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Theorem lgamgulmlem3 27017
Description: Lemma for lgamgulm 27021. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgamgulm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lgamgulm.l  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, k, R    A, k, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 27015 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4 lgamgulm.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
53, 4sseldd 3357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
65eldifad 3340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87peano2nnd 10339 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
98nnrpd 11026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
107nnrpd 11026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
119, 10rpdivcld 11044 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+ )
1211relogcld 22072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
1312recnd 9412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
146, 13mulcld 9406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
157nncnd 10338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167nnne0d 10366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
176, 15, 16divcld 10107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9340 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2017, 19addcld 9405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  e.  CC )
215, 7dmgmdivn0 27014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  =/=  0 )
2220, 21logcld 22022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
2314, 22subcld 9719 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2423abscld 12922 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2514, 17subcld 9719 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  e.  CC )
2625abscld 12922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  e.  RR )
2717, 22subcld 9719 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 12922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9413 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
301nnred 10337 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 2re 10391 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
33 1re 9385 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3530, 34readdcld 9413 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
377nnsqcld 12028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
3836, 37nndivred 10370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  e.  RR )
3930, 38remulcld 9414 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4014, 22, 17abs3difd 12946 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
417nnrecred 10367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
428nnrecred 10367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42resubcld 9776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
4430, 43remulcld 9414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4532, 30remulcld 9414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
467nnred 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
471nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4830, 47ltaddrpd 11056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  R ) )
491nncnd 10338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
50492timesd 10567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
5148, 50breqtrrd 4318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <  ( 2  x.  R ) )
52 lgamgulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
5330, 45, 46, 51, 52ltletrd 9531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  <  N )
54 difrp 11024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5530, 46, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5653, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR+ )
5756rprecred 11038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  RR )
5857, 41resubcld 9776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  RR )
5930, 58remulcld 9414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
6044, 59readdcld 9413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  e.  RR )
616, 15, 16divrecd 10110 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  =  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) )
6261oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) ) )
6341recnd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  CC )
646, 13, 63subdid 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  -  ( A  x.  (
1  /  N ) ) ) )
6562, 64eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( A  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
6665fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) ) )
6713, 63subcld 9719 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
686, 67absmuld 12940 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
6966, 68eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
706abscld 12922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7167abscld 12922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
726absge0d 12930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
7367absge0d 12930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
74 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  A
) )
7574breq1d 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  A )  <_  R
) )
76 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  k )  =  ( A  +  k ) )
7776fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  ( A  +  k )
) )
7877breq2d 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) )
7978ralbidv 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) )
8075, 79anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) ) )
8180, 2elrab2 3119 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U  <->  ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) ) )
8281simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  (
( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
834, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
8483simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  R )
859, 10relogdivd 22075 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) )
86 logdifbnd 22387 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) )  <_  (
1  /  N ) )
8710, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  <_ 
( 1  /  N
) )
8885, 87eqbrtrd 4312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  <_  ( 1  /  N ) )
8912, 41, 88abssuble0d 12919 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
90 logdiflbnd 22388 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9110, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  + 
1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9291, 85breqtrrd 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
9342, 12, 41, 92lesub2dd 9956 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  <_  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9489, 93eqbrtrd 4312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  <_  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
9570, 30, 71, 43, 72, 73, 84, 94lemul12ad 10275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) ) )
9669, 95eqbrtrd 4312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
971, 2, 7, 4, 52lgamgulmlem2 27016 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) )
9826, 28, 44, 59, 96, 97le2addd 9957 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
9915, 49subcld 9719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  CC )
10015, 19addcld 9405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
10130, 53gtned 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =/=  R )
10215, 49, 101subne0d 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  =/=  0 )
1038nnne0d 10366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
10499, 100, 102, 103subrecd 10162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R ) )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10515, 19, 49pnncand 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( 1  +  R ) )
10619, 49addcomd 9571 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =  ( R  +  1 ) )
107105, 106eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( R  +  1 ) )
108107oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R
) )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
109104, 108eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
110109oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111100, 103reccld 10100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11299, 102reccld 10100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  CC )
11363, 111, 112npncan3d 9755 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
114113eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )
115114oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11643recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
11758recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  CC )
11849, 116, 117adddid 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
119110, 115, 1183eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
12056, 9rpmulcld 11043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
12135, 120rerpdivcld 11054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
12247rpge0d 11031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
123 2z 10678 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
12510, 124rpexpcld 12031 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
126125rphalfcld 11039 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
127 0le1 9863 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
12930, 34, 122, 128addge0d 9915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  +  1 ) )
13015sqvald 12005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N ) )
131130oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  x.  N )  /  2 ) )
13232recnd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
133 2ne0 10414 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
13515, 15, 132, 134div23d 10144 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  N )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
136131, 135eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
13746rehalfcld 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
13846, 30resubcld 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR )
13946, 34readdcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
140 2rp 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
14210rpge0d 11031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
14346, 141, 142divge0d 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  /  2 ) )
14430, 46, 141lemuldiv2d 11073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  N  <->  R  <_  ( N  / 
2 ) ) )
14552, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  /  2 ) )
146152halvesd 10570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N )
147137recnd 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
14815, 147, 147subaddd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  ( N  /  2
) )  =  ( N  /  2 )  <-> 
( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N ) )
149146, 148mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
150145, 149breqtrrd 4318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  -  ( N  / 
2 ) ) )
15130, 46, 137, 150lesubd 9943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  <_  ( N  -  R ) )
15246lep1d 10264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
153137, 138, 46, 139, 143, 142, 151, 152lemul12ad 10275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  N
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154136, 153eqbrtrd 4312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
155126, 120, 35, 129, 154lediv2ad 11049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1561peano2nnd 10339 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
157156nncnd 10338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
15837nncnd 10338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
15937nnne0d 10366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
160157, 158, 132, 159, 134divdiv2d 10139 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^
2 ) ) )
161157, 132mulcomd 9407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )
162161oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
163160, 162eqtr2d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( R  +  1 )  / 
( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
164155, 163breqtrrd 4318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )
165121, 38, 30, 122, 164lemul2ad 10273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
166119, 165eqbrtrrd 4314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16729, 60, 39, 98, 166letrd 9528 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16824, 29, 39, 40, 167letrd 9528 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719    \ cdif 3325   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   RR+crp 10991   ^cexp 11865   abscabs 12723   logclog 22006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-tan 13357  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008
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