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Theorem lgamgulmlem3 28241
Description: Lemma for lgamgulm 28245. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgamgulm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lgamgulm.l  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, k, R    A, k, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 28239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4 lgamgulm.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
53, 4sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
65eldifad 3488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87peano2nnd 10553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
98nnrpd 11255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
107nnrpd 11255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
119, 10rpdivcld 11273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+ )
1211relogcld 22764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
1312recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
146, 13mulcld 9616 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
157nncnd 10552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167nnne0d 10580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
176, 15, 16divcld 10320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9550 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2017, 19addcld 9615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  e.  CC )
215, 7dmgmdivn0 28238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  =/=  0 )
2220, 21logcld 22714 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
2314, 22subcld 9930 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2423abscld 13230 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2514, 17subcld 9930 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  e.  CC )
2625abscld 13230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  e.  RR )
2717, 22subcld 9930 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 13230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
301nnred 10551 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 2re 10605 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
33 1re 9595 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3530, 34readdcld 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
377nnsqcld 12298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
3836, 37nndivred 10584 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  e.  RR )
3930, 38remulcld 9624 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4014, 22, 17abs3difd 13254 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
417nnrecred 10581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
428nnrecred 10581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42resubcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
4430, 43remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4532, 30remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
467nnred 10551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
471nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4830, 47ltaddrpd 11285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  R ) )
491nncnd 10552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
50492timesd 10781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
5148, 50breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <  ( 2  x.  R ) )
52 lgamgulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
5330, 45, 46, 51, 52ltletrd 9741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  <  N )
54 difrp 11253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5530, 46, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5653, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR+ )
5756rprecred 11267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  RR )
5857, 41resubcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  RR )
5930, 58remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
6044, 59readdcld 9623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  e.  RR )
616, 15, 16divrecd 10323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  =  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) )
6261oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) ) )
6341recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  CC )
646, 13, 63subdid 10012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  -  ( A  x.  (
1  /  N ) ) ) )
6562, 64eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( A  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
6665fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) ) )
6713, 63subcld 9930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
686, 67absmuld 13248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
6966, 68eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
706abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7167abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
726absge0d 13238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
7367absge0d 13238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
74 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  A
) )
7574breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  A )  <_  R
) )
76 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  k )  =  ( A  +  k ) )
7776fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  ( A  +  k )
) )
7877breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) )
7978ralbidv 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) )
8075, 79anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) ) )
8180, 2elrab2 3263 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U  <->  ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) ) )
8281simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  (
( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
834, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
8483simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  R )
859, 10relogdivd 22767 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) )
86 logdifbnd 23079 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) )  <_  (
1  /  N ) )
8710, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  <_ 
( 1  /  N
) )
8885, 87eqbrtrd 4467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  <_  ( 1  /  N ) )
8912, 41, 88abssuble0d 13227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
90 logdiflbnd 23080 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9110, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  + 
1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9291, 85breqtrrd 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
9342, 12, 41, 92lesub2dd 10169 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  <_  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9489, 93eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  <_  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
9570, 30, 71, 43, 72, 73, 84, 94lemul12ad 10488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) ) )
9669, 95eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
971, 2, 7, 4, 52lgamgulmlem2 28240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) )
9826, 28, 44, 59, 96, 97le2addd 10170 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
9915, 49subcld 9930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  CC )
10015, 19addcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
10130, 53gtned 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =/=  R )
10215, 49, 101subne0d 9939 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  =/=  0 )
1038nnne0d 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
10499, 100, 102, 103subrecd 10375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R ) )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10515, 19, 49pnncand 9969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( 1  +  R ) )
10619, 49addcomd 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =  ( R  +  1 ) )
107105, 106eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( R  +  1 ) )
108107oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R
) )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
109104, 108eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
110109oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111100, 103reccld 10313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11299, 102reccld 10313 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  CC )
11363, 111, 112npncan3d 9966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
114113eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )
115114oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11643recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
11758recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  CC )
11849, 116, 117adddid 9620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
119110, 115, 1183eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
12056, 9rpmulcld 11272 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
12135, 120rerpdivcld 11283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
12247rpge0d 11260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
123 2z 10896 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
12510, 124rpexpcld 12301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
126125rphalfcld 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
127 0le1 10076 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
12930, 34, 122, 128addge0d 10128 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  +  1 ) )
13015sqvald 12275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N ) )
131130oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  x.  N )  /  2 ) )
13232recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
133 2ne0 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
13515, 15, 132, 134div23d 10357 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  N )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
136131, 135eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
13746rehalfcld 10785 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
13846, 30resubcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR )
13946, 34readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
140 2rp 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
14210rpge0d 11260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
14346, 141, 142divge0d 11292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  /  2 ) )
14430, 46, 141lemuldiv2d 11302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  N  <->  R  <_  ( N  / 
2 ) ) )
14552, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  /  2 ) )
146152halvesd 10784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N )
147137recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
14815, 147, 147subaddd 9948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  ( N  /  2
) )  =  ( N  /  2 )  <-> 
( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N ) )
149146, 148mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
150145, 149breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  -  ( N  / 
2 ) ) )
15130, 46, 137, 150lesubd 10156 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  <_  ( N  -  R ) )
15246lep1d 10477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
153137, 138, 46, 139, 143, 142, 151, 152lemul12ad 10488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  N
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154136, 153eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
155126, 120, 35, 129, 154lediv2ad 11278 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1561peano2nnd 10553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
157156nncnd 10552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
15837nncnd 10552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
15937nnne0d 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
160157, 158, 132, 159, 134divdiv2d 10352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^
2 ) ) )
161157, 132mulcomd 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )
162161oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
163160, 162eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( R  +  1 )  / 
( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
164155, 163breqtrrd 4473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )
165121, 38, 30, 122, 164lemul2ad 10486 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
166119, 165eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16729, 60, 39, 98, 166letrd 9738 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16824, 29, 39, 40, 167letrd 9738 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220   ^cexp 12134   abscabs 13030   logclog 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-tan 13669  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700
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