  (
( m  +  1 )  /  m ) ) )  -  ( log `  ( ( z  /  m )  +  1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, m, x, z, R    U, m, z    ph, m, x, z
Allowed substitution hints:    ph( k)    T( x, z, k, m)    U( x, k)    G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10479 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
3 lgamgulm.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
42, 3nnmulcld 10369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  NN )
54nnzd 10746 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ZZ )
6 eluzle 10873 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  R ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n )
76adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( 2  x.  R )  <_  n
)
8 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  R )  <_  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) ) ) )
10 nnuz 10896 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uztrn2 10878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R
) ) )  ->  n  e.  NN )
124, 11sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  R
)  <_  m  <->  ( 2  x.  R )  <_  n ) )
14 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m ^ 2 )  =  ( n ^
2 ) )
1514oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )
1615oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
17 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  m  =  n )
1917, 18oveq12d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  +  1 )  /  m )  =  ( ( n  +  1 )  /  n ) )
2019fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) )  =  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )
2120oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( R  x.  ( log `  ( ( m  + 
1 )  /  m
) ) )  =  ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) ) )
22 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  +  1 )  x.  m )  =  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  m ) )  =  ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) ) )
2423oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( log `  (
( R  +  1 )  x.  m ) )  +  pi )  =  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) )
2521, 24oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) )  =  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )
2613, 16, 25ifbieq12d 3816 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
27 lgamgulm.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( m  e.  NN  |->  if ( ( 2  x.  R )  <_  m ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( m  +  1 )  /  m ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  m
) )  +  pi ) ) ) )
28 ovex 6116 . . . . . . . 8  |-  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
29 ovex 6116 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  _V
3028, 29ifex 3858 . . . . . . 7  |-  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5774 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
3212, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
33 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) )
3416, 33, 28fvmpt 5774 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) ) )
3512, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
369, 32, 353eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  R ) ) )  ->  ( T `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) `  n
) )
375, 36seqfeq 11831 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  =  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) ) )
38 1z 10676 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
403nncnd 10338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
41 2cnd 10394 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
42 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4440, 43addcld 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
4541, 44mulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  CC )
4640, 45mulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
47 1lt2 10488 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
48 2re 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
49 rere 12611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
Re `  2 )  =  2 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Re
`  2 )  =  2
5147, 50breqtrri 4317 . . . . . . . . 9  |-  1  <  ( Re `  2
)
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( Re
`  2 ) )
53 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
m  ^c  -u
2 )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) )
55 ovex 6116 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  ^c  -u 2
)  e.  _V
5653, 54, 55fvmpt 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5756adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  =  ( n  ^c  -u
2 ) )
5841, 52, 57zetacvg 27001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
59 climdm 13032 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) ) ) )
6058, 59sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )
61 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
6261nncnd 10338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
63 2cnd 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6463negcld 9706 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
6562, 64cxpcld 22153 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  e.  CC )
6657, 65eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u
2 ) ) `  n )  e.  CC )
6740adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  CC )
6842a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6967, 68addcld 9405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
7063, 69mulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  CC )
7167, 70mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  e.  CC )
7262sqcld 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
7361nnne0d 10366 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
74 2z 10678 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
7662, 73, 75expne0d 12014 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  =/=  0 )
7771, 72, 76divrecd 10110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7867, 70, 72, 76divassd 10142 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  /  ( n ^
2 ) )  =  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) )
7962, 73, 63cxpnegd 22160 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  -u 2
)  =  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) ) )
8062, 73, 75cxpexpzd 22156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  ^c  2 )  =  ( n ^
2 ) )
8180oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n  ^c  2 ) )  =  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )
8279, 81eqtr2d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( n ^
2 ) )  =  ( n  ^c  -u 2 ) )
8382oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8477, 78, 833eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (
n  ^c  -u
2 ) ) )
8534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) )
8657oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2
) ) `  n
) )  =  ( ( R  x.  (
2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( n  ^c  -u 2
) ) )
8784, 85, 863eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) `
 n ) ) )
8810, 39, 46, 60, 66, 87isermulc2 13135 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  +  1 ) ) )  x.  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) ) )
89 climrel 12970 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
9089releldmi 5076 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  ~~>  ( ( R  x.  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )  x.  (  ~~>  `  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( m  ^c  -u 2 ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^ 2 ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
9188, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9270, 72, 76divcld 10107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  CC )
9367, 92mulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9485, 93eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
9510, 4, 94iserex 13134 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( m ^
2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9691, 95mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
m ^ 2 ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9737, 96eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  seq ( 2  x.  R ) (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
9831adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  =  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) ) )
993adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  NN )
10099nnred 10337 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  RR )
10148a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
102 1re 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
104100, 103readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
105101, 104remulcld 9414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  e.  RR )
10661nnsqcld 12028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n ^ 2 )  e.  NN )
107105, 106nndivred 10370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^
2 ) )  e.  RR )
108100, 107remulcld 9414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( n ^ 2 ) ) )  e.  RR )
10961peano2nnd 10339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 11026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
11161nnrpd 11026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
112110, 111rpdivcld 11044 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
113112relogcld 22072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) )  e.  RR )
114100, 113remulcld 9414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR )
11599peano2nnd 10339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
116115nnrpd 11026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R  +  1 )  e.  RR+ )
117116, 111rpmulcld 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  +  1 )  x.  n )  e.  RR+ )
118117relogcld 22072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  e.  RR )
119 pire 21921 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
121118, 120readdcld 9413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi )  e.  RR )
122114, 121readdcld 9413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )
123 ifcl 3831 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) )  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  R )  <_  n ,  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  +  1 )  /  n ) ) )  +  ( ( log `  ( ( R  + 
1 )  x.  n
) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
124108, 122, 123syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  R
)  <_  n , 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( ( R  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  +  ( ( log `  (
( R  +  1 )  x.  n ) )  +  pi ) ) )  e.  RR )
12598, 124eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  RR )
126125recnd 9412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T `
 n )  e.  CC )
12710, 4, 126iserex 13134 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  T )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
2  x.  R ) (  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  ) )
12897, 127mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861    seqcseq 11806   ^cexp 11865   Recre 12586   abscabs 12723    ~~> cli 12962   picpi 13352   logclog 22006    ^c ccxp 22007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-cxp 22009
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  27020
  Copyright terms: Public domain W3C validator