Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lgamgulmlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgamgulmlem3 28837
Description: Lemma for lgamgulm 28841. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgamgulm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lgamgulm.l  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, k, R    A, k, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 28835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4 lgamgulm.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
53, 4sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
65eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87peano2nnd 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
98nnrpd 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
107nnrpd 11257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
119, 10rpdivcld 11276 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+ )
1211relogcld 23176 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
1312recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
146, 13mulcld 9605 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
157nncnd 10547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167nnne0d 10576 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
176, 15, 16divcld 10316 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  CC )
18 1cnd 9601 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1917, 18addcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  e.  CC )
205, 7dmgmdivn0 28834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  =/=  0 )
2119, 20logcld 23124 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
2214, 21subcld 9922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2322abscld 13349 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2414, 17subcld 9922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  e.  CC )
2524abscld 13349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  e.  RR )
2617, 21subcld 9922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2726abscld 13349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2825, 27readdcld 9612 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
291nnred 10546 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
30 2re 10601 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
32 1red 9600 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3329, 32readdcld 9612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
3431, 33remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
357nnsqcld 12312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
3634, 35nndivred 10580 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  e.  RR )
3729, 36remulcld 9613 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) )  e.  RR )
3814, 21, 17abs3difd 13373 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
397nnrecred 10577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
408nnrecred 10577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4139, 40resubcld 9983 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
4229, 41remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4331, 29remulcld 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
447nnred 10546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
451nnrpd 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4629, 45ltaddrpd 11288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  R ) )
471nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
48472timesd 10777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
4946, 48breqtrrd 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <  ( 2  x.  R ) )
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  <  N )
52 difrp 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5329, 44, 52syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5451, 53mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR+ )
5554rprecred 11270 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  RR )
5655, 39resubcld 9983 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  RR )
5729, 56remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
5842, 57readdcld 9612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  e.  RR )
596, 15, 16divrecd 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  =  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) )
6059oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) ) )
6139recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  CC )
626, 13, 61subdid 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  -  ( A  x.  (
1  /  N ) ) ) )
6360, 62eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( A  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
6463fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) ) )
6513, 61subcld 9922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
666, 65absmuld 13367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
6764, 66eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
686abscld 13349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
6965abscld 13349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
706absge0d 13357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
7165absge0d 13357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
72 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  A
) )
7372breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  A )  <_  R
) )
74 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  k )  =  ( A  +  k ) )
7574fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  ( A  +  k )
) )
7675breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) )
7776ralbidv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) )
7873, 77anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) ) )
7978, 2elrab2 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U  <->  ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) ) )
8079simprbi 462 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  (
( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
814, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
8281simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  R )
839, 10relogdivd 23179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) )
84 logdifbnd 23521 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) )  <_  (
1  /  N ) )
8510, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  <_ 
( 1  /  N
) )
8683, 85eqbrtrd 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  <_  ( 1  /  N ) )
8712, 39, 86abssuble0d 13346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
88 logdiflbnd 23522 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
8910, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  + 
1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9089, 83breqtrrd 4465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
9140, 12, 39, 90lesub2dd 10165 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  <_  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9287, 91eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  <_  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
9368, 29, 69, 41, 70, 71, 82, 92lemul12ad 10483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) ) )
9467, 93eqbrtrd 4459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
951, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 28836 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) )
9625, 27, 42, 57, 94, 95le2addd 10166 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
9715, 47subcld 9922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  CC )
9815, 18addcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
9929, 51gtned 9709 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =/=  R )
10015, 47, 99subne0d 9931 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  =/=  0 )
1018nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
10297, 98, 100, 101subrecd 10371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R ) )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10315, 18, 47pnncand 9961 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( 1  +  R ) )
10418, 47addcomd 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =  ( R  +  1 ) )
105103, 104eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( R  +  1 ) )
106105oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R
) )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
107102, 106eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
108107oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
10998, 101reccld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11097, 100reccld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  CC )
11161, 109, 110npncan3d 9958 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
112111eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )
113112oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11441recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
11556recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  CC )
11647, 114, 115adddid 9609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
117108, 113, 1163eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11854, 9rpmulcld 11275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
11933, 118rerpdivcld 11286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
12045rpge0d 11263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
121 2z 10892 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
12310, 122rpexpcld 12315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
124123rphalfcld 11271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
125 0le1 10072 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
126125a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
12729, 32, 120, 126addge0d 10124 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  +  1 ) )
12815sqvald 12289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N ) )
129128oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  x.  N )  /  2 ) )
13031recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
131 2ne0 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
13315, 15, 130, 132div23d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  N )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
134129, 133eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
13544rehalfcld 10781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
13644, 29resubcld 9983 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR )
13744, 32readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
138 2rp 11226 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
14010rpge0d 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
14144, 139, 140divge0d 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  /  2 ) )
14229, 44, 139lemuldiv2d 11305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  N  <->  R  <_  ( N  / 
2 ) ) )
14350, 142mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  /  2 ) )
144152halvesd 10780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N )
145135recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
14615, 145, 145subaddd 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  ( N  /  2
) )  =  ( N  /  2 )  <-> 
( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N ) )
147144, 146mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
148143, 147breqtrrd 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  -  ( N  / 
2 ) ) )
14929, 44, 135, 148lesubd 10152 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  <_  ( N  -  R ) )
15044lep1d 10472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
151135, 136, 44, 137, 141, 140, 149, 150lemul12ad 10483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  N
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
152134, 151eqbrtrd 4459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
153124, 118, 33, 127, 152lediv2ad 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1541peano2nnd 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
155154nncnd 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
15635nncnd 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
15735nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
158155, 156, 130, 157, 132divdiv2d 10348 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^
2 ) ) )
159155, 130mulcomd 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )
160159oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
161158, 160eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( R  +  1 )  / 
( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
162153, 161breqtrrd 4465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )
163119, 36, 29, 120, 162lemul2ad 10481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
164117, 163eqbrtrrd 4461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16528, 58, 37, 96, 164letrd 9728 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16623, 28, 37, 38, 165letrd 9728 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808    \ cdif 3458   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221   ^cexp 12148   abscabs 13149   logclog 23108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  28839
  Copyright terms: Public domain W3C validator