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Theorem lgamgulmlem3 24768
Description: Lemma for lgamgulm 24772. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
lgamgulm.u  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
lgamgulm.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgamgulm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
lgamgulm.l  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, k, R    A, k, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    U( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8  |-  U  =  { x  e.  CC  |  ( ( abs `  x )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) ) ) }
31, 2lgamgulmlem1 24766 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( CC  \  ( ZZ  \  NN ) ) )
4 lgamgulm.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
53, 4sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  ( ZZ  \  NN ) ) )
65eldifad 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87peano2nnd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
98nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
107nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
119, 10rpdivcld 10621 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  /  N
)  e.  RR+ )
1211relogcld 20471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
1312recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  e.  CC )
146, 13mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  e.  CC )
157nncnd 9972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
167nnne0d 10000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
176, 15, 16divcld 9746 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  e.  CC )
18 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2017, 19addcld 9063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  e.  CC )
215, 7dmgmdivn0 24765 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  +  1 )  =/=  0 )
2220, 21logcld 20421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) )  e.  CC )
2314, 22subcld 9367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2423abscld 12193 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2514, 17subcld 9367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  e.  CC )
2625abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  e.  RR )
2717, 22subcld 9367 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  N )  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) )  e.  CC )
2827abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
301nnred 9971 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 2re 10025 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
33 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3530, 34readdcld 9071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  e.  RR )
377nnsqcld 11498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
3836, 37nndivred 10004 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  e.  RR )
3930, 38remulcld 9072 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) )  e.  RR )
4014, 22, 17abs3difd 12217 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) ) )
417nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
428nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
4341, 42resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
4430, 43remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
4532, 30remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
467nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
471nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4830, 47ltaddrpd 10633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <  ( R  +  R ) )
491nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
50492timesd 10166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
5148, 50breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <  ( 2  x.  R ) )
52 lgamgulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  <_  N )
5330, 45, 46, 51, 52ltletrd 9186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  <  N )
54 difrp 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5530, 46, 54syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  <  N  <->  ( N  -  R )  e.  RR+ ) )
5653, 55mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR+ )
5756rprecred 10615 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  RR )
5857, 41resubcld 9421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  RR )
5930, 58remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
6044, 59readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  e.  RR )
616, 15, 16divrecd 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  N
)  =  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) )
6261oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  x.  ( 1  /  N ) ) ) )
6341recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  N
)  e.  CC )
646, 13, 63subdid 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )  -  ( A  x.  (
1  /  N ) ) ) )
6562, 64eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) )  =  ( A  x.  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) ) )
6713, 63subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
686, 67absmuld 12211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
6966, 68eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
706abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
7167abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  e.  RR )
726absge0d 12201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
7367absge0d 12201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  A
) )
7574breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( abs `  x
)  <_  R  <->  ( abs `  A )  <_  R
) )
76 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
x  +  k )  =  ( A  +  k ) )
7776fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( abs `  ( x  +  k ) )  =  ( abs `  ( A  +  k )
) )
7877breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) )
7978ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  NN0  ( 1  /  R
)  <_  ( abs `  ( x  +  k ) )  <->  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) )
8075, 79anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( abs `  x
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  (
x  +  k ) ) )  <->  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e. 
NN0  ( 1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k ) ) ) ) )
8180, 2elrab2 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U  <->  ( A  e.  CC  /\  ( ( abs `  A )  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  ( 1  /  R )  <_ 
( abs `  ( A  +  k )
) ) ) )
8281simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  (
( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
834, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  R  /\  A. k  e.  NN0  (
1  /  R )  <_  ( abs `  ( A  +  k )
) ) )
8483simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  R )
859, 10relogdivd 20474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) )
86 logdifbnd 20785 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) )  <_  (
1  /  N ) )
8710, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  <_ 
( 1  /  N
) )
8885, 87eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  <_  ( 1  /  N ) )
8912, 41, 88abssuble0d 12190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
90 logdiflbnd 20786 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9110, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  + 
1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
9291, 85breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
9342, 12, 41, 92lesub2dd 9599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  <_  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9489, 93eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) )  <_  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
9570, 30, 71, 43, 72, 73, 84, 94lemul12ad 9909 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  ( ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) ) )
9669, 95eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
971, 2, 7, 4, 52lgamgulmlem2 24767 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) )
9826, 28, 44, 59, 96, 97le2addd 9600 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( R  x.  ( (
1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
9915, 49subcld 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  CC )
10015, 19addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
10130, 53gtned 9164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =/=  R )
10215, 49, 101subne0d 9376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  =/=  0 )
1038nnne0d 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
10499, 100, 102, 103subrecd 9801 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R ) )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10515, 19, 49pnncand 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( 1  +  R ) )
10619, 49addcomd 9224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  R
)  =  ( R  +  1 ) )
107105, 106eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  -  R )
)  =  ( R  +  1 ) )
108107oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  1 )  -  ( N  -  R
) )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
109104, 108eqtr2d 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
110109oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111100, 103reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11299, 102reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( N  -  R )
)  e.  CC )
11363, 111, 112npncan3d 9403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
114113eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  N
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N
) ) ) )
115114oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( 1  /  ( N  -  R )
)  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( R  x.  ( ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
11643recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
11758recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) )  e.  CC )
11849, 116, 117adddid 9068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )  +  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
119110, 115, 1183eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  / 
( N  -  R
) )  -  (
1  /  N ) ) ) ) )
12056, 9rpmulcld 10620 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
12135, 120rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
12247rpge0d 10608 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
123 2z 10268 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
124123a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
12510, 124rpexpcld 11501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  RR+ )
126125rphalfcld 10616 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
127 0le1 9507 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
128127a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
12930, 34, 122, 128addge0d 9558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  +  1 ) )
13015sqvald 11475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N ) )
131130oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  x.  N )  /  2 ) )
13232recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
133 2ne0 10039 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
13515, 15, 132, 134div23d 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  N )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
136131, 135eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  =  ( ( N  /  2 )  x.  N ) )
13746rehalfcld 10170 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR )
13846, 30resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  R
)  e.  RR )
13946, 34readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
140 2rp 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
14210rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
14346, 141, 142divge0d 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  /  2 ) )
14430, 46, 141lemuldiv2d 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  N  <->  R  <_  ( N  / 
2 ) ) )
14552, 144mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  /  2 ) )
146152halvesd 10169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N )
147137recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
14815, 147, 147subaddd 9385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  ( N  /  2
) )  =  ( N  /  2 )  <-> 
( ( N  / 
2 )  +  ( N  /  2 ) )  =  N ) )
149146, 148mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  ( N  /  2 ) )  =  ( N  / 
2 ) )
150145, 149breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( N  -  ( N  / 
2 ) ) )
15130, 46, 137, 150lesubd 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  <_  ( N  -  R ) )
15246lep1d 9898 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
153137, 138, 46, 139, 143, 142, 151, 152lemul12ad 9909 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  N
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154136, 153eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  2
)  <_  ( ( N  -  R )  x.  ( N  +  1 ) ) )
155126, 120, 35, 129, 154lediv2ad 10626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( R  +  1 )  /  ( ( N ^ 2 )  / 
2 ) ) )
1561peano2nnd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  NN )
157156nncnd 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  1 )  e.  CC )
15837nncnd 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
15937nnne0d 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
160157, 158, 132, 159, 134divdiv2d 9778 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^
2 ) ) )
161157, 132mulcomd 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( R  + 
1 ) ) )
162161oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  +  1 )  x.  2 )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( R  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
163160, 162eqtr2d 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( R  +  1 )  / 
( ( N ^
2 )  /  2
) ) )
164155, 163breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  + 
1 )  /  (
( N  -  R
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )
165121, 38, 30, 122, 164lemul2ad 9907 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( R  +  1 )  /  ( ( N  -  R )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
166119, 165eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( ( 1  /  N )  -  (
1  /  ( N  +  1 ) ) ) )  +  ( R  x.  ( ( 1  /  ( N  -  R ) )  -  ( 1  /  N ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16729, 60, 39, 98, 166letrd 9183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( A  /  N ) ) )  +  ( abs `  (
( A  /  N
)  -  ( log `  ( ( A  /  N )  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
16824, 29, 39, 40, 167letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  -  ( log `  (
( A  /  N
)  +  1 ) ) ) )  <_ 
( R  x.  (
( 2  x.  ( R  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    \ cdif 3277   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ^cexp 11337   abscabs 11994   logclog 20405
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  24770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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