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Theorem lgamgulmlem3 26947
Description: Lemma for lgamgulm 26951. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgamgulm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lgamgulm.l  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, k, R    A, k, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 26945 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4 lgamgulm.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
53, 4sseldd 3354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
65eldifad 3337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87peano2nnd 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
98nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
107nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
119, 10rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+ )
1211relogcld 22031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
1312recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
146, 13mulcld 9402 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
157nncnd 10334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167nnne0d 10362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
176, 15, 16divcld 10103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9336 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2017, 19addcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  e.  CC )
215, 7dmgmdivn0 26944 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  =/=  0 )
2220, 21logcld 21981 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
2314, 22subcld 9715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2423abscld 12918 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2514, 17subcld 9715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  e.  CC )
2625abscld 12918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  e.  RR )
2717, 22subcld 9715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 12918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9409 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
301nnred 10333 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 2re 10387 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
33 1re 9381 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3530, 34readdcld 9409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
377nnsqcld 12024 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
3836, 37nndivred 10366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  e.  RR )
3930, 38remulcld 9410 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4014, 22, 17abs3difd 12942 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
417nnrecred 10363 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
428nnrecred 10363 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42resubcld 9772 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
4430, 43remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4532, 30remulcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
467nnred 10333 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
471nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4830, 47ltaddrpd 11052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  R ) )
491nncnd 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
50492timesd 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
5148, 50breqtrrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <  ( 2  x.  R ) )
52 lgamgulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
5330, 45, 46, 51, 52ltletrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  <  N )
54 difrp 11020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5530, 46, 54syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5653, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR+ )
5756rprecred 11034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  RR )
5857, 41resubcld 9772 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  RR )
5930, 58remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
6044, 59readdcld 9409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  e.  RR )
616, 15, 16divrecd 10106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  =  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) )
6261oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) ) )
6341recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  CC )
646, 13, 63subdid 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  -  ( A  x.  (
1  /  N ) ) ) )
6562, 64eqtr4d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( A  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
6665fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) ) )
6713, 63subcld 9715 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
686, 67absmuld 12936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
6966, 68eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
706abscld 12918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7167abscld 12918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
726absge0d 12926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
7367absge0d 12926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
74 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  A
) )
7574breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  A )  <_  R
) )
76 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  k )  =  ( A  +  k ) )
7776fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  ( A  +  k )
) )
7877breq2d 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) )
7978ralbidv 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) )
8075, 79anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) ) )
8180, 2elrab2 3116 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U  <->  ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) ) )
8281simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  (
( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
834, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
8483simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  R )
859, 10relogdivd 22034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) )
86 logdifbnd 22346 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) )  <_  (
1  /  N ) )
8710, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  <_ 
( 1  /  N
) )
8885, 87eqbrtrd 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  <_  ( 1  /  N ) )
8912, 41, 88abssuble0d 12915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
90 logdiflbnd 22347 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9110, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  + 
1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9291, 85breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
9342, 12, 41, 92lesub2dd 9952 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  <_  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9489, 93eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  <_  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
9570, 30, 71, 43, 72, 73, 84, 94lemul12ad 10271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) ) )
9669, 95eqbrtrd 4309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
971, 2, 7, 4, 52lgamgulmlem2 26946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) )
9826, 28, 44, 59, 96, 97le2addd 9953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
9915, 49subcld 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  CC )
10015, 19addcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
10130, 53gtned 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =/=  R )
10215, 49, 101subne0d 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  =/=  0 )
1038nnne0d 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
10499, 100, 102, 103subrecd 10158 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R ) )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10515, 19, 49pnncand 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( 1  +  R ) )
10619, 49addcomd 9567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =  ( R  +  1 ) )
107105, 106eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( R  +  1 ) )
108107oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R
) )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
109104, 108eqtr2d 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
110109oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111100, 103reccld 10096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11299, 102reccld 10096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  CC )
11363, 111, 112npncan3d 9751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
114113eqcomd 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )
115114oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11643recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
11758recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  CC )
11849, 116, 117adddid 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
119110, 115, 1183eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
12056, 9rpmulcld 11039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
12135, 120rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
12247rpge0d 11027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
123 2z 10674 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
12510, 124rpexpcld 12027 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
126125rphalfcld 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
127 0le1 9859 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
12930, 34, 122, 128addge0d 9911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  +  1 ) )
13015sqvald 12001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N ) )
131130oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  x.  N )  /  2 ) )
13232recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
133 2ne0 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
13515, 15, 132, 134div23d 10140 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  N )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
136131, 135eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
13746rehalfcld 10567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
13846, 30resubcld 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR )
13946, 34readdcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
140 2rp 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
14210rpge0d 11027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
14346, 141, 142divge0d 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  /  2 ) )
14430, 46, 141lemuldiv2d 11069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  N  <->  R  <_  ( N  / 
2 ) ) )
14552, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  /  2 ) )
146152halvesd 10566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N )
147137recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
14815, 147, 147subaddd 9733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  ( N  /  2
) )  =  ( N  /  2 )  <-> 
( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N ) )
149146, 148mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
150145, 149breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  -  ( N  / 
2 ) ) )
15130, 46, 137, 150lesubd 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  <_  ( N  -  R ) )
15246lep1d 10260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
153137, 138, 46, 139, 143, 142, 151, 152lemul12ad 10271 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  N
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154136, 153eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
155126, 120, 35, 129, 154lediv2ad 11045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1561peano2nnd 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
157156nncnd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
15837nncnd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
15937nnne0d 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
160157, 158, 132, 159, 134divdiv2d 10135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^
2 ) ) )
161157, 132mulcomd 9403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )
162161oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
163160, 162eqtr2d 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( R  +  1 )  / 
( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
164155, 163breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )
165121, 38, 30, 122, 164lemul2ad 10269 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
166119, 165eqbrtrrd 4311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16729, 60, 39, 98, 166letrd 9524 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16824, 29, 39, 40, 167letrd 9524 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ^cexp 11861   abscabs 12719   logclog 21965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967
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